Solutions for nonlinear Fokker-Planck equations with measures as initial data and McKean-Vlasov equations
证明了非线性Fokker-Planck方程（FPE）\begin{align*} &u_t-Δ(β(u))+{\mathrm{ div}}(D(x)b(u)u)=0, \quad t\geq0,\ x\in\mathbb{R}^d,\ d\ne2, \\ &u(0,\cdot)=u_0,\mbox{in }\mathbb{R}^d, \end{align*}广义（温和）解的存在性和唯一性，其中$u_0\in L^1(\mathbb{R}^d)$，$β\in C^2(\mathbb{R})$是非减函数，$b\in C^1$，有界，$b\ge0$，$D\in {L^\infty}(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$，${\rm div}\,D\in L^2(\mathbb{R}^d)+L^\infty(\mathbb{R}^d),$且${({\rm div}\, D)^-}\in L^\infty(\mathbb{R}^d)$，$β$严格递增，如果$b$不是常数.此外，$t\to u(t,u_0)$是$L^1(\mathbb{R}^d)$中的压缩半群，它使$\mathbb{R}^d$中的概率密度函数集保持不变。如果${\rm div}\,D\ge0$，$β'(r)\ge a|r|^{α-1}$，和$|β(r)|\le C r^α$，$α\ge1,$ $d\ge3$，…
2022-03-01 math.AP math.PR
Rough nonlocal diffusions
本文考虑由确定性粗糙路径驱动的非线性Fokker-Planck方程，该方程描述了具有“公共”噪声的McKean-Vlasov扩散的条件概率.为了研究该方程，我们建立了一个完备的非线性粗糙积分理论框架，并利用该框架研究了粗糙路径扰动下的McKean-Vlasov方程。我们构造了相应的Fokker-Planck方程的解的一个适当的概念，并证明了适定性。
2019-05-22 math.AP math.PR
Nonlocal, nonlinear Fokker-Planck equations and nonlinear martingale problems
Al.I. Cuza University（阿尔·伊·库扎大学）；Octav Mayer Institute of Mathematics of Romanian Academy（罗马尼亚科学院奥克塔夫·梅耶尔数学研究所）；CIMA – Faculty of Exact Sciences and Engineering, University of Madeira（马德拉大学精确科学与工程学院）；Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学系）；Academy of Mathematics and System Sciences, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）
研究具有非局部算子Ψ(-Δ)的非线性Fokker-Planck方程的温和解存在性与分布解唯一性，并证明对应非线性鞅问题的解存在唯一，进而构造McKean意义下的非线性马尔可夫过程。
2026-09-28 math.AP math.PR
Superposition and mimicking theorems for conditional McKean-Vlasov equations
我们考虑有条件的McKean-Vlasov随机微分方程（SDES），如在大系统极限的平均场游戏和粒子系统的平均场相互作用时，常见的噪音。这些随机微分方程解的条件时间边际满足二阶非线性随机偏微分方程，而条件时间边际的规律在概率测度空间上遵循Fokker-Planck方程.我们证明了两个叠加原理：第一个建立，任何解决方案的SPDE可以解除到一个解决方案的条件McKean-Vlasov插值，第二个保证，任何解决方案的福克-普朗克方程的空间上的概率测度可以解除到一个解决方案的SPDE。我们使用这些结果，以获得一个模仿定理表明，条件的时间边际的伊藤过程可以模拟的解决方案的条件McKean-Vlasov马尔可夫系数。这产生，特别是，一个工具，用于转换开环控制到马尔可夫的背景下，受控的McKean-Vlasov动态。
2020-03-31 math.AP math.OC math.PR
Quantitative estimate of the overdamped limit for the Vlasov-Fokker-Planck systems
本文采用概率方法建立了Vlasov-Fokker-Planck方程对聚集-扩散方程的过阻尼极限的定量估计，其中特别包括牛顿型奇异力的情况.证明是基于连续道路空间中相应的Mckean型随机微分方程的弱收敛性。我们证明了在同样的假设条件下，可以得到与[10]相同的收敛速度。
2021-10-02 math.AP math.PR
Uniqueness for nonlinear Fokker-Planck equations with general diffusion terms and their associated nonlinear Markov processes
Al.I. Cuza University（阿尔·伊·库扎大学）；Octav Mayer Institute of Mathematics of Romanian Academy（罗马尼亚科学院奥克塔夫·迈尔数学研究所）；Faculty of Mathematics, Bielefeld University（比勒费尔德大学数学学院）；Academy for Mathematics and Systems Science, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Data Science, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen (CUHK-Shenzhen)（香港中文大学（深圳）数据科学学院）
研究具有非对角扩散项的非线性福克 - 普朗克方程分布解唯一性，证明温和解在更大类中唯一，扩展以往结果，还证相关线性化方程唯一性，应用于麦克凯恩 - 弗拉索夫随机微分方程，建立\(L^{\infty}\)估计并证明其解的路径律构成非线性马尔可夫过程。
2026-09-21 math.AP math.PR
On the exponential ergodicity of the McKean-Vlasov SDE depending on a polynomial interaction
Univ Angers, CNRS, LAREMA, SFR MATHSTIC（昂热大学，法国国家科学研究中心，LAREMA，MATHSTIC研究 federation）
本文研究由 U-统计量定义的多体相互作用粒子系统的宏观 McKean-Vlasov 与 Vlasov-Fokker-Planck 方程，通过大偏差、一致对数 Sobolev 不等式及加权 Sobolev 估计证明指数收敛与 W² 指数回归平衡。
2023-06-02 math.AP math.CA math.FA
On nonlinear Markov processes in the sense of McKean
本文研究McKean意义下的非线性时间非齐次Markov过程，针对系数仅可测且对测度变量不弱连续的McKean-Vlasov SDE，给出可检验条件使其解的路径分布构成非线性Markov过程，并建立其与一大类非线性抛物型PDE解流的一一对应。
2024-10-18 math.AP math.PR
A note on the Long-Time behaviour of Stochastic McKean-Vlasov Equations with common noise
本文研究带共同噪声的非线性随机Fokker-Planck方程解的长时间行为，在一致凸势下证明了一致时间条件混沌传播，并揭示了非凸势下共同噪声引发唯一性恢复及指数收敛的稳定作用。
2025-03-06 math.AP math.PR
Weighted $L^1$-semigroup approach for nonlinear Fokker--Planck equations and generalized Ornstein--Uhlenbeck processes
本文用加权 $L^1$ 空间中的 Crandall–Liggett 半群方法构造非线性 Fokker–Planck 方程的温和解，并借助叠加原理关联到 McKean–Vlasov SDE，证明其非线性 Markov 性。
2023-08-18 math.AP math.PR
Convergence to equilibrium for a degenerate McKean-Vlasov Equation
该研究探讨退化非线性非局部McKean-Vlasov方程的平衡态收敛性，通过关联线性退化/缺陷Fokker-Planck方程解，借助最新精确收敛结果得到易计算且常为精确的收敛速率。
2024-11-01 math-ph math.AP math.MP
On Solutions to Graphon McKean-Vlasov SDEs of Nemytskii-type
Bielefeld University（比勒费尔德大学）；Rice University（莱斯大学）；Academy of Mathematics and System Sciences, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
本文研究Nemytskii型Graphon McKean-Vlasov随机微分方程，证明弱解与强解的存在唯一性，并给出相关Fokker-Planck方程的新唯一性结果。
2026-09-17 math.AP math.PR
The ergodicity of nonlinear Fokker-Planck flows in $L^1(\mathbb R^d)$
本文证明了与非线性Fokker-Planck方程$u_t-Δβ(u)+\text{div}(Db(u)u){=}0$，$u(0)=u_0$在$(0,\infty)\times\mathbb R^d$中相关联的非线性半群$L^1(\mathbb R^d)$中的$S(t)$，$d\geq 3$，在关于系数$β:\mathbb R\to\mathbb R$，$D:\mathbb R^d\to\mathbb R^d$和$b:\mathbb R\to\mathbb R$的适当条件下，是平均遍历的.特别是，这意味着平均遍历相应的McKean-Vlasov随机微分方程的解的时间边际律。这完成了在[7]中建立的关于在$L^1(\mathbb R^d)$中的流动$S(t)$没有固定点并且因此相应的定态Fokker-Planck方程没有解的情况下$S(t)$的相应ω-集$ω(u_0)$的性质的结果。
2023-03-15 math.AP math.PR
New link between the fractional p-Laplacian operators and a class of McKean-Vlasov flight type processes
本文证明了一类与非线性抛物方程（含p-Laplacian和分数阶p-Laplacian）相关联的带跳McKean-Vlasov过程的存在性，通过重写为FPKE并利用新的非线性叠加原理解决鞅问题，最终得到弱解。
2026-10-23 math.AP math.PR
McKean-Vlasov diffusion and the well-posedness of the Hookean bead-spring-chain model for dilute polymeric fluids: small-mass limit and equilibration in momentum space
我们重新制定了一般类的经典珠弹簧链模型的稀聚合物流体，与胡克弹簧势，作为McKean-Vlasov扩散。这导致了一个耦合的偏微分方程系统，该系统涉及用于流体的速度和压力的非定常不可压缩线性化的斯托克斯方程，称为Oseen系统，其源项是密度函数的非线性函数，以及二阶退化抛物型Fokker-Planck方程，其传输项取决于速度场，对于密度函数。我们证明了该耦合Oseen-Fokker-Planck方程组存在大数据整体弱解。然后，我们执行严格的通过到极限的珠子的质量在珠弹簧链收敛到零，这是特别显示，导致在动量空间中的平衡。的限制问题，然后用于执行一个严格的推导的Hookean珠弹簧链模型的稀释聚合物流体，它具有有趣的功能，如果流域有界，那么是相关的配置空间域和相关的Kramers应力张量定义的集成在这个有界的配置域。
2018-02-17 math.AP
Nonlinear Fokker-Planck equations with time-dependent coefficients
本文用一种基于算子的方法证明了时变非线性Fokker-Planck方程$u_t(t,x)-Δ(a(t,x,u(t,x))u(t,x))+{\rm div}(b(t,x,u(t,x))u(t,x))=0$在$(0,\infty)\times \mathbb{R}$中$u(0,x)=u_0(x),\ x\in\mathbb{R}^d$在Sobolev空间$H^{-1}(\mathbb{R}^d)$中的强解$u$的存在唯一性，并证明了，如果$u_0$是概率测度的密度，那么对于所有的$t\ge0$，$u(t,\cdot)$也是强解.此外，我们构造了一个与Fokker-Planck方程相关联的McKean-Vlasov方程的弱解，使得$u(t)$是其时间边际律的密度。MSC：60 H15，47 H05，47 J05。关键词：福克-普朗克方程，柯西问题，随机微分方程，索伯列夫空间，周期解。
2022-07-11 math.AP math.PR
Existence and smoothness of density function of solution to Mckean--Vlasov Equation with general coefficients
本文利用Malliavin分析研究一般系数McKean-Vlasov方程解密度函数的存在性与光滑性，在Lipschitz连续和一致椭圆条件下证明存在性，并在最优光滑性假设下给出正则阶数与先验估计，辅以数值实验验证。
2025-04-10 math.AP
Non-uniqueness of nonlinear Markov processes in the sense of McKean associated with parabolic PDEs
Institute of Mathematics TU Berlin（柏林工业大学数学研究所）；Faculty of Mathematics Bielefeld University（比勒费尔德大学数学学院）
本文通过将非线性PDE转化为非线性福克-平面克方程，构造了无限多个概率对应物，证明了麦肯恩意义下的非线性马尔可夫过程不唯一由一维时间边缘决定，且展示了其在二维时间边缘下的唯一性。
2026-04-28 math.AP math.PR
Stationary solutions of the Vlasov-Fokker-Planck equation: existence, characterization and phase-transition
本文研究Vlasov-Fokker-Planck（VFP）方程的定态解集.该方程描述了在双势阱、相互作用势、摩擦力和随机力的影响下运动的粒子的概率分布随时间的演化。我们证明，在适当的假设下，VFP方程没有一个唯一的固定的解决方案，并存在一个相变。我们的研究依赖于Tugaut和合著者关于McKean-Vlasov方程的最新结果。
2015-08-08 math-ph math.AP math.MP
First order equation on random measures as superposition of weak solutions to the McKean-Vlasov equation
Bocconi University（博科尼大学）
本文定义了关联非局部漂移与扩散项的随机测度演化方程，证明其解可提升为McKean-Vlasov方程弱解的叠加，并利用该结果传递方程的存在唯一性，引入相关积分度量作为工具。
2026-08-31 math.AP math.FA math.PR
Quantitative particle approximation of nonlinear Fokker-Planck equations with singular kernel
在这项工作中，我们研究了具有奇异相互作用核的适度相互作用粒子系统的经验测度的收敛性。首先，我们证明了定量收敛的时间边缘的粒子位置的经验措施的解决方案的限制非线性福克-普朗克方程。其次，我们证明了涉及这种奇异核的McKean-Vlasov矩阵的适定性和经验测度的收敛性（混沌的传播）。我们的结果只需要非常弱的规律性的相互作用内核，包括Biot-Savart内核，和有吸引力的内核，如Riesz和Keller-Segel内核在任意维度。对于这些重要的例子中的一些，这是第一次，通过随机粒子系统获得的PDE的定量近似。特别是，这种收敛仍然保持（局部时间）表现出爆破在有限时间的偏微分方程。证明是基于一个半群的方法结合了精细的分析的规则性的无穷维随机卷积积分。
2021-12-20 math.AP math.PR
McKean-Vlasov equations involving hitting times: blow-ups and global solvability
本文分析了两个涉及首达时间的McKean-Vlasov方程的爆破现象，通过建立与过冷Stefan问题的联系及比较原理，或引入新变换结合相对熵分析，分别给出了保证方程全局良定义（无爆破）的参数条件。
2023-07-01 math-ph math.AP math.MP
A stochastic Fokker--Planck equation for the mean-field limit of a population of noisy integrate-and-fire neurons
University of Oxford（牛津大学）；London School of Economics（伦敦政治经济学院）
研究受共同噪声影响的紧密连接兴奋性积分发放神经元系统，证明神经元数量趋于无穷时弱收敛到随机福克 - 普朗克方程控制的膜电位密度，通过能量估计获方程唯一性，还给出膜电位密度的条件麦克凯恩 - 弗拉索夫表示。
2026-07-14 math.AP math.PR
Quantified overdamped limit for kinetic Vlasov-Fokker-Planck equations with singular interaction forces
本文建立了具有非局部相互作用力的动力学Vlasov-Fokker-Planck方程的一个量化的过阻尼极限。我们提供了明确的界限，该动力学方程和极限方程，这是已知的名称下的聚集-扩散方程或McKean-Vlasov方程的解决方案之间的误差。通过引入一个中间系统的粗粒度的地图，我们定量估计的Vlasov-Fokker-Planck方程的空间密度和中间系统的Wasserstein距离为2阶之间的误差。然后，我们推导出Wasserstein梯度流的演化变分不等式，使我们能够量化中间系统和相应的极限方程之间的误差。我们的策略只需要弱的可积性的相互作用势，因此特别是它包括量化的过阻尼限制的动力学Vlasov-Poisson-Fokker-Planck系统的聚集-扩散方程与排斥静电或吸引引力相互作用。
2021-05-28 math.AP
Homogenization and Long Time Behavior of Wasserstein gradient flow for McKean-Vlasov Equation
Purdue University（普渡大学）
本文研究含空间快速振荡的 McKean-Vlasov 方程的 Wasserstein 梯度流，证明其均匀化极限为有效介质中的梯度流，并给出对不变测度的指数收敛速率，推广了线性 Fokker-Planck 方程的结果。
2026-09-29 math.AP
Regularization of the superposition principle: Potential theory meets Fokker-Planck equations
Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西奥多·斯托伊洛数学研究所）；University POLITEHNICA Bucharest（布加勒斯特理工大学）；Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Bucharest（布加勒斯特大学数学与计算机科学系）；Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学系）；Academy for Mathematics and Systems Science, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Data Science, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen (CUHK-Shenzhen)（香港中文大学（深圳）数据科学学院）
本文通过叠加原理构建了与FPE相关的马尔可夫过程，并证明了其强马尔可夫性质，进而用于研究FPE的适定性及基本流解。
2026-08-26 math.AP math.PR
Nonuniqueness for the kinetic Fokker-Planck equation with inelastic boundary conditions
我们描述了一维空间中边界靠近奇异集的区域中动力学Fokker-Planck方程解的结构。我们特别研究的非弹性边界条件，其特征在于通过一个系数$r$描述的能量损失量的粒子与域的边界的碰撞的方程的解决方案的行为。这个问题的一个特殊特征是临界指数rc的开始，这是从McKean的分析中得出的（参见。[26])的性质的随机过程相关的福克-普朗克方程的考虑。本文严格地证明了所考虑问题的解是非唯一的，如果$r < r_c$和唯一的，如果$r_{c}<r\leq 1$。特别是，这种非唯一性解释了在物理文献中发现的与福克-普朗克方程相关的随机微分方程的数值模拟的不同行为。在本文结果的证明中，我们使用了相应文献[16]中的几个渐近公式和计算。
2018-02-20 math.AP
Uniform in time weak propagation of chaos on the torus
本文证明d维环面上弱相互作用扩散粒子的经验分布与McKean-Vlasov极限规律间的弱误差为O(1/N)且时间一致，并推广至超临界Kuramoto模型。
2024-03-01 math.AP math.PR
Entropy-dissipation Informed Neural Network for McKean-Vlasov Type PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Peking University（北京大学）
本文将 Fokker-Planck 方程的自洽性推广到 McKean-Vlasov 方程，利用熵耗散构造广义自洽势，并通过神经网络最小化该势函数来求解具有奇异相互作用的 MVE，在多个算例上验证了其有效性。
2023-10-27 cs.LG cs.NA math.AP
Variational principles on the space of Lorenz curves: Gradient structures and isometries inspired by Wasserstein geometry
本文借鉴Wasserstein几何，在Lorenz曲线空间构建Riemann梯度结构并证明其与概率测度流形的等距关系，为非线性非局部演化方程赋予变分原理。
2025-07-24 math.AP
Local convergence rates for Wasserstein gradient flows and McKean-Vlasov equations with multiple stationary solutions
针对自由能存在非全局最小值临界点导致log-Sobolev不等式全局失效的问题，提出局部不等式方法，为颗粒介质方程及Vlasov-Fokker-Planck方程提供了局部指数收敛速率，并证明了粒子系统自由能的快速衰减。
2025-06-26 math.AP math.FA math.PR
The Leibenson process
本文将 Leibenson 方程识别为非线性 Fokker–Planck 方程，通过构造系数依赖于边际密度及其导数的新型 McKean–Vlasov SDE，证明了其 Barenblatt 解的随机表示，并建立了相应的非线性 Markov 过程——Leibenson 过程。
2025-08-18 math.AP math.PR
On the system of partial differential equations arising in mean field type control
本文讨论了由有限时间控制麦肯维斯动态引发的福克-计划克和哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程系统，给出存在性和唯一性结果，并提出简单的人群运动模型并进行数值模拟比较。
2015-03-17 cs.NA math.AP math.NA
Phase transition of the kinetic Justh-Krishnaprasad type model for nematic alignment
本文提出随机 Justh-Krishnaprasad 集群模型，研究其平均场极限下 VMFP 方程的相变，证明相变仅取决于噪声与耦合强度之比，并在低噪声情形得到向 von-Mises 平衡态的指数收敛，为向列对齐提供理论证据。
2025-04-09 math.AP
