Eisenstein-素数 障碍 筛选 用于 单元 生成 性
Eisenstein-prime Obstruction Sieve for Monogenicity
AI总结：
本文 证明 在 纯 场 家族 中， 单元 生成 性 与 $α$--单 元 生成 性 具有 相同 的 自然 密度， 并 提出 了 Eisenstein-素数 障碍 筛选 机理。
摘要：
Alpöge--Bhargava--Shnidman 显示 即使 对 单元 生成 性 的 本地 障碍 条件 进行 加强， 也不 能 强制 全局 功率 整数 基础： 在 立方 与 四次 场 的 全部 空间 中， 一个 正比例 的 非 单元 生成 性 而 仍 满足 这个 ABS 固定 符号 条件。 这 提出了 一个 家族 级 的 问题： 这种 现象 是否 在 一 参数 家族 内 保持？ 其中 本地 结构 在 高度 受限 的 方式 下 变化？ 在 本文 中， 我们 对 纯 场 $K_m=\mathbb Q(α)$ 与 $α^n=m$ ($n\ge 4$) 且 $m$ 为 平方 自由 的 情况 下 回答 了 这个 问题， 并 证明 了 平方 自由 的 $m$ 中， 使得 $g(m)>1$ 但 $K_m$ 没有 ABS 本地 障碍 的 集合 具有 自然 密度 0。 因此， 在 纯 家族 中， 单元 生成 性 与 $α$--单 元 生成 性 具有 相同 的 自然 密度。 证明 突出 了 一个 可重用 的 机理， 我们 称为 Eisenstein-素数 障碍 筛选。 该 论证 被 包装 成 一个 抽象 模板 并 转移 到 其他 Eisenstein 参数 家族。
英文摘要：
Alpöge--Bhargava--Shnidman showed that even a strengthened \emph{no local obstruction} condition for monogenicity does not force a global power integral basis: in the full spaces of cubic and quartic fields, a positive proportion are non-monogenic yet satisfy this ABS fixed-sign condition. This raises a natural family-level question: does the same phenomenon persist inside one-parameter families, where the local structure varies in a highly constrained way? In this paper we answer this in the negative for the pure fields $K_m=\mathbb Q(α)$ with $α^n=m$ ($n\ge 4$) and $m$ square-free. Writing $g(m)=[\mathcal O_{K_m}:\mathbb Z[α]]$, we prove that the set of square-free $m$ for which $g(m)>1$ but $K_m$ has no ABS local obstruction has natural density $0$. Consequently, in the pure family monogenicity and $α$--monogenicity have the same natural density. The proof isolates a reusable mechanism, which we call the Eisenstein-prime obstruction sieve. The argument is packaged in an abstract template and transfers to other Eisenstein parameter families.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
