一个在有限域$\mathbb{F}_q$上的矩阵$M$被称为最大距离可分（MDS）矩阵，如果其所有平方子矩阵都是非奇异的。这些MDS矩阵在密码学和编码理论中非常重要，因为它们提供强的数据保护并帮助高效传播信息。在本文中，我们引入了一种新的矩阵类型，称为consta-$g$-circulant矩阵，它扩展了$g$-circulant矩阵的概念。这些矩阵来源于由多项式$ h(x) = x^m - λ+ \sum_{i=0}^{m-1} h_i x^i $定义的线性变换。我们找到了此类矩阵存在的上界，并给出了判断其可逆的条件。这帮助我们了解何时它们是MDS矩阵。如果多项式$ x^m - λ$分解为$ x^m - λ= \prod_{i=1}^{t} f_i(x)^{e_i} $，其中每个$ f_i(x) $是不可约的，那么可逆的consta-$g$-circulant矩阵的数量为$ N \cdot \prod_{i=1}^{t} \left( q^{°f_i} - 1 \right) $，其中$ r $是$ λ $的乘法阶，$ N $是满足$ 0 \leq k < \left\lfloor \frac{m - 1}{r} \right\rfloor + 1 $且$ \gcd(1 + rk, m) = 1 $的整数$ k $的数量。这个公式帮助我们减少需要检查此类矩阵是否为MDS的情况数量。此外，我们还给出了阶数为3和4的$g$-circulant MDS矩阵的完整特征化。此外，受斜多项式环的启发，我们构造了一种新的$g$-circulant矩阵变体。最后，我们提供了一些与我们的发现相关的一些例子。
英文摘要：
A matrix $M$ over the finite field $ \mathbb{F}_q $ is called \emph{maximum distance separable} (MDS) if all of its square submatrices are non-singular. These MDS matrices are very important in cryptography and coding theory because they provide strong data protection and help spread information efficiently. In this paper, we introduce a new type of matrix called a \emph{consta-$g$-circulant matrix}, which extends the idea of $g$-circulant matrices. These matrices come from a linear transformation defined by the polynomial
$
h(x) = x^m - λ+ \sum_{i=0}^{m-1} h_i x^i
$
over $ \mathbb{F}_q $. We find the upper bound of such matrices exist and give conditions to check when they are invertible. This helps us know when they are MDS matrices. If the polynomial $ x^m - λ$ factors as
$
x^m - λ= \prod_{i=1}^{t} f_i(x)^{e_i},
$
where each \( f_i(x) \) is irreducible, then the number of invertible consta-$g$-circulant matrices is
$
N \cdot \prod_{i=1}^{t} \left( q^{°f_i} - 1 \right),
$
where $r$ is the multiplicative order of $λ$, and \( N \) is the number of integers \( k \) such that
$
0 \leq k < \left\lfloor \frac{m - 1}{r} \right\rfloor + 1 \quad \text{and} \quad \gcd(1 + rk, m) = 1.
$
This formula help us to reduce the number of cases to check whether such matrices is MDS. Moreover, we give complete characterization of $g$-circulant MDS matrices of order 3 and 4. Additionally, inspired by skew polynomial rings, we construct a new variant of $g$-circulant matrix. In the last, we provide some examples related to our findings.
MDS matrices from skew polynomials with automorphisms and derivations
Aligarh Muslim University（阿利加穆斯林大学）；Karamanoglu Mehmetbey University（卡拉曼奥格雷特拜大学）；Indian Institute of Information Technology VadodaraInternational Campus Diu, Daman & Diu（印度信息学院瓦多达拉国际迪乌校区，达曼和第乌）
Aligarh Muslim University（阿利加穆斯林大学）；Universitas Gadjah Mada（加查马达大学）；Indian Institute of Information Technology Vadodara（瓦多达拉印度信息工程学院）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
Improved bounds for the RIP of Subsampled Circulant matrices
LSEC, Inst. Comp. Math., Academy of Mathematics and System Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）
On the Existence of MDS Codes Over Small Fields With Constrained Generator Matrices
我们研究的最大距离可分（MDS）码的生成矩阵具有指定的支持（即具有指定的位置的零项）的小字段上的存在性。这个问题统一和简化了Yan和Sprintson（NetCod'13）关于弱安全合作数据交换、Halbawi等人（arxiv'13）关于简单多址网络的分布式Reed-Solomon码和Dau等人（ISIT'13）关于具有平衡和稀疏生成矩阵的MDS码的最近工作中提出的问题。如果生成矩阵的特定支集满足MDS条件，则只要$q \geq n + k - 1$，就存在这样的$[n,k]_q$ MDS码，这一条件可以在多项式时间内得到验证.我们提出了一个组合的方法来解决这个猜想，并证明了该猜想成立的一个特殊情况下，零坐标集的生成矩阵的行共享彼此（成对）在最多一个共同的元素。基于我们的数值结果，对所有的$k \leq 7$也验证了这个猜想.我们的方法是基于一个新的推广著名的霍尔的婚姻定理，它允许（重叠）多个代表，而不是一个单一的代表为每个子集。
Restricted Isometries for Partial Random Circulant Matrices
在压缩感知理论中，限制等距分析已经成为研究测量矩阵如何有效地获取关于稀疏和可压缩信号的信息的标准工具。已知许多恢复算法在采样矩阵的限制等距常数很小时成功。压缩传感的许多潜在应用涉及数据采集过程，该过程通过与随机脉冲进行卷积，然后进行（非随机）子采样。目前，对这种测量技术的理论分析还很缺乏。本文证明了当样本数$m$满足$m \gtrsim (s \log n)^{3/2}$时，$s$阶限制等距常数很小，其中$n$为脉冲长度。这个界限改善了以前的估计，表现出二次缩放。
High-Girth QLDPC Codes from Circulant and Affine Permutation Matrices
Klipsch School of Electrical and Computer Engineering, New Mexico State University（新墨西哥州立大学克利普施电气与计算机工程学院）；Departments of Mathematics and Electrical Engineering, University of Notre Dame（圣母大学数学与电气工程系）
