关于带有每个层次出现次数为r的反链的埃罗什-特罗特问题
An Erdős--Trotter problem on antichains with multiplicity $r$ on each occurring level
AI总结：
本文研究了在每个层次出现次数为r的反链中，确定阈值n0(r)以实现n-3个不同集合大小的问题，证明了n0(2)=3，n0(3)=8，并为r≥4给出线性上界。
摘要：
固定整数$r\ge2$。对于每个$n$，我们考虑满足以下性质的家庭$\mathcal F\subseteq 2^{[n]}$：即家庭形成反链，并且对于每个$t$，如果存在$A\in\mathcal F$使得$|A|=t$，则存在至少$r$个家庭成员大小为$t$。埃罗什-特罗特问题指出，对于每个固定的$r$，存在一个阈值$n_0(r)$，使得当$n>n_0(r)$时，可以在这样的家庭中实现$n-3$个不同的集合大小，并要求对$n_0(r)$进行估计。我们计算出$n_0(2)=3$和$n_0(3)=8$。对于所有$r\ge4$，我们证明了线性上界，即$$ 2r+2 \le n_0(r) \le 2r+2\log_2 r + O(\log_2\log_2 r) $$。特别地，$n_0(r) = 2r + o(r)$。
英文摘要：
Fix an integer $r\ge2$. For each $n$ we consider families $\mathcal F\subseteq 2^{[n]}$ that form an antichain and have the property that, for every $t$, if there exists $A\in\mathcal F$ with $|A|=t$ then there exist at least $r$ members of $\mathcal F$ of size $t$. A problem of Erdős and Trotter asserts that, for each fixed $r$, there exists a threshold $n_0(r)$ such that whenever $n>n_0(r)$ one can achieve $n-3$ distinct set sizes in such a family, and asks for estimates on $n_0(r)$. We compute that $n_0(2)=3$ and $n_0(3)=8$. For all $r\ge4$ we prove matching linear bounds up to lower-order terms, namely $$ 2r+2 \le n_0(r) \le 2r+2\log_2 r + O(\log_2\log_2 r). $$ In particular, $n_0(r) = 2r + o(r)$.
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