p=3时类型(3,3)的Schur σ-群
Schur $σ$-groups of type $(3,3)$ for $p=3$
AI总结：
研究p=3时类型(3,3)的Schur σ-群，证明10种情况下的群结构，并通过计算验证启发式方法的有效性。
摘要：
对于任何虚二次域K，其最大无分歧pro-3扩张的Galois群G_K是一个Schur σ-群。如果该群具有Zassenhaus类型(3,3)，则有限商G_K/D_4(G_K)的同构类有13种可能性。我们证明对于这13种情况中的10种，G_K要么是有限的，要么同构于Q_3上PGL_2的一个开子群。结合Fontaine-Mazur猜想，或结合Schur σ-群的Cohen-Lenstra启发式方法的先前工作，这支持了McLeman的一个猜想的“如果”部分。利用三重Massey乘积的显式计算，我们还测试了该启发式方法，对所有虚二次域K，其中d(G_K)=2且判别式-10^8 < d_K < 0，发现有相当好的一致性。
英文摘要：
For any imaginary quadratic field $K$, the Galois group $G_K$ of its maximal unramified pro-$3$-extension is a Schur $σ$-group. If this has Zassenhaus type $(3,3)$, there are 13 possibilities for the isomorphism class of the finite quotient $G_K/D_4(G_K)$. We prove that for 10 of these 13 cases $G_K$ is either finite or isomorphic to an open subgroup of a form of $\mathop{\rm PGL}_2$ over $\mathbb{Q}_3$. Combined with the Fontaine-Mazur conjecture, or with earlier work on an analogue of the Cohen--Lenstra heuristic for Schur $σ$-groups, this lends credence to the "if" part of a conjecture of McLeman. Using explicit computations of triple Massey products, we also test the heuristic for all imaginary quadratic fields $K$ with $d(G_K)=2$ and discriminant $-10^8 < d_K < 0$ and find a reasonably good agreement.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
