A Bellman-Ford algorithm for the path-length-weighted distance in graphs
针对带权有限无环有向图，提出一种计算路径长度加权距离的新型Bellman-Ford类算法，明确纳入路径规模因素，搭建适配计算框架并说明使用约束与示例，可应用于欺诈检测场景的图分析。
2024-10-28 cs.DM cs.DS cs.MS
Non-adaptive Bellman-Ford: Yen's improvement is optimal
TU Munich（慕尼黑工业大学）；TU Dresden（德累斯顿工业大学）
本文证明了在非自适应单源最短路径算法中，Yen 对 Bellman-Ford 算法的改进已达到最优常数因子，确立了确定性算法的松弛次数下界，并揭示了确定性与随机化策略间的严格分离，同时证明判定松弛序列正确性是 NP 困难的。
2026-10-06 cs.DS math.CO
Randomized $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ Bellman-Ford from Fineman and the Boilermakers
本文基于 Fineman 及后续工作，利用价格函数约化代价的线性时间更新观察和 Fineman 结构的递归版本，将含负权图最短路径的期望时间改进至 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$。
2025-04-09 cs.CC cs.DS
Modelling dynamic programming problems by generalized d-graphs
本文引入广义d-图（容许圈）的概念，作为动态规划（DP）问题建模的特殊依赖图。我们描述了三个著名的单源最短算法（基于顶点拓扑顺序的算法、Dijkstra算法和Bellman-Ford算法）的d-图版本，它们可以被看作是三种不同类型优化问题的一般DP策略。新的建模方法还可以根据图论对DP问题和相应的DP策略进行分类。
2010-11-30 cs.DS
Distributed Exact Shortest Paths in Sublinear Time
分布式单源最短路径问题是消息传递分布式计算中最基本、最核心的问题之一。经典的Bellman-Ford算法在$O(n)$时间内求解，其中$n$是输入图$G$中的顶点数。Peleg和Rubinovich（FOCS'99）给出了这个问题的$\tildeΩ(D + \sqrt{n})$的下界，其中$D$是$G$的跳直径。当$D$相对较小时，这个问题是否可以在$o(n)$时间内解决，这是一个众所周知的悬而未决的问题。尽管密集的研究\cite{LP13,N14,HKN15,EN16,BKKL16}，产生了接近最佳的算法，这个问题的近似变体，没有进展的原始问题。在本文中，我们肯定地回答这个问题。我们设计了一个算法，需要$O((n \log n)^{5/6})$时间，$D = O(\sqrt{n \log n})$，和$O(D^{1/3} \cdot (n \log n)^{2/3})$时间，更大的$D$。在$n$中，该运行时间在几乎整个参数范围内都是亚线性的，特别是对于$D = o(n/\log^2 n)$。对于全对最短路径问题，我们的算法需要$O(n^{5/3} \log^{2/3} n)$时间，无论$D$的值。我们还设计了第一个算法与非平凡的复杂性保证计算精确的最短路径的多通道半流模型的计算。从技术的角度来看，我们的算法计算一个跳集$G"$的骨架图$G'$的$G$没有首先计算$G'$本身。然…
2017-04-30 cs.DS
Exact Shortest Paths with Rational Weights on the Word RAM
针对字RAM上有理加权图的精确最短路径计算因中间值位数过多导致效率低下的问题，设计了随机化精确单源最短路径算法，非负权重下近线性时间、负权重下Õ(n^2.5)时间，均优于现有算法。
2023-11-06 cs.DS
Single-Source Shortest Paths with Negative Real Weights in $\tilde{O}(mn^{8/9})$ Time
本文提出一种随机化算法，在 $\ ilde{O}(mn^{8/9})$ 时间内解决带实数权重的有向图单源最短路径问题，首次渐近改进经典 $O(mn)$ 算法。
2023-11-13 cs.DS
A Refutation of Elmasry's $\tilde{O}(m \sqrt{n})$-Time Algorithm for Single-Source Shortest Paths
本文反驳了 Elmasry 声称的 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 时间单源最短路径算法，通过构造加权图实例证明其实际运行时间为 $\Omega(mn)$。
2025-08-06 cs.DS
Lower Bounds for Non-Adaptive Shortest Path Relaxation
本文研究仅依赖图结构的非自适应最短路径松弛算法，证明Bellman-Ford算法在稠密图最优、稀疏图近似最优，且适用于确定性与随机算法。
2023-05-16 cs.DS
Improving The Floyd-Warshall All Pairs Shortest Paths Algorithm
Floor-Warshall算法是确定图中所有对之间的最短路径的最流行算法。这是一个非常简单和优雅的算法。然而，如果图不包含任何负加权边，则使用Dijkstra的最短路径算法为每个顶点作为源顶点来产生图的所有对最短路径，其效果比用于稀疏图的Floor-Warshall算法好得多。此外，对于具有负加权边的图，没有负圈，Johnson算法的性能仍然显着优于稀疏图的Floor-Warshall算法。Johnson算法首先利用Bellman-Ford算法将图转化为非负图，然后再应用Dijkstra算法。因此，在一般情况下，Floor-Warshall算法变得非常低效，特别是对于稀疏图。在本文中，我们展示了一个简单的改进的Floor-Warshall算法，这将提高其性能，特别是对于稀疏图，所以它可以用来代替更复杂的替代品。
2021-09-04 cs.DS
On Constrained and k Shortest Paths
本文研究带约束最短路径与k最短路径两个NP困难问题，给出非多项式时间算法及ILP表述，并指出其在Isomap等数据科学降维应用中的基础作用。
2024-08-01 cs.DS
Weighted graph algorithms with Python
给出了所选加权图算法的Python实现。最小图接口与实现该接口的几个类一起定义。图节点可以是任何可散列的Python对象。定向边是Edge类的实例。Graphs是Graph类的实例。它基于邻接表表示，但可以快速查找节点和邻居（dict-of-dict结构）。此类的其他实现也是可能的。在这项工作中，许多算法使用统一的方法来实现。有专门用于不同算法的单独的类和模块。实现了三种寻找最小生成树的算法：Boruvka算法、Prim算法（三种实现）和Kruskal算法。实现了三种求解单源最短路径问题的算法：dag最短路径算法、Bellman-Ford算法和Dijkstra算法（两种实现）。实现了两种求解全对最短路问题的算法：Floor-Warshall算法和Johnson算法。所有算法都通过Python单元测试框架unittest模块进行了测试。为了比较真实和理论的计算复杂性，进行了额外的计算机实验。源代码可从公共GitHub存储库获得。
2015-04-29 cs.DS
Sequential Optimization Numbers and Conjecture about Edge-Symmetry and Weight-Symmetry Shortest Weight-Constrained Path
定义了多维序列优化数，证明了第一类无符号Stirling数是一维序列优化数。本文给出了多维序列优化数的一个递推公式和一个上界。证明了k维序列优化数O_k（n，m）几乎在{O_k（n，a）}中，其中a属于[1，eklog（n-1）+（epi）^2/6（2^k-1）+M_1]，n是k维序列优化数的大小，M_1是大正整数。第一类Stirling数的许多成果可以通过k维延拓转化为k维序列优化数的性质，并给出了一些例子。最短权约束路径是NP完全问题[1]。在边对称和权对称的情况下，利用优化集的定义设计二维Bellman-Ford算法求解，根据P_1（n，m>M）小于等于e^（-M_1），其中M=elog（n-1）+e+M_1，M_1为正整数，P_1（n，m）为一维序列优化数的概率，本文猜想边对称和权对称的权约束最短路问题在多项式时间内解的概率随算法复杂性中常数项的增加而指数地趋近于1。大量仿真实验的结果与这一猜想相吻合。
2022-06-14 cs.DS
Distributed Approximation Algorithms for Weighted Shortest Paths
分布式网络由具有$n$节点（处理器）和直径$D$的图来建模。我们研究的时间复杂度近似{\em加权}（无向）最短路径的分布式网络上的边缘上的$O(\log n)$ {\em带宽限制}（标准的同步\congest模型）。近似算法是否有助于加速最短路径（更准确地说是距离计算）的问题至少从2004年开始由Elkin提出（SIGACT News 2004）。这个问题的未加权的情况下是很好理解的，而其加权对应的是在该地区的分布式近似算法的基本问题，仍然是广泛开放的。我们提出了新的算法计算单源最短路径（\sssp）和所有对最短路径（\apsp）在加权的情况下。我们的主要结果是一个算法\sssp。先前的结果是经典的$O(n)$-时间Bellman-Ford算法和$\tilde O(n^{1/2+1/2k}+D)$-时间$(8k\lceil \log (k+1) \rceil -1)$-近似算法，对于任何整数$k\geq 1$，其从Lenzen和Patt-Shamir（STOC 2013）的结果得出。(Note Lenzen和Patt-Shamir实际上解决了一个更难的问题，我们使用$\tilde O(\cdot)$来隐藏$O(\poly\log n)$术语。）我们提出了一个\sssp的$\tilde O(n^{1/2}D^{1/4}+D)$-时间$(1+o(1))$-近似算法.只要$D$是次线性的…
2014-05-22 cs.DS
Neural Execution of Graph Algorithms
DeepMind（深度思维）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
图神经网络（GNNs）是一种强大的表示工具，用于解决图结构输入的问题。然而，到目前为止，在几乎所有的情况下，它们都被应用于直接从原始输入中恢复最终解决方案，而没有明确的指导如何构建他们的问题解决方案。相反，在这里，我们专注于算法空间中的学习：我们训练几个最先进的GNN架构来模仿经典图算法的各个步骤，并行（广度优先搜索，Bellman-Ford）以及顺序（Prim算法）。由于图算法通常依赖于在邻域内做出离散决策，因此我们假设基于最大化的消息传递神经网络最适合这些目标，并根据经验验证了这一说法。我们还演示了如何在算法空间中学习可以产生新的机会，任务之间的正向转移-显示如何学习最短路径算法可以大大提高同时学习可达性算法。
2020-01-15 cs.AI cs.DS cs.LG
An output-sensitive algorithm for all-pairs shortest paths in directed acyclic graphs
针对边加权有向无环图（DAG）中的单源最短路径问题（SSSP），提出了一种简单的动态规划方法。首先，我们类似地将该方法交替地以宽度优先搜索排序顺序和相反顺序在具有正实边权重和负实边权重、$n$顶点和$m$边的输入有向图上进行搜索。对于在$O(tm)$时间中$O(t)$迭代之后的正整数$t,$，我们对于每个顶点$v$获得从源到$v$的路径距离，该路径距离不超过由所谓的{ \em $ t+$光路}中从源到$v$的最短路径产生的路径距离。两个顶点之间的有向路径是$t+$轻，如果它包含至多$t$比这些顶点之间的最小边基数有向路径更多的边。经过$O(n)$迭代，我们得到了一个$O(nm)$ -时间的解决方案，SSSP在有向图与真正的边权重匹配的贝尔曼和福特。我们的主要结果是一个输出敏感算法的所有对最短路径问题（APSP）的DAG与正负实边权重。它在时间上运行$O(\min \{n^ω, nm+n^2\log n\}+\sum_{v\in V}\text{indeg}(v)|\text{leaf}(T_v)|),$，其中$n$是顶点的数目，$m$是边的数目，$ω$是快速矩阵乘法的指数，$\text{indeg}(v)$代表$v,$的入度$T_v$是从$v$的所有祖先到$v$的词典第一最短有向路径的树，并且$\text{leaf}(T_v)$是$T_v.$中的叶的集合。最后，我们讨论了一个扩展的…
2021-08-07 cs.DS
Geometry helps in routing scalability
本研究提出利用几何框架解决时变网络路由问题，通过半代数曲线追踪顶点，为低轨卫星运动建立多项式上界，实验显示比图方法减少一个数量级的重计算，并发现真实数据中的度量扳手性质。
2024-12-17 cs.CG cs.DS cs.NI
Efficient Stepping Algorithms and Implementations for Parallel Shortest Paths
在本文中，我们研究的单源最短路径（SSSP）问题，这是一个众所周知的困难问题，在并行环境中的正边权重。在实际应用中，Meyer和Sanders提出的$Δ$ -步进算法被广泛采用.然而，$Δ$ -步进没有已知的一般图的最坏情况的界限。$Δ$步进的性能也高度依赖于参数$Δ$。也有许多算法具有理论上的界限，例如半径步进，但它们要么没有可用的实现，要么在实践中比$Δ$步进慢得多。我们提出了一个步进算法框架，推广现有的算法，如$Δ$步进和半径步进。该框架允许对所有步进算法进行类似的分析和实现。我们还提出了一个新的ADT，延迟批处理优先级队列（LaB-PQ），抽象的语义所需的步进算法的优先级队列。我们提供了两个数据结构的LaB-PQ，分别侧重于理论和实践效率。基于新的框架和LaB-PQ，我们提出了两个新的步进算法，$ρ$ -步进和$Δ^*$ -步进，这是简单的，与非平凡的最坏情况下的界限，并在实践中快速。步进算法框架还为三种算法提供了几乎相同的实现：Bellman-Ford、$Δ^*$ -步进和$ρ$ -步进。我们比较我们的代码与四个国家的最先进的实现。在五个社交和网络图上，$ρ$步进比所有现有实现快1.3- 2.5倍。在两个路径图上，我们的$Δ^*$ -步进至少比现有的实现快14\%，而$ρ$ -步进也是有竞争力的。步进算法的几乎相同的实现也允许在实践中步进算法之间进行深入的分析和比较。
2021-12-14 cs.DC cs.DS
Shortest Path Algorithms between Theory and Practice
利用图算法是计算机科学中的一项常见活动。在大型图上执行计算的算法并不总是有效的。本文研究了单源最短路径（SSSP）问题，它被认为是最重要和研究最多的图问题之一。本文从理论和实践两个方面对SSSP问题进行了综述。此外，它讨论了一种新的单源最短路径算法，实现了相同的$O(n \cdot m)$的时间限制作为传统的Bellman-Ford-Moore算法，但优于它和其他国家的最先进的算法在实践中。这项工作由三部分组成。第一部分从理论和实践的角度讨论了文献中的一些基本的最短路径和负环检测算法。第二个包含一个新的算法的讨论，单源最短路径问题，优于最先进的算法，几个著名的家庭的图形。所提出的算法背后的主要思想是选择最少的最有效的顶点进行扫描。我们还提出了一个讨论的正确性，终止，并证明了最坏情况下的时间界限的算法。本节还为所提出的算法提出了两种不同的实现，第一种运行速度更快，而第二种执行的操作数量更少。最后，不同的最短路径算法进行了广泛的计算研究。结果提出了使用一个新的最短路径算法的评价指标。各种最短路径算法的结果，优点和缺点的讨论也包括在这项工作中。
2019-05-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Graph neural networks extrapolate out-of-distribution for shortest paths
Halıcıoğlu Data Science Institute, University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校哈利西奥格鲁数据科学学院）；Department of Computer Science and Engineering, University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校计算机科学与工程系）
该研究证明了图神经网络通过最小化稀疏正则化损失能够精确实现Bellman-Ford算法，从而在有限训练数据下实现对任意规模最短路径问题的分布外泛化。
2025-03-31 cs.DS cs.LG
Optimal energetic paths for electric cars
本文研究电动汽车在带权有向图中考虑电池容量约束和可负能耗弧的最优能量路径问题，通过改造Bellman-Ford和Dijkstra算法并结合A*启发式，给出了求解单源最小能量路径的统一方法。
2023-05-30 cs.DS
SETH-Based Lower Bounds for Subset Sum and Bicriteria Path
Subset-Sum和k-SAT是计算机科学中研究最广泛的两个问题，关于它们的难度的说明是细粒度复杂性的基石之一。在这一领域最有趣的开放问题之一是将这些问题之一的难度建立在另一个问题的基础上。我们的主要结果是一个紧密的减少，从k-SAT的子集和密集的情况下，证明贝尔曼的1962年的伪多项式$O^{*}(T)$ -时间算法的子集和$n$号码和目标$T$不能提高到时间$T^{1-\varepsilon}\cdot 2^{o(n)}$的任何$\varepsilon>0$，除非强指数时间假设（SETH）失败。这是细粒度复杂性的任何两个核心问题之间最强的已知联系之一。作为一个推论，我们证明了“直接或”定理的子集和SETH下，提供了一个新的工具，证明条件下界：现在可以假设，决定是否出$N$给定的子集和实例是一个YES实例需要时间$(N T)^{1-o(1)}$。作为这一推论的应用，我们证明了一个严格的SETH为基础的下界的经典Bicriteria s，t-路径问题，这是广泛研究的运筹学。我们将其复杂性与子集和的复杂性分开：在具有$m$边和以$L$为界的边长度的图上，我们证明了Joksch从1966年开始的$O(Lm)$伪多项式时间算法不能改进为$\tilde{O}(L+m)$，这与最近对子集和的改进相反（Bringmann，SODA 2017）。
2021-02-19 cs.CC cs.DS
