Horns in Billiards
Queen’s University（女王大学）；Tufts University（塔夫茨大学）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
研究证明弹球中的“角”能排斥所有轨迹，并提出亚博德不变量。
2026-02-24 math.DS
The Existence of a Billiard Orbit in the Regular Hyperbolic Simplex
本文证明了在双曲空间中的n维正则单形内存在一个（n+1）周期台球轨迹，它与每个面的内部恰好碰撞一次.
2013-02-26 math.DS
Periodic orbits for square and rectangular billiards
本文研究方形与矩形数学台球，分类其周期轨道，证明碰撞数必为偶数，并将轨道类别数联系到 Euler 函数，同时分析给定碰撞数的构造及终止于角点的奇异轨迹。
2024-10-25 math.DS
On the Local Theory of Billiards in Polygons
多边形台球桌上的周期性轨迹是稳定的，如果它在任何足够小的扰动下持续存在。一个标准的结果是，$n$ -边形上的周期轨迹以自然的方式产生$n$ -穿孔球面上的闭路，并且该轨迹是稳定的当且仅当该路径是零同调的。我们提出了一个新的证明，这一结果的语言覆盖空间，它概括到一个多边形的邻域中的稳定轨迹的特征。利用这一点，我们分类的稳定周期轨道附近的30-60-90三角形，给出了一个新的证明施瓦茨的结果，没有邻居的三角形可以覆盖一个有限的联盟的轨道瓦片。推广了Hooper和Schwartz关于等腰Veech三角形$V_n$不允许$n=2^m,m\ge 2$有周期轨道的结果，并检验了他们关于$V_n$的邻域不可能被多个轨道瓦片覆盖的猜想.
2014-05-06 math.DS
The statistics of the trajectory in a certain billiard in a flat two-torus
我们考虑一个台球在穿孔环面通过删除一个小磁盘从二维平面环面，与轨迹开始从中心的穿刺。在这种情况下，相空间仅由速度的范围给出。我们证明了当穿孔的大小趋于零时，$[0,\infty)$上与第一个出口时间相关的概率测度是弱收敛的，并明确地计算了极限的密度。
2003-12-23 math-ph math.DS math.MP
Straightening Billiard Trajectories in Flat Disks and Katok-Zemlyakov Construction
我们提供了一种方法来拉直每个台球轨迹在一个扁平的磁盘。作为一个应用，我们表明，对于每个点的磁盘上，几乎所有的方向，相应的台球轨迹的封闭包含一个顶点。我们将Katok-Zemlyakov构造推广到具有有理角数据的平面圆盘：对于每个有理平面圆盘，我们得到一个平移曲面和一个到圆盘加倍的投影。我们计算了这种平移曲面的欧拉示性数。
2019-04-11 math.DS math.MG
The average length of a trajectory in a certain billiard in a flat two-torus
我们从平面二维环面中取出一个小圆盘，并考虑一个点状粒子从圆盘中心开始以线性轨迹运动。我们提供渐近估计的时刻的第一个出口的时间，相对于速度，当半径的光盘趋于零。
2003-12-23 math-ph math.DS math.MP
Lagrangian Relations and Linear Point Billiards
受$N$ -体问题的高能极限的启发，我们构造了非确定性台球过程。台球桌是欧几里得向量空间中线性子空间的有限集合的补。轨迹是一条匀速多边形曲线，顶点在子空间上，在击中由“动量守恒”（镜面反射）控制的子空间时改变方向。轨迹的行程是它按顺序命中的子空间的列表。两个基本问题是：（A）行程是否有限？(B)所有具有固定行程的轨迹的空间结构是什么？在一个美丽的一系列文件布拉戈-Ferleger-Kononenko [BFK]回答（A）肯定地使用非光滑度量几何的想法和概念的阿达玛空间。我们回答（B），证明这个轨线空间与欧几里得空间中直线空间上的拉格朗日关系是同构的。我们的方法结合了BFK的拉格朗日关系的生成家庭的概念。
2016-06-04 math.DS
Nonpersistence of resonant caustics in perturbed elliptic billiards
焦散是具有以下特性的曲线：台球轨迹一旦与其相切，则在台球桌边界处的每次反射之后保持相切。当台球桌是椭圆时，任何非奇异台球轨迹都有焦散，它可以是共焦椭圆或共焦双曲线。共振焦散-那些切线轨迹是封闭的多边形-在台球桌的一般扰动下被破坏。我们证明，没有一个共振椭圆焦散持续下一个大类的显式扰动的原始椭圆。这个结果来自于标准的Melnikov论证和对某些椭圆函数的复奇点的分析。
2011-08-29 math.DS nlin.CD
Is every triangle a trajectory of an elliptical billiard?
本文运用 Marden 定理证明每个三角形、平行四边形及“Darboux butterflies”自交折线均为某唯一椭圆内的台球轨迹，并有效计算出边界椭圆的焦点，揭示了 Marden 定理与 Poncelet Porism 间的联系。
2025-01-28 math-ph math.CV math.DS
Arnold Diffusion in Multi-Dimensional Convex Billiards
考虑严格凸域中的台球动力学，并考虑以与边界成小正角的速度矢量开始的轨迹。拉祖特金证明，在二维空间中，这个角度不可能沿着轨迹趋于零。我们证明了这样的轨迹可以存在于更高的维度。也就是说，使用几何技术的Arnold扩散，我们表明，在三维或更多维，假设测地流的边界上的域有一个双曲周期轨道和横同宿，存在的轨迹渐近接近台球边界是一个普遍的现象，在实解析拓扑。
2022-07-19 math.DS
Snell meets Fagnano. Path optimization through an imperfect mirror
本文研究了在不完美镜面中通过 Snell 法则优化路径的问题，提出了一种基于加权周长的三角形优化方法。
2025-12-01 math.DS
On Cayley conditions for billiards inside ellipsoids
在$\Rset^n$的椭球内的台球轨迹的所有段（或其延续）与由椭球确定的共焦二次曲面束的n-1个二次曲面相切。与周期性台球轨迹相关联的二次曲面验证了某些代数条件。凯莱在平面盒里找到的。Dragović和Radnović将其推广到任何层面。我们重写这些广义凯莱条件作为一个简单的多项式的原始矩阵制定。我们发现焦散参数和椭球参数之间的几个显着的代数关系，产生非奇异的周期轨迹。
2012-11-28 math.DS nlin.SI
Billiard trajectories inside Cones
本文研究凸锥内台球轨迹的反射次数问题，证明存在C²凸锥允许有限时间内无限多次反射，并利用两个首次积分估计了R³中椭圆锥内轨迹的反射次数。
2025-02-04 math.DG math.DS
Splitting of separatrices, scattering maps, and energy growth for a billiard inside a time-dependent symmetric domain close to an ellipse
我们研究台球动力学内的一个椭圆的轴的长度周期性地改变的时间和一个$O(δ)$ -小四次多项式变形添加到边界。在这种情况下，台球中粒子的能量不再守恒。我们证明了在这样的系统中存在一个费米加速：存在一个能量趋于无穷大的台球轨迹。的建设是基于分析的动力学在相空间附近的同宿相交的稳定和非稳定流形的正常双曲不变的圆柱$Λ$，参数化的能量和时间，对应于沿椭圆的长轴的运动。该证明依赖于将同宿通道附近的台球映射简化为由沿$Λ$上定义的两个Hamilton流的移位组成的迭代函数系统。这两个流近似于所谓的内部和散射映射，这是在阿诺德扩散的研究中出现的基本工具;散射映射由沿着稳定和不稳定不变流形$W^{s,u}(Λ)$在同宿点的强稳定和强不稳定叶理$W^{ss,uu}$的投影定义。Melnikov类型的计算意味着，在这个问题中的散射映射的行为是非常不寻常的：它只定义在一个小的子集$Λ$收缩，在大的能量限制，一组平行线$t=const$作为$δ\to 0$。
2017-12-08 math.DS
Escape orbits and Ergodicity in Infinite Step Billiards
在前一篇文章中，我们定义了一类非紧多边形台球，即无限步台球：对于给定的非负数递减序列$\{p_{n}$，有一个对应表$\Bi := \bigcup_{n\in\N} [n,n+1] \times [0,p_{n}]$ .在本文中，首先我们将上一篇论文的主要结果推广到更广泛的例子类别。也就是说，A. S。存在唯一的逃逸轨道，其属于每个其它轨道的α和ω极限。然后，Troubetzkoy最近的工作后，我们证明，一般这些系统是遍历几乎所有的初始速度，和熵相对于广泛的一类遍历措施是零。
1999-06-09 chao-dyn math.DS nlin.CD
Integrable Birkhoff Billiards inside Cones
本文证明$\mathbb{R}^n$中凸$C^3$锥体内的Birkhoff台球具有二次第一积分且轨迹反射次数有限，并首次给出既非二次曲面也非二次曲面组合的可积台球例子。
2025-01-22 math.DG math.DS
Poncelet property of planar elliptic integrable Kepler billiards
Gymnasium Holzkirchen（霍尔茨基兴中学）；School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
本文研究了平面椭圆可积开普勒弹奏板的庞加莱性质，通过分析非零能量轨道的连续第二轨道焦点线，发现其均与固定圆相切，并探讨了椭圆反射壁内外的可积动力学，识别了线性化椭圆曲线及相应的位移，并讨论了使用凯莱准则的n-周期性条件。
2026-05-21 math-ph math.DS math.MP
The frequency map for billiards inside ellipsoids
椭球体$Q \subset \Rset^{n+1}$内的台球运动是完全可积的。它的相空间是一个$2n$维的辛流形，它主要由$n$维的刘维尔环面构成。每个刘维尔环面上的运动变成了一个平行平移，其频率$ω$随环面而变化。此外，$Q$中的任何台球轨迹都与$n$焦散线$Q_{λ_1},...,Q_{λ_n}$相切，因此焦散参数$λ=(λ_1,...,λ_n)$是台球映射的积分。频率图$λ\mapsto ω$是理解周期性台球轨迹结构的关键工具。原则上，它只对焦散参数的非奇异值有明确的定义。我们提出了四个apturtures，完全支持数值实验。最后一个给出了一些下界的周期。这些边界仅取决于焦散的类型。我们描述了$ω$的几何意义，域和范围。映射$ω$可以连续地扩展到焦散参数的奇异值，尽管它在其中一些处变得“指数尖锐”。最后，我们研究了$\Rset^3$的三轴椭球。数值计算了具有固定频率的刘维尔环面在参数空间中消失时的分岔曲线。我们确定哪些椭球有更多的周期性轨迹。我们通过显示焦散线具有正确类型的周期四、五和六的周期轨迹来检查周期的先前下限是否是最佳的。对$\Rset^2$的椭圆也给出了一些新的见解。
2011-08-29 math.DS nlin.SI
One-dimensional inelastic collapse of four particles: asymmetric collision sequences and spherical billiard reduction
本文研究四个非弹性硬球的一维非弹性坍缩，证明非对称周期碰撞模式可实现，并约化为低维球面台球系统，数值模拟显示轨道可能拟周期。
2024-11-15 math-ph math.DS math.MP
