测试超网格上的禁止序模式性质
Testing forbidden order-pattern properties on hypergrids
AI总结：
本文系统研究高维网格上的模式自由性测试，提出三维排列的自适应测试器及下界，并给出单调模式的指数级分离，同时引入新的擦除弹性单调性测试器。
摘要：
我们研究函数 $f:[n]^d\to\mathbb{R}$ 的 $\pi$-自由性测试，其中 $f$ 是 $\pi$-自由的，如果不存在 $k$ 个索引 $x_1\prec\cdots\prec x_k\in [n]^d$ 使得对所有 $i,j \in [k]$ 有 $f(x_i)<f(x_j)$ 且 $\pi(i) < \pi(j)$，其中 $\prec$ 是 $[n]^d$ 上的自然偏序。给定 $\epsilon\in(0,1)$，$\epsilon$-测试 $\pi$-自由性要求区分 $\pi$-自由函数与那些 $\epsilon$-远函数——即至少需要修改 $\epsilon n^d$ 个函数值才能使其 $\pi$-自由。虽然 $k=2$ 的情形与单调性测试一致，但对于 $k>2$ 的情形所知甚少。\n我们开启了对高维网格上模式自由性的系统性研究。对于 $d=2$ 和所有大小为 $k=3$ 的排列，我们设计了一个自适应单侧测试器，其查询复杂度为 $O(n^{4/5+o(1)})$。我们还证明了 $k=3$ 的一般下界：每个非自适应测试器需要 $\Omega(n)$ 次查询，每个自适应测试器需要 $\Omega(\sqrt{n})$ 次查询，这为 $\pi$-自由性提供了第一个超对数下界。对于单调模式 $\pi=(1,2,3)$ 和 $(3,2,1)$，我们提出了一个具有多对数查询复杂度的非自适应测试器，给出了单调模式和非单调模式之间的指数级分离（与一维情形不同）。\n我们的 $\pi$-自由性测试器的一个关键成分是新的擦除弹性（$\delta$-ER）$\epsilon$-测试器，用于 $[n]^d$ 上的单调性，其查询复杂度为 $O(\log^{O(d)}n/(\epsilon(1-\delta)))$，其中 $0<\delta<1$ 是擦除比例的上界。先前的 ER 测试器仅适用于 $\delta=O(\epsilon/d)$。我们的非自适应单调性测试器通过 Pallavoor、Raskhodnikova 和 Waingarten（Random Struct. Algorithms, 2022）的匹配下界几乎是最优的。最后，我们表明当前技术即使在二维超网格上也无法为长度为 $4$ 的模式产生亚线性查询测试器。
英文摘要：
We study testing $π$-freeness of functions $f:[n]^d\to\mathbb{R}$, where $f$ is $π$-free if there there are no $k$ indices $x_1\prec\cdots\prec x_k\in [n]^d$ such that $f(x_i)<f(x_j)$ and $π(i) < π(j)$ for all $i,j \in [k]$, where $\prec$ is the natural partial order over $[n]^d$. Given $ε\in(0,1)$, $ε$-testing $π$-freeness asks to distinguish $π$-free functions from those which are $ε$-far -- meaning at least $εn^d$ function values must be modified to make it $π$-free. While $k=2$ coincides with monotonicity testing, far less is known for $k>2$. We initiate a systematic study of pattern freeness on higher-dimensional grids. For $d=2$ and all permutations of size $k=3$, we design an adaptive one-sided tester with query complexity $O(n^{4/5+o(1)})$. We also prove general lower bounds for $k=3$: every nonadaptive tester requires $Ω(n)$ queries, and every adaptive tester requires $Ω(\sqrt{n})$ queries, yielding the first super-logarithmic lower bounds for $π$-freeness. For the monotone patterns $π=(1,2,3)$ and $(3,2,1)$, we present a nonadaptive tester with polylogarithmic query complexity, giving an exponential separation between monotone and nonmonotone patterns (unlike the one-dimensional case). A key ingredient in our $π$-freeness testers is new erasure-resilient ($δ$-ER) $ε$-testers for monotonicity over $[n]^d$ with query complexity $O(\log^{O(d)}n/(ε(1-δ)))$, where $0<δ<1$ is an upper bound on the fraction of erasures. Prior ER testers worked only for $δ=O(ε/d)$. Our nonadaptive monotonicity tester is nearly optimal via a matching lower bound due to Pallavoor, Raskhodnikova, and Waingarten (Random Struct. Algorithms, 2022). Finally, we show that current techniques cannot yield sublinear-query testers for patterns of length $4$ even on two-dimensional hypergrids.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
