离散拉普拉斯算子谱不变量理想的基本性质
Algebraic Properties of the Ideal of Spectral Invariants for the Discrete Laplacian
AI总结：
本文研究了离散拉普拉斯算子谱不变量理想在d=1时的代数性质，并探讨了周期性势能对等谱性的影响。
摘要：
令Γ=q₁ℤ⊕q₂ℤ⊕⋯⊕q_dℤ，其中每个q_j∈ℤ⁺，j∈{1,…,d}，并令Δ为在ℓ²(ℤ^d)上的离散拉普拉斯算子。我们描述了当d=1时，离散拉普拉斯算子谱不变量理想的各种代数性质，包括构造格罗布纳基。我们还提出了各种复Γ-周期性势能V的集合，使得Δ和Δ+V是傅里叶等谱的。最后讨论了通用情形，其中q_i被视为ℤ^d中的向量。
英文摘要：
Let $Γ=q_1\mathbb{Z}\oplus q_2 \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus q_d\mathbb{Z}$, with $q_j\in \mathbb{Z}^+$ for each $j\in \{1,\ldots,d\}$, and denote by $Δ$ the discrete Laplacian on $\ell^2\left( \mathbb{Z}^d\right)$. We describe various algebraic properties of the ideal of spectral invariants for the discrete Laplacian when $d=1$, including a construction of a Gröbner basis. We also present various collections of complex $Γ$-periodic potentials $V$ that are such that $Δ$ and $Δ+ V$ are Floquet isospectral. We end with a discussion of the general setting, where the $q_i$ are taken to be vectors in $\mathbb{Z}^d$.
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