Functional limit theorems for Galton-Watson processes with very active immigration
我们证明了弱收敛的Skorokhod空间的Galton-Watson过程的移民，适当规范化，假设移民分布的尾部有对数衰减。极限是极值散粒噪声过程。通过考虑边缘分布，我们恢复了Pakes [Adv. Appl. Probab.，11（1979），31- 62]。
2016-12-05 math.PR
Asymptotic behavior of a multi-type nearly critical Galton--Watson processes with immigration
研究了具有移民的多型非齐次Galton-Watson过程，其中后代均值阵缓慢收敛于临界均值阵。在一般条件下，我们得到了该过程的极限分布，其中极限向量的坐标不一定是独立的。
2013-07-30 math.PR
On aggregation of multitype Galton-Watson branching processes with immigration
研究了带移民的平稳多型Galton-Watson分支过程的独立拷贝的时间聚集和同期聚集分别在所谓的迭代和同时情形下的极限行为.在这两种情况下，极限过程是一个零平均布朗运动，在三阶矩条件下，分支和移民分布具有相同的协方差函数。我们专门为广义整数值自回归过程和单型Galton-Watson过程的移民以及我们的结果。
2018-01-18 math.PR
Central limit theorems for a heavy-tailed subcritical Galton-Watson process with state-dependent immigration
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文针对仅当前一代为空时发生移民的重尾次临界Galton-Watson过程，建立直至时间n总后代的中心极限定理，扩展了有限方差模型的已有结果。
2026-08-13 math.PR
Asymptotic behaviour of critical decomposable 2-type Galton-Watson processes with immigration
本文研究了后代均值矩阵可约时带移民的临界2型Galton-Watson过程的渐近行为，证明在矩条件下缩放随机阶梯过程弱收敛，极限过程由平方Bessel过程和平稳分布描述，扩展了Foster和Ney（1978）的结果。
2022-11-12 math.PR
Limit theorems for the critical Galton-Watson processes with immigration stopped at zero
本文考虑移民停止于零的临界Galton-Watson分支过程$\mathbf{W}$ .得到了$n$次种群生成函数的精确估计，并研究了$\mathbf{W}$生命期的尾概率。在此基础上，建立了$\mathbf{W}$的两个条件极限定理。
2021-11-07 math.PR
Asymptotics of nearly critical Galton-Watson processes with immigration
本文研究了具有移民的非齐次Galton-Watson过程，其中$ρ_n$是$n^\textrm{th}$代的后代均值趋于1.我们证明，如果后代生成函数的二阶导数足够快地变为0，则渐近性与Györfi等人处理的INAR（1）情况相同。如果这个假设不成立，我们还确定了极限，表明条件的最优性。
2011-07-13 math.PR
Coalescence for supercritical Galton-Watson processes with immigration
本文考虑带移民的Galton-Watson过程。从$n$代随机挑选$i(\ge2)$个体，不进行替换，并追踪它们的世系，直到它们在某一代合并成$1$个体，我们将其表示为$X_{i,1}^n$，称为合并时间。首先，我们根据后代分布和移民律的概率母函数给出了$X_{i,1}^n$的概率分布。然后通过研究带移民的Galton-Watson过程的各种泛函的极限行为，得到$X_{2,1}^n$的极限分布为$n\rightarrow\infty.$
2019-12-23 math.PR
Asymptotic behavior of CLS estimators for $2$-type doubly symmetric critical Galton-Watson processes with immigration
本文讨论了带有移民的$2$型临界双对称正正则Galton-Watson分支过程的后代均值$(α,β)$和临界参数$\varrho:=α+β$的条件最小二乘估计的渐近性态.
2014-10-16 math.PR
Functional limit theorems for Galton--Watson processes with inhomogeneous immigration
HUN-REN–SZTE Analysis and Applications Research Group, Bolyai Institute, University of Szeged（匈牙利研究与创新网络-塞格德大学分析与应用研究组，博莱伊研究所）；Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）
本文针对具有非齐次移民的Galton--Watson过程，在子代均值极限小于或等于1时，建立了泛函极限定理，极限过程为移民极限过程的常数倍或积分泛函。
2026-10-28 math.PR
Harmonic moments and large deviations for a critical Galton-Watson process with immigration
本文研究了具有移民$Z_{n}$的临界Galton-Watson分支过程.我们首先得到了$Z_{n}$的调和矩的收敛速度。然后得到了$S_{Z_n}:=\sum_{i=1}^{Z_n} X_i$的大偏差，其中$\{X_i\}$是独立同分布的零均值随机变量序列，尾指标为$α>2$ .我们将看到，收敛速度是由移民的平均值，再生的方差和尾部指数的$X_1^+$，相比以前的结果，在超临界情况下，速度取决于Schröder常数和尾部指数。
2020-04-19 math.PR
Quasi-limiting behaviour of the sub-critical Multitype Bisexual Galton-Watson Branching Process
本文研究次临界双性Galton-Watson分支过程的拟极限行为，利用凹算子特征值与灭绝的联系，克服缺乏分支性质的困难，证明拟平稳分布的存在性与收敛性。
2024-09-05 math.PR
Scaling limit of the recurrent biased random walk on a Galton-Watson tree
我们证明了在重整化的Galton-Watson树上的零递归有偏随机游动的迹收敛到布朗森林。我们的结果推广到Galton-Watson树上的随机环境中的随机游动的情形。
2015-09-24 math.PR
Small deviations of a Galton-Watson process with immigration
本文考虑了具有移民$(\mathcal{Z}_n)$的Galton-Watson过程，其后代概率为$(p_i)$，移民概率为$(q_i)$ .当$p_0=0$，$p_1\neq 0$，$q_0=0$（即当$\text{essinf} (\mathcal{Z}_n)$在$n$中线性增长时）时，我们建立了过程$( \mathcal{Z}_n)$的鞅极限$\mathcal{W}$的左尾$\mathbb{P}\{\mathcal{W}<\varepsilon\}$的渐近性为$\varepsilon\downarrow 0$。进一步，我们考虑第一代$\mathcal{K}$，使得$\mathcal{Z}_{\mathcal{K}}>\text{essinf} (\mathcal{Z}_{\mathcal{K}})$和研究的渐近行为$\mathcal{K}$条件上$\{\mathcal{W}<\varepsilon\}$，作为$\varepsilon\downarrow 0$。我们找到了$\mathcal{K}$趋于无穷大的尺度，并描述了$\mathcal{K}$在该尺度附近的波动。最后，我们将结果与标准Galton-Watson过程的结果进行了比较。
2016-12-13 math.PR
On aggregation of subcritical Galton-Watson branching processes with regularly varying immigration
我们研究了一个迭代的时间和同期聚合的$N$独立副本的强平稳次临界Galton-Watson分支过程，定期变化的移民指数$α\in (0, 2)$。证明了当取有限维分布的极限为$N \to \infty$，再取时间尺度$n \to \infty$时，适当中心化和尺度化的聚集部分和过程的有限维分布的极限是存在的.如果是$α\in (0, 1) \cup (1, 2)$，则极限过程是$α$ -稳定过程;如果是$α= 1$，则极限过程是斜率为$1$的确定性直线。
2020-07-17 math.PR
Ergodic properties of subcritical multitype Galton-Watson processes
本文证明了亚临界多型Galton-Watson过程的平稳分布的存在性，而不需要对后代分布的均值矩阵作任何条件。还证明了平稳分布的一些附加性质。
2023-02-21 math.PR
Scaling limit of multitype Galton-Watson trees with infinitely many types
本文引入了一类带边长的2-型Galton-Watson树。我们证明，经过适当的重新标度，加权高度函数的森林，这样的树木收敛于法律反映布朗运动。然后利用这一点在较弱的条件下导出了类型数可数的多型Galton-Watson树的一个不变原理，推广了G. Miermont关于多类型Galton-Watson树
2015-10-31 math.PR
Coalescence times for critical Galton-Watson processes with immigration
本文针对带移民的临界 Galton-Watson 过程，考察第 n 代随机两粒子及整个种群的溯祖时间在 n 趋于无穷时的极限行为。
2023-07-14 math.PR
Growth of Galton-Watson trees: immigration and lifetimes
我们研究了某些一致的家庭$(F_λ)_{λ\ge 0}$的高尔顿-沃森森林与生命的边长和/或移民的祖先的树木在$F_λ$。具体地，这里的一致性是指对于每个$μ\leλ$，森林$F_μ$具有与由伯努利叶着色中的黑色叶跨越的$F_λ$的子森林相同的分布的性质，其中$F_λ$的每个叶以概率$μ/λ$独立地被着色为黑色。Duquesne和Winkel研究了指数分布寿命和无移民的情况，并与马尔可夫连续状态分支过程的谱系有关。我们在这里的任意寿命分布和移民的框架内，根据一个更新过程，有关的Sagitov的（非马尔可夫）概括的连续状态分支更新过程，和类似的过程与移民。
2010-04-18 math.PR
A 2-spine Decomposition of the Critical Galton-Watson Tree and a Probabilistic Proof of Yaglom's Theorem
本文提出了临界Galton-Watson树的一种双刺分解，并利用这种分解给出了Yaglom定理的一个概率证明。
2018-05-15 math.PR
Small deviations for critical Galton-Watson processes with infinite variance
本文研究后代方差无限的临界 Galton-Watson 过程的小偏差概率渐近性质，并以此分析约化临界 Galton-Watson 过程的结构。
2025-05-15 math.PR
Metastable Behavior of Bootstrap Percolation on Galton-Watson Trees
我们分析了Galton-Watson树上的自举逾渗临界附近的亚稳态。我们发现，根据后代分布的确切选择，有可能有几个不同的亚稳态，其持续时间不同的缩放，而接近临界。
2018-04-17 math.PR
The critical Galton-Watson process vanishes
高尔顿-沃森过程属于概率的标准教学。基本定理说，只有当繁殖力超过1时，生存才是可能的。经典的证明本质上是分析的，使用生成函数和凸性参数。在这里，我们以Bezuidenhout和Grimmett的精神，给出一个概率性更强的证明。
2016-10-10 math.PR
Differentiability of the speed of biased random walks on Galton-Watson trees
证明了超临界Galton-Watson树上的$λ$ -偏置随机游动的速度对$λ$是可微的，使得游动是弹道式的并服从中心极限定理，并给出了一个$2$ -维高斯随机变量的导数表达式.证明大量使用了由Lyons-Pemantle-Peres引入的Galton-Watson树的更新结构。
2020-05-01 math.PR
Local limits of conditioned Galton-Watson trees I: the infinite spine case
本文给出了条件Galton-Watson树依分布收敛于Kesten树的一个充要条件。这产生了初步的证明Kesten的结果以及其他已知的结果的局部极限的条件Galton-Watson树。然后，我们应用这个条件得到新的结果，在临界和亚临界的情况下，在分布的Galton-Watson树的条件下，有大量的个人与出度在一个给定的集合的限制。
2013-10-16 math.PR
Regularity results of the speed of biased random walks on Galton-Watson trees
本文证明了当$λ\in(0,1)$满足时，无叶超临界Galton-Watson树上的$λ$ -偏随机游动的速度是可微的，并给出了对某一二维高斯随机变量的导数表达式.证明大量使用了由Lyons-Pemantle-Peres引入的Galton-Watson树的更新结构。
2019-06-20 math.PR
Constructing and searching conditioned Galton-Watson trees
我们调查条件高尔顿-沃森树一般递归类型的事件，如事件树生存，直到一个特定的水平。结果表明，条件树又是一种高尔顿-沃森树，具有不同类型的后代和依赖于水平的后代分布，这些都将被显式地给出。作为这些结果的一个有趣的应用，我们将计算搜索一棵树直到达到给定水平的期望成本。
2014-12-18 math.PR
Population size of critical Galton-Watson processes under small deviations and infinite variance
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所）
本文研究了在观察时刻n处种群大小异常小的假设下，临界Galton-Watson过程在无限方差情况下的种群大小分布演变。
2026-02-02 math.PR
Survival Probabilities for N-ary Subtrees on a Galton-Watson Family Tree
Galton-Watson分支过程的家谱树可以包含N元子树，即其顶点具有至少N>0个子的子树。对于没有无限N元子树的家族树，我们研究了高度为t的N元子树在t趋于无穷大时消失的速度。
2008-03-04 math.PR
Invariant Measures, Hausdorff Dimension and Dimension Drop of some Harmonic Measures on Galton-Watson Trees
我们考虑无限无叶Galton-Watson树和i.i.d.~随机变量在它们的每个顶点上称为标记。我们定义了一类流规则标记的Galton-Watson树，我们能够在一些代数假设下，建立明确的不变测度。我们应用这一结果，连同遍历理论的Galton-Watson树在\cite{LPP95}开发，计算豪斯多夫维数的调和测度在两种情况下。第一个是Galton-Watson树上的（瞬态）$λ$ -有偏随机游动的调和测度，其中的不变测度和维数都是未知的.第二种情况是一个具有随机长度的Galton-Watson树上的随机游动模型，我们计算了其调和测度的维数，并对边界上的自然度量和另一个依赖于随机长度的度量给出了降维现象.
2018-05-04 math.PR
An Elementary Proof of Hawkes's Conjecture on Galton-Watson Trees
1981年，J. Hawkes在分支测度的总质量的无穷远处的尾的一定假设下，给出了超临界Galton-Watson树边界的Hausdorff度规函数的精确形式。Hawkes猜想已被T. Watanabe在2007年以及其他关于Galton-Watson树边界分形性质的精确结果。本文的目的是在比T. Watanabe的论文，使用Lyons，Pemantle和Peres在1995年提出的有大小偏差的Galton-Watson树。
2008-11-12 math.PR
Critical Multi-Type Galton-Watson Trees Conditioned to be Large
在极小条件下，证明了临界多型Galton-Watson树在向多型Kesten树有大的按类型的子代时的局部收敛.本文将Neveu关于Z^d上非周期随机游动的强比极限定理推广到Z^d上.
2016-09-27 math.PR
Einstein relation for biased random walk on Galton--Watson trees
我们证明了爱因斯坦关系，在一个小的扰动下的扩散平衡的速度，对于某些有偏的随机游动的高尔顿-沃森树。这提供了第一个例子，证明了爱因斯坦关系的运动在随机介质中的任意深陷阱。
2011-12-22 math.PR
Random interlacements on Galton-Watson Trees
本文研究了非灭绝事件条件下的Galton-Watson树上的随机交错渗流（由A.S. Sznitman在arXiv：0704.2560中引入）的临界参数u^{*}。本文从A. Teixeira在arXiv：0907.0316中，我们证明了，对于给定的Galton-Watson树的定律，这个参数的值是a.s.常数和非平凡。我们还将此值表征为某个方程的解。
2010-12-03 math.PR
Conditioning Galton-Watson trees on large maximal out-degree
提出了一种新的随机树条件化方法，即随机树的最大出度必须很大。在这个新的条件下，我们表明，条件临界高尔顿-沃森树收敛局部大小偏置树具有一个独特的无限的脊椎。对于次临界情形，我们得到了具有唯一无穷结点的大小偏置树的局部收敛。我们还研究了次临界Galton-Watson树的最大出度的尾部，这对于证明其局部收敛是必不可少的。
2014-12-05 math.PR
Invasion Percolation on Galton-Watson Trees
我们考虑Galton-Watson树上的入侵渗流。在几乎每一棵Galton-Watson树上，入侵簇几乎必然只包含一条无限路径，这意味着对于几乎每一棵Galton-Watson树，入侵渗流在从根开始的无限路径上导出一个概率测度。我们证明了在一定条件下的后代分布，这一措施是绝对连续的极限一致测度。这证实了入侵逾渗是一种有效的自校正算法，可用于从极限均匀分布中近似采样。此外，我们分析了沿主干的入侵集群的前向最大权重，并证明了该过程的一个极限定律。
2018-02-05 math.PR
Monotonicity of the speed for biased random walk on Galton-Watson tree
Ben Arous，Fribergh和Sidoravicius \cite{GAV2014}证明了无叶Galton-Watson树上有偏随机游动$RW_λ$的速度对于$λ\leq \frac{m_1}{1160},$是严格递减的，其中$m_1$是Galton-Watson树的最小度。在本文中，我们证明了在没有叶子的Galton-Watson树上的$λ\leq \frac{1}{2}.$，当$m_1\geq 2;$时，它的速度对于$λ\in \left[0,\frac{m_1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{m_1}}}\right]$是严格递减的，这一证明归功于A \cite{EA2013} .
2016-10-26 math.PR
A note on the scaling limits of contour functions of Galton-Watson trees
最近，Abraham和Delmas通过鞅变换将超临界Lévy树连接到（次）临界Lévy树，构造了在固定高度截断的超临界Lévy树的分布。类似的关系也适用于离散的Galton-Watson树。利用已有的关于（次）临界树轮廓函数收敛性的研究成果，证明了截断超临界Galton-Watson树轮廓函数弱收敛于Abraham和Delmas构造的分布.
2013-05-07 math.PR
Local limits of galton-watson trees conditioned on the number of protected nodes
我们考虑一个标记过程的顶点的树，每个顶点标记独立于其他的概率，只取决于它的出度。我们证明了一个关键的高尔顿-沃森树的条件下，有大量的标记顶点的分布收敛到相关的大小偏置树。然后，我们应用这一结果给一个关键的高尔顿-沃森树有大量的保护节点的条件下分布的限制。
2016-04-26 math.PR
Speed of the biased random walk on a Galton--Watson tree
给出了Galton-Watson树上有偏随机游动的速度表达式。在简单随机游动的特殊情况下，我们恢复了Lyons，Pemantle和Peres \cite{LyPePe95}的结果.该证明使用了从粒子看到的环境的不变分布的描述。
2013-01-18 math.PR
Maximal local time of randomly biased random walks on a Galton-Watson tree
考虑了随机环境中有根树上的递归随机游动，该环境由分支随机游动给出。直到第一次返回到根，它的边局部时间形成具有可数无穷多个类型的多类型Galton-Watson树。当步行是扩散或次扩散，通过研究最大类型的这个Galton-Watson树，我们建立了渐近行为的最大本地时间的步行在n次游览，退火法。
2020-10-01 math.PR
Conditioned multi-type Galton-Watson trees
我们考虑多类型的高尔顿沃森树，并找到这些树的分布时，条件非常一般类型的递归事件。结果表明，条件树又是一个多类型的高尔顿沃森树，可能有更多的类型和后代分布，这取决于父节点的类型和父节点的高度。这些分布是明确给出的。我们给出了一些有趣的例子，我们可以处理的条件，表明我们的方法有广泛的应用。
2015-07-22 math.PR
Invariant Galton-Watson trees: metric properties and attraction with respect to generalized dynamical pruning
不变Galton-Watson（IGW）树测度是一类对大类树约简操作不变的单参数临界Galton-Watson测度族。这些操作包括广义动态修剪（也称为实树设置中的遗传约简），其根据任意子树函数的值来消除后代子树，该子树函数相对于等距诱导的部分树顺序是单调非递减的。我们证明了，在一个温和的正则性条件下，IGW措施是唯一的吸引子临界Galton-Watson措施的广义动力学修剪。我们还得到了IGW树的高度，长度和大小的分布。
2022-01-06 math.PR
A note on the maximal out-degree of Galton-Watson trees
本文研究了Galton-Watson树的局部最大出度和全局最大出度。特别地，我们证明了任何局部最大出度的尾部和后代分布的尾部是渐近相同的顺序。然而，对于全局最大出度，这仅在次临界情况下成立。
2015-03-07 math.PR
Branching random walks and contact processes on Galton-Watson trees
我们考虑分支随机游动和接触过程的无限，连接，局部有限的图，其复制和传染率在边缘是成反比的顶点度。我们证明了当环境图是一个Galton-Watson树时，在一定的条件下，分支随机游动和接触过程将具有弱生存阶段。我们还提供了临界值的界限。
2014-04-15 math.PR
Asymptotic behavior of some strongly critical decomposable 3-type Galton--Watson processes with immigration
HUN-REN–SZTE Analysis and Applications Research Group, Bolyai Institute, University of Szeged（匈牙利研究与创新网络-塞格德大学分析与应用研究组，博莱研究所）；Bolyai Institute, University of Szeged（博莱研究所，塞格德大学）
研究后代均值矩阵为对角线为1的三角矩阵的临界可分解3型Galton-Watson带移民过程的渐近行为，证明在二阶或四阶矩条件下，适当缩放的过程弱收敛到由独立平方Bessel过程及其积分和迭代积分描述的极限过程。
2026-06-16 math.PR
On the cover time of λ-biased walk on supercritical Galton-Watson trees
本文研究了一个λ-有偏（λ>1）遍历到第n代的超临界Galton-Watson树的所有顶点所需的时间。受[Cortines，Louidor，Saglietti 2018]中用于二叉树上简单随机游动的极值景观方法的启发，我们在有偏设置中建立了覆盖时间的缩放限制。
2020-03-16 math.PR
Stochastic Ordering of Infinite Geometric Galton-Watson Trees
我们考虑了后代服从Geom $(p)$分布的Galton-Watson树。我们让$T_{\infty}(p)$表示这样的树条件是无限的。我们证明了对于任何$1/2\leq p_1 <p_2 \leq 1$，$T_{\infty}(p_1)$和$T_{\infty}(p_2)$之间存在耦合，使得${\mathbb P}(T_{\infty}(p_1) \subseteq T_{\infty}(p_2))=1.$
2015-02-26 math.PR
A quenched central limit theorem for biased random walks on supercritical Galton-Watson trees
本文证明了带叶的超临界Galton-Watson树上有偏随机游动的猝灭泛函中心极限定理。这扩展了Peres和Zeitouni（2008）的结果，其中考虑了没有叶子的情况。本·阿罗斯和弗里伯格（Ben Arous and Fribergh，2016）的一个猜想提出了我们观察到的偏置的上界。
2017-01-16 math.PR
Penalization of Galton-Watson processes
本文将Roynette，Vallois，Yor对布朗运动引入的惩罚技术应用于Galton-Watson过程，其惩罚函数为$P (x)s^x$，其中P为p次多项式，s为$\in$ [0，1].我们证明了用这种方法得到的极限鞅在大多数情况下都是经典的，除了在超临界情形s = 1（或s $\rightarrow$ 1），我们得到了新的鞅.如果用这个鞅对概率测度作一个变换，我们得到一个具有p个可区别的无限刺的多型Galton-Watson树.
2018-03-28 math.PR
A special family of Galton-Watson processes with explosions
线性分数阶Galton-Watson过程是一个著名的例子，它可以显式地计算分支过程的许多特征。本文将两参数线性分式再生律族推广到更丰富的四参数再生律族。相应的高尔顿-沃森过程也允许显式计算，现在有可能无限平均，甚至无限数量的后代。我们研究这个特殊的分支过程的家庭的属性，并显示，特别是，在某些爆炸的情况下，爆炸的时间可以近似的Gumbel分布。
2015-12-10 math.PR
Scaling limits of bisexual Galton-Watson processes
两性Galton-Watson过程是离散的马尔可夫链，其中生殖事件是由于雄性和雌性的交配。由于这种相互作用，Galton-Watson过程的标准分支性质丢失。基于Bansaye，Caballero和M{é}l{é}ard最近开发的技术，我们证明了方便重新标度的两性Galton-Watson过程的紧性。我们还确定了这些重新标度的过程作为一个随机系统的解决方案的可能的限制，耦合两个方程通过奇异系数的泊松项添加到平方根系数的布朗运动。在一些附加的可积性假设下，得到了该极限随机微分方程系统的路径唯一性和重标度过程的收敛性。两个例子对应的相互保真度。
2020-06-09 math.PR
Gromov-Hausdorff-Prokhorov convergence of vertex cut-trees of n-leaf Galton-Watson trees
本文研究了具有$n$叶的Galton-Watson树的点割树。这个概念是一个轻微的变化Dieuleveut的顶点割树的高尔顿-沃森树的条件有$n$顶点。我们的主要结果是有限方差情形下Galton-Watson树及其割树的联合Gromov-Hausdorff-Prokhorov收敛于布朗CRT及其割树的Bertoin和Miermont的联合分布。该方法也适用于无穷方差的情况下，但加强Dieuleveut的和Bertoin和Miermont的Gromov-Prokhorov收敛到Gromov-Hausdorff-Prokhorov的问题仍然开放，他们的模型条件有$n$顶点。
2017-03-31 math.PR
Biased random walk on critical Galton-Watson trees conditioned to survive
考虑临界Galton-Watson树上的有偏随机游动，证明了该模型与某些具有慢变尾部的一维捕获模型属于同一普适类.事实上，在这两个设置中，我们建立密切相关的功能极限定理涉及一个极端的过程，也表明极端老化发生。
2012-03-19 math.PR
