AI 中文总结
本文研究偏序集的极大反拉姆齐问题，确定 $m=2^n$ 时相关参数的渐近行为，对 $m=\Theta(\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$ 的情形给出着色所需颜色数的量级结论，并针对树偏序集的猜想证明了部分情况。
AI 中文摘要
我们研究由Burr、Erdős、Graham和Sós为图引入的极大反拉姆齐问题的禁偏序集类似问题。对于整数 $m\le 2^n$ 和偏序集 $P=(P,\preceq)$，我们引入 $\mathrm{ar}_m(n,m,P)$（和 $\mathrm{ar}^*_m(n,m,P)$）来表示满足以下条件的最小整数 $k$：存在子集族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$，其大小 $|\mathcal{F}|=m$，且存在着色映射 $\mathcal{F}\rightarrow [k]$，使得所有弱（强）副本的 $P$ 都是彩虹的。只要存在大小为 $m$ 的无 $P$ 子集族，这些参数就等于1。已知，除非 $P$ 是 $k$ 元反链 $A_k$，否则无弱（强）$P$ 子集族的最大大小 $La(n,P)$（$La^*(n,P)$）的量级为 $\Theta(\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$。本文在 $m$ 的两种情形下研究 $\mathrm{ar}_m(n,m,P)$ 和 $\mathrm{ar}^*_m(n,m,P)$：确定了当 $m=2^n$ 时所有偏序集 $P$ 的这些参数的渐近行为；还考虑 $m=\Theta(\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$ 的情形，证明对于任意连通偏序集 $P$ 和整数 $k$，存在整数 $m_{P,k}$ 和 $m^*_{P,k}$，使得为了用所有弱或强副本的 $P$ 都是彩虹的方式对布尔格的中间 $k$ 层着色，需要 $\Theta(n^{m_{P,k}})$ 或 $\Theta(n^{m^*_{P,k}})$ 种颜色；对于树偏序集 $T$，有 $m_{T,k}=m^*_{T,k}$。我们猜想，对于任意树偏序集 $T$ 和正实数 $\varepsilon$，只要 $m\ge (k-1+\varepsilon)\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$，就有 $\mathrm{ar}_m(n,m,T),\mathrm{ar}^*_m(n,m,T)=\Omega(n^{m_{T,k}})$ 成立，并针对无限类树偏序集证明了关于 $\mathrm{ar}_m(n,m,T)$ 的该猜想。
英文摘要
We study the forbidden poset analog of the maximal anti-Ramsey problem introduced for graphs by Burr, Erd\H os, Graham, and Sós. For integers $m\le 2^n$ and poset $P=(P,\preceq)$, we introduce $\mathrm{ar_m}(n,m,P)$ (and $\mathrm{ar^*_m}(n,m,P)$) to denote the minimum integer $k$ such that there exists a family $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ with $|\mathcal{F}|=m$ and a coloring $\mathcal{F}\rightarrow [k]$ with all weak (strong) copies of $P$ being rainbow. As long as there exist $P$-free families of size $m$, these parameters equal 1. It is known that the largest size $La(n,P)$ ($La^*(n,P)$) of weak (strong) $P$-free families has order of magnitude $Θ(\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$ unless $P$ is the antichain $A_k$ on $k$ elements. In this paper we study $\mathrm{ar_m}(n,m,P)$ and $\mathrm{ar^*_m}(n,m,P)$ in two regimes of $m$. We determine the asymptotics of these parameters for all posets $P$ when $m=2^n$. We also consider the case $m=Θ(\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$. It is shown that for any connected poset $P$ and integer $k$, there exist integers $m_{P,k}$ and $m^*_{P,k}$ such that to color the middle $k$ layers of the Boolean lattice with all weak or strong copies of $P$ being rainbow, one needs $Θ(n^{m_{P,k}})$ or $Θ(n^{m^*_{P,k}})$ colors. For tree posets $T$, one has $m_{T,k}=m^*_{T,k}$. We conjecture that for any tree poset $T$, and positive real $\varepsilon$, $\mathrm{ar_m}(n,m,T),\mathrm{ar^*_m}(n,m,T)=Ω(n^{m_{T,k}})$ holds provided $m\ge (k-1+\varepsilon)\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$. We prove our conjecture on $\mathrm{ar_m}(n,m,T)$ for an infinite class of tree posets.
