Cubature on Wiener Space for McKean-Vlasov SDEs with Smooth Scalar Interaction
本文提出了求解具有光滑标量相互作用的McKean-Vlasov偏微分方程数值解的两种Wiener空间上的求积算法。分析铰链上的尖锐梯度时间非齐次抛物型偏微分方程的界限。这些界限可能是独立的利益。它们推广了Kusuoka \& Stroock的经典结果.通过两个算例对这两种算法进行了测试。
2017-03-12 math.PR
Fokker-Planck equations with terminal condition and related McKean probabilistic representation
如果给定初始条件，通常Fokker-Planck型偏微分方程是适定的。在本文中，或者，我们考虑反问题，其中包括在规定的最终数据：特别是我们给充分条件的存在性和唯一性。在本文的第二部分中，我们提供了一个概率表示的形式的McKean型方程的解对应的时间反演动力学的扩散过程的偏微分方程。
2021-09-27 math.AP math.PR
Non-uniqueness of nonlinear Markov processes in the sense of McKean associated with parabolic PDEs
Institute of Mathematics TU Berlin（柏林工业大学数学研究所）；Faculty of Mathematics Bielefeld University（比勒费尔德大学数学学院）
本文通过将非线性PDE转化为非线性福克-平面克方程，构造了无限多个概率对应物，证明了麦肯恩意义下的非线性马尔可夫过程不唯一由一维时间边缘决定，且展示了其在二维时间边缘下的唯一性。
2026-04-28 math.AP math.PR
Image Dependent Conditional McKean-Vlasov SDEs for Measure-Valued Diffusion Processes
我们考虑一类特殊的平均场随机微分方程的共同噪声依赖于图像的解决方案（即条件分布给定的噪声）。在比平均场对策文献中所用条件弱的单调条件下，得到了强适定性，建立了求解$\scr P_2$上Schrördinner型偏微分方程的Feynman-Kac公式，证明了一类测度值扩散过程的遍历性.
2020-10-17 math.PR
Particle system algorithm and chaos propagation related to non-conservative McKean type stochastic differential equations
讨论了一类新的McKean意义下的非线性随机微分方程的数值问题，这类方程代表非保守的非线性偏微分方程（PDE）.我们提出了一个原始的相互作用粒子系统，我们讨论了混沌的传播。我们考虑这个粒子系统的时间离散近似，我们关联一个随机函数，它被证明收敛到一个正规化版本的非线性偏微分方程的解决方案。
2016-08-02 math.PR
Comparison of viscosity solutions for a class of non-linear PDEs on the space of finite nonnegative measures
University of Michigan（密歇根大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文研究了非线性PDE在有限非负测度空间上的粘性解比较原理，并应用该方法分析了分支过程的最优控制问题。
2026-01-15 math.PR
Multi-species McKean-Vlasov dynamics in non-convex landscapes
University of Birmingham（伯明翰大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；Université Jean Monnet（让·莫内大学）
研究非凸势场中多物种随机相互作用粒子系统及其平均场麦克凯恩-弗拉索夫偏微分方程。通过一般假设建立多物种随机微分方程系统适定性等，针对二次相互作用势研究平稳解等性质，构造自由能泛函并证明解及其自由能向稳态收敛。
2026-07-22 math-ph math.AP math.MP
Malliavin differentiability of McKean-Vlasov SDEs with locally Lipschitz coefficients
本文证明了在漂移项满足局部Lipschitz和单边Lipschitz条件、扩散系数一致Lipschitz的情况下，McKean-Vlasov随机微分方程具有Malliavin可微性，并进一步研究了该可微性从相互作用粒子系统到极限方程的传递。
2025-05-08 math.PR
Well-posedness of kinetic McKean-Vlasov equations
本文在Hölder连续系数和弱Hörmander条件下，证明了扩散系数依赖于分布的退化动力学McKean-Vlasov方程的适定性，填补了该情形的研究空白。
2026-10-21 math.PR
A probabilistic approach to vanishing viscosity for PDEs on the Wasserstein space
在这项工作中，我们证明了一个类似的，偏微分方程的空间上的概率测度，经典的消失粘性结果已知的方程在欧几里得空间。我们的结果特别允许表明，在经典力学和游戏的各种问题中产生的值函数可以作为二阶偏微分方程的极限情况。证明的方法建立在随机分析参数，并允许例如证明一个Freindlin-Wentzell大偏差定理的McKean-Vlasov方程。
2022-06-03 math.AP math.PR
Iterative Particle Approximation for McKean-Vlasov SDEs with application to Multilevel Monte Carlo estimation
自McKean \cite{mckean1966class}以来，相互作用扩散系统（也称为随机相互作用粒子系统（SIPS））的平均场极限得到了广泛的研究。相互作用扩散为许多重要的非线性/非局部偏微分方程的概率表示铺平了道路，但为Monte Carlo模拟提供了巨大的挑战。这是由于非线性依赖的偏差的统计误差所产生的近似的法律的过程。这一点和粒子/扩散不是独立的事实使得经典的方差减少技术不能直接适用，从而使相互作用的扩散的模拟禁止。在这篇文章中，我们提供了另一种迭代粒子表示，灵感来自Sznitman \cite{sznitman1991topics}的不动点论点。这种新的表示具有与经典SIPS相同的平均场极限。然而，与经典SIPS不同，它还允许分解统计误差和近似偏差。我们发展了一个一般的框架来研究迭代粒子系统的可积性和正则性。此外，我们建立了它的弱收敛到McKean-Vlasov方程（MVSDES）。迭代粒子系统的直接优点之一是它可以与多层蒙特卡罗（MLMC）方法相结合，用于模拟MVSDES。我们证明了MLMC方法将计算期望的计算复杂性降低了数量级。这项工作的另一个角度是，我们分析的嵌套多层蒙特卡罗估计，这是独立的利益的错误。此外，我们的工作与状态相关的泛函，不像标量输出是常见的MLMC文献。误差分析是在统一的，似乎是新的，加权规范。
2019-01-16 math.PR
Nonlinear SDEs driven by Lévy processes and related PDEs
本文研究一般非线性随机微分方程，其中通常的布朗运动被Lévy过程所代替.我们还假设，这个过程的增量相乘的系数仅仅是Lipschitz连续的，而不一定是线性的时间边缘的解决方案，是在经典的McKean-Vlasov模型的情况下。我们首先研究这些随机微分方程解的存在性、唯一性和粒子逼近。当驱动过程是具有光滑无界Lévy测度的纯跳Lévy过程时，我们建立了一个随机变分法，证明了解的时间边缘关于勒贝格测度是绝对连续的.在对称稳定驱动过程的情形下，我们得到了一类含有分数阶Laplacian算子的非线性积分微分方程函数解的存在性。
2007-07-18 math.PR
Quantitative approximation to density dependent SDEs driven by $α$-stable processes
本文基于中等相互作用粒子系统，利用 Duhamel 公式与鞅泛函不等式，为受 Brown 运动与 Lévy 过程驱动的密度依赖 McKean-Vlasov SDE 建立了定量逼近，推导出与噪声类型无关的精确经验测度收敛速率及弱与按轨道收敛速率。
2025-04-01 math.PR
Optimal control of path-dependent McKean-Vlasov SDEs in infinite dimension
研究了希尔伯特空间中由随机偏微分方程驱动的非马尔可夫平均场模型下的路径依赖McKean-Vlasov方程的最优控制.我们首先建立状态方程的适定性，然后在这样的一般框架下证明了动态规划原理。严格地得到了值函数V的临界律不变性，这意味着V可以看作是取值于希尔伯特空间的连续函数集合上的概率测度在Wasserstein空间上的函数.然后定义了一个路径测度导数的概念，它推广了Lions [41]的Wasserstein导数，并在Dupire [24]和Wu，Zhang [51]的基础上证明了一个相关的泛函It{<$}公式.通过适当的黏性解概念，从DPP导出了主Bellman方程。我们提供了不同的配方和简化这样一个贝尔曼方程特别是在特殊情况下，没有依赖于法律的控制。
2022-12-20 math.OC math.PR
Probabilistic representation of a class of non conservative nonlinear Partial Differential Equations
引入了一类新的McKean意义下的非线性随机微分方程，它与非保守非线性偏微分方程（PDE）有关.我们讨论存在性和唯一性路径和法律在各种假设下。我们提出了一个原始的相互作用粒子系统，我们讨论了混沌的传播。对于这个系统，我们关联一个随机函数，它被证明收敛到一个正则化版本的PDE的解决方案。
2015-04-15 math.PR
Comparison of viscosity solutions for a class of second order PDEs on the Wasserstein space
本文证明了Wasserstein空间中二阶抛物型偏微分方程粘性解的比较结果，适用于在Fourier-Wasserstein度量下Lipschitz连续且时间一致连续的半解，并基于新颖的Ishii引理版本完成证明。
2024-10-15 math.AP math.OC math.PR
On nonlinear Markov processes in the sense of McKean
本文研究McKean意义下的非线性时间非齐次Markov过程，针对系数仅可测且对测度变量不弱连续的McKean-Vlasov SDE，给出可检验条件使其解的路径分布构成非线性Markov过程，并建立其与一大类非线性抛物型PDE解流的一一对应。
2024-10-18 math.AP math.PR
DeepSets and their derivative networks for solving symmetric PDEs
求解非线性偏微分方程（PDE）的机器学习方法是当前的研究热点，已有的各种算法在高维空间表现出了高效的数值逼近能力。在本文中，我们引入了一类对置换不变的偏微分方程，称之为对称偏微分方程。这些问题是普遍存在的，从宇宙学到量子力学，以及具有可交换支付的多资产市场中的期权定价/套期保值。我们的主要应用实际上来自平均场控制问题的粒子近似。我们基于某些类型的神经网络（称为PointNet和DeepSet（及其相关的衍生网络））设计深度学习算法，用于同时计算对称偏微分方程的解及其梯度的近似值。我们说明了PointNet/DeepSet网络与经典前馈网络相比的性能和准确性，并提供了我们算法的几个数值结果，用于平均场系统风险，均值方差问题和最小/最大线性二次McKean-Vlasov控制问题的例子。
2022-01-04 math.OC math.PR q-fin.CP
A notion of BSDE on the Wasserstein space and its applications to control problems and PDEs
本文引入了Wasserstein空间上的BSDE新概念，将其推广至平均场设定，并证明其与平均场控制问题和PDEs的对应关系，建立了比较原理与存在性结果。
2025-06-29 math.AP math.OC math.PR
An explicit Milstein-type scheme for interacting particle systems and McKean--Vlasov SDEs with common noise and non-differentiable drift coefficients
针对含共同噪声与不可微漂移的McKean--Vlasov SDE及相互作用粒子系统，提出显式漂移随机化Milstein格式，在低正则假设下证得1阶强收敛，引入Spijker型范数处理粒子相互作用并讨论了格式复杂度。
2023-06-16 cs.NA math.NA math.PR
A Probabilistic approach to classical solutions of the master equation for large population equilibria
研究了一类定义在$\mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d),$上的非线性偏微分方程，其中$\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$是$\mathbb{R}^d$上具有有限二阶矩的概率测度的Wasserstein空间.我们证明了这样的方程在足够小的时间间隔内存在一个经典解。在附加的约束条件下，我们证明了他们的解决方案可以扩展到任意大的区间。这些非线性偏微分方程是在大种群随机控制理论的最新发展中出现的。更确切地说，它们是所谓的主方程，对应于具有平均场相互作用的大量受控参与者的渐近平衡，并受到最小化约束。本文中的结果就是利用这种联系推出的。特别地，我们研究了McKean-Vlasov型向前-向后随机系统产生的流关于初始条件的可微性。作为副产品，我们证明了由向前向后系统产生的解耦场是相应主方程的经典解。最后，我们给出了几个应用平均场游戏和McKean-Vlasov扩散过程的控制。
2015-04-21 math.AP math.OC math.PR
Nonlocal, nonlinear Fokker-Planck equations and nonlinear martingale problems
Al.I. Cuza University（阿尔·伊·库扎大学）；Octav Mayer Institute of Mathematics of Romanian Academy（罗马尼亚科学院奥克塔夫·梅耶尔数学研究所）；CIMA – Faculty of Exact Sciences and Engineering, University of Madeira（马德拉大学精确科学与工程学院）；Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学系）；Academy of Mathematics and System Sciences, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）
研究具有非局部算子Ψ(-Δ)的非线性Fokker-Planck方程的温和解存在性与分布解唯一性，并证明对应非线性鞅问题的解存在唯一，进而构造McKean意义下的非线性马尔可夫过程。
2026-09-28 math.AP math.PR
State-Density Flows of Non-Degenerate Density-Dependent Mean Field SDEs and Associated PDEs
本文研究了一个以$(t,μ)\in[0,T]\times L^2(\mathbb{R}^d)$为初始变量的$m^{t,μ}$的Fokker-Planck（FP）方程和一个以$(t,x)\in[0,T]\times \mathbb{R}^d$为初始变量的$X^{t,x,μ}$的随机微分方程的组合系统，其系数依赖于FP方程的解.我们发展了一种概率和分析相结合的方法来探索功能性$V(t,x,μ)=\mathbb{E}[Φ(X^{t,x,μ}_T,m^{t,μ}(T,\cdot))]$的规律性。我们的主要结果表明，在非退化条件和适当的正则性假设下，函数$V$是非局部平均场型偏微分方程的唯一经典解.证明主要依赖于流$μ\mapsto (m^{t,μ}, X^{t,x,μ})$在$μ\in L^2(\mathbb{R}^d)$上的微分性质。最后给出一个例子来说明我们的主要结果的作用。最后，我们讨论了初始$μ$中的$L^1$选择情况。
2022-09-08 math.PR
Weak quantitative propagation of chaos via differential calculus on the space of measures
考虑$\mathbb{R}^d$上平方可积律的度量空间$(\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d),W_2)$，其拓扑由2-Wasserstein距离$W_2$导出.设$Φ: \mathcal{P}_2( \mathbb{R}^d) \to \mathbb{R}$为函数，$μ_N$为分布为$μ$的$N$随机变量样本的经验测度。本文的主要结果是证明在适当的正则性条件下，对于某些不依赖于$N$的正常数$C_1, \ldots, C_{k-1}$，我们有\[ |Φ(μ) - \mathbb{E}Φ(μ_N)|= \sum_{j=1}^{k-1}\frac{C_j}{N^j} + O(\frac{1}{N^k}), \]，其中$k$对应于光滑度.我们区分两种情况：a）$μ_N$是$N$的经验度量-来自$μ$的样本; b）$μ$是McKean-Vlasov随机微分方程的边际律，在这种情况下，$μ_N$是相应粒子系统的边际律的经验律。第一种情况下，研究使用功能的衍生物的空间的措施。第二种情况依赖于概率测度流的伊藤式公式，与测度空间上的偏微分方程密切相关，在平均场博弈的文献中称为主方程。我们国家的一般正则性条件，需要为每种情况下，并分析的情况下，泛函的法律的McKean-Vlasov SDES的规律性。最终，这项工作揭示了相互作用的粒子系统的混沌传播的定量估计。此外，我们能够提供弱…
2019-01-08 math.PR
Branching diffusion representation of semilinear PDEs and Monte Carlo approximation
Société Générale, Global Market Quantitative Research（法国兴业银行，全球市场量化研究）；EDF R&D & FiME, Laboratoire de Finance des Marchés de l’Energie（法国电力集团研发部及能源金融市场金融研究所，能源市场金融实验室）；CEREMADE, University of Paris-Dauphine, PSL Research University（巴黎第九大学数学与决策研究中心，PSL研究大学）；Ecole Polytechnique Paris, Centre de Mathématiques Appliquées（巴黎综合理工学院，应用数学中心）
本文通过分支扩散过程表示半线性抛物型PDE，并利用自动微分技术实现非线性梯度的处理，为高维非线性PDE提供了具有误差估计的蒙特卡洛数值方法。
2016-03-05 cs.NA math.NA math.PR
Quantitative particle approximation of nonlinear Fokker-Planck equations with singular kernel
在这项工作中，我们研究了具有奇异相互作用核的适度相互作用粒子系统的经验测度的收敛性。首先，我们证明了定量收敛的时间边缘的粒子位置的经验措施的解决方案的限制非线性福克-普朗克方程。其次，我们证明了涉及这种奇异核的McKean-Vlasov矩阵的适定性和经验测度的收敛性（混沌的传播）。我们的结果只需要非常弱的规律性的相互作用内核，包括Biot-Savart内核，和有吸引力的内核，如Riesz和Keller-Segel内核在任意维度。对于这些重要的例子中的一些，这是第一次，通过随机粒子系统获得的PDE的定量近似。特别是，这种收敛仍然保持（局部时间）表现出爆破在有限时间的偏微分方程。证明是基于一个半群的方法结合了精细的分析的规则性的无穷维随机卷积积分。
2021-12-20 math.AP math.PR
A Dean-Kawasaki equation for reaction diffusion systems driven by Poisson noise
本文推导含随机 Poisson 场的 Dean-Kawasaki 型随机偏微分方程，描述 N 粒子一元反应扩散系统的涨落，并基于弱相互作用建立其与 McKean-Vlasov 扩散及强相互作用情形的联系。
2025-01-10 cond-mat.stat-mech math.PR
Asymptotic limit of fully coupled multi-scale non-linear stochastic system: the non-autonomous approximation method
本文提出非自治逼近方法，解决全耦合多尺度McKean-Vlasov随机系统渐近极限的开放问题，通过快运动极限刻画整体行为，获得精确收敛速率，并简化了强收敛证明。
2024-12-18 math.PR
Regularization of the superposition principle: Potential theory meets Fokker-Planck equations
Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西奥多·斯托伊洛数学研究所）；University POLITEHNICA Bucharest（布加勒斯特理工大学）；Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Bucharest（布加勒斯特大学数学与计算机科学系）；Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学系）；Academy for Mathematics and Systems Science, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Data Science, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen (CUHK-Shenzhen)（香港中文大学（深圳）数据科学学院）
本文通过叠加原理构建了与FPE相关的马尔可夫过程，并证明了其强马尔可夫性质，进而用于研究FPE的适定性及基本流解。
2026-08-26 math.AP math.PR
