发表机构
Université Paris-Saclay, CNRS, Inria, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, ParMA; Université Claude Bernard Lyon 1, ICJ UMR5208, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（巴黎萨克雷大学、法国国家科学研究中心、Inria、奥赛数学实验室、ParMA; 里昂第一大学、ICJ UMR5208、法国国家科学研究中心、里昂中央理工学院、里昂国立应用科学学院、让·穆兰大学）
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本文研究带符号系数的平方Wasserstein距离加权和最小化问题，通过Toland对偶性推导凸对偶公式，并提出了基于熵正则化和Sinkhorn迭代的粒子算法来计算带符号重心。
AI 中文摘要
我们研究最小化带符号系数的平方Wasserstein距离加权和的问题。在单个正系数的情况下，我们推导出两个凸对偶公式：一个用Brenier势表示，另一个作为凸序中的投影问题。这些对偶公式通过利用问题中不同的凸性概念，经由Toland对偶性得出。它们推广了最近为度量外推问题建立的公式，后者对应于仅两个测度之间的带符号重心。对于一般的带符号重心，我们确定了必要的最优性条件，将问题简化为单个正系数的情况。在数值方面，我们提出了一种基于熵正则化和Sinkhorn迭代的无网格、基于粒子的算法，用于计算具有任意系数的带符号重心。
英文摘要
We study the problem of minimizing a weighted sum of squared Wasserstein distances with signed coefficients. In the case of a single positive coefficient, we derive two convex dual formulations: one expressed in terms of Brenier potentials, and one as a projection problem in convex order. Such dual formulations arise via Toland duality by exploiting different notions of convexity within the problem. They generalize those recently established for the metric extrapolation problem, which corresponds to signed barycenters between only two measures. For general signed barycenters, we identify necessary optimality conditions that reduce the problem to the case with one positive coefficient. On the numerical side, we propose a grid-free, particle-based algorithm built on entropic regularization and Sinkhorn iterations to compute signed barycenters with arbitrary coefficients.
