arXiv 2512.081962025-12math.AP

全非线性退化抛物方程强吸收情形下的正则性

Regularity for fully nonlinear degenerate parabolic equations with strong absorption

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP（坎皮纳斯州立大学）；Southeast University（东南大学）

Jiangwen Wang, João Vitor da Silva, Feida Jiang

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AI总结：

本文研究全非线性退化抛物方程强吸收情形下的正则性，建立了自由边界处的C^α正则性估计，并提出梯度衰减性质的新表述。

摘要：

在本文中，我们研究了全非线性退化抛物方程强吸收情形下的死核问题，方程为 |Du|^p F(D²u) - u_t = λ_0(x,t) u^μ χ_{ {u>0} }(x,t) 在 Q_T := Q × (0,T) 内。其中 0 ≤ p < ∞ 且 0 < μ < 1。我们建立了沿自由边界 ∂{u > 0} 的抛物 C^α 正则性估计，其中 α := (2+p)/(1+p-μ) > 1 + 1/(1+p)。此外，我们建立了解的弱几何性质，如非退化性和均匀正密度。作为应用，我们得到了整个解的Liouville型定理和梯度界。最后，作为我们方法的副产品，我们得到了全非线性奇异椭圆方程的新L^δ-平均估计，并提出了梯度衰减性质的新表述。值得注意的是，本文的结果扩展了da Silva等人（Pacific J. Math., 300 (2019), 179--213）和（J. Differential Equations, 264 (2018), 7270--7293）在退化情形下的结果，并可视为da Silva等人（Math. Nachr., 294 (2021), 38--55）和Teixeira（Math. Ann., 364 (2016), 1121--1134）的抛物类比。此外，具有独立数学兴趣的是，我们强调本文建立了全非线性退化抛物模型中连续有界强迫项粘性解的比较原理结果和紧性。这些紧性和比较性质是推导我们模型问题中强吸收情形下自由边界点增强正则性估计的关键要素。

英文摘要：

In this paper, we investigate dead-core problems for fully nonlinear degenerate parabolic equations with strong absorption, \begin{equation*} |Du|^{p} F(D^{2}u) - u_{t} = λ_{0}(x,t)\, u^μ\, χ_{\{u>0\}}(x,t) \qquad \text{in } \quad Ω_{T} := Ω\times (0,T), \end{equation*} where $0\le p<\infty$, $0<μ<1$ and $u \geq 0 $ is a bounded viscosity solution satisfying $0\le u_t\le A_0u^μ$ in the viscosity sense for some $0\le A_0<\infty$. We establish a sharp and improved parabolic $C^α$-regularity estimate along the free boundary $\partial \{ u > 0 \}$, where \[ α:= \frac{2+p}{1+p-μ} > 1 + \frac{1}{1+p}. \] Moreover, we establish weak geometric properties of solutions, such as non-degeneracy and uniform positive density. As an application, we obtain a Liouville-type theorem for entire solutions and gradient bounds. Finally, as a byproduct of our approach, we derive a new formulation of the gradient decay property and establish a Harnack-type inequality on time slices. It is worth noting that the results presented here extend those in da Silva {\em et al.}(Pacific J. Math., \textbf{300} (2019), 179--213) and (J. Differential Equations., \textbf{264} (2018), 7270--7293) to the degenerate setting, and can be viewed as a parabolic analogue of da Silva {\em et al.} (Math. Nachr., \textbf{294} (2021), 38--55) and Teixeira (Math. Ann., \textbf{364} (2016), 1121--1134).

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摘要：

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