关于 $n$ 维环面的 Raimi 定理
Raimi's theorem for the $n$-dimensional torus
AI总结：
本文将 Raimi 定理扩展到 $n$ 维环面，利用测度论和积空间切片技术证明了存在特定的可测划分性质。
摘要：
我们把 Raimi 的经典划分定理扩展到连续的圆和 $n$ 维环面设置中。在有限群的最近工作基础上，我们证明了存在可测划分的 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$，其性质是对于任何有限可测覆盖，某些翻译部分的覆盖与每个划分元素有正测度的交集。我们的证明采用了从有限设置中组合论的论证，并利用测度论技术以及在积空间中的切片论证。
英文摘要：
We extend Raimi's classical partition theorem to the continuous setting of the circle and $n$-dimensional torus. Building on recent work of Hegyvári, Pach, and Pham in finite groups, we prove that there exist measurable partitions of the $n$-dimensional torus $\mathbb{T}^n$ with the property that for any finite measurable cover, some translated part of the cover has positive measure intersection with every partition element. Our proof adapts combinatorial arguments from the finite setting using measure-theoretic techniques and slicing arguments in product spaces.
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