Basis of a Banach space with respect to a filter F on N (F-basis for short) is a generalization of basis, where the ordinary convergence of series is substituted by convergence of partial sums with respect to the filter F. We study the behavior of the norms of partial sums operators for an F-basis, depending on the filter and on the space. One of the central results is:
The following properties of a sequence $(a_n)_{n \in N} \subset (1, \infty)$ are equivalent:
(i) $\sum_{n \in N} a_n^{-1} = \infty$.
(ii) There are a free filter F on N, an infinite-dimensional Banach space X and an F-basis $(u_k)$ of X such that the norms of the partial sums operators with respect of $(u_k)$ are equal to the corresponding $a_n$.
Daugavet- and Delta-points in absolute sums of Banach spaces
A Daugavet点（分别为~）$Δ$ -点）是巴拿赫空间的一个范数为1的元$x$，对于它，单位球中的每个点（分别为~元素$x$本身）位于几乎与$x$相距2的单位球元素的闭合凸包中。一个巴拿赫空间具有著名的Daugavet性质（分别为~ diametral local diameter 2 property）当且仅当每个范数为1的元素是Daugavet点（分别为~ $Δ$ -点）。本文补充了T. A.亚伯拉罕森河Haller，V. Lima，and K. Pirk，在那里开始研究巴拿赫空间的绝对和中的Daugavet-和$Δ$ -点的存在性。
研究d维赋范空间中单位向量的δ-可加集的大小：任意两个向量之和的范数至多为δ。单可加集起源于寻找有限维光滑赋范空间（Z）中Steiner最小树的顶点度的上界。Füredi，J. C. Lagarias，F. Morgan，1991）。我们证明了在所有d维赋范空间上，当delta>2/3时，delta-可加集的最大尺寸在d中呈指数增长，当delta<2/3时保持有界，当delta=2/3时线性增长。此外，d维赋范空间中2/3可加集的最大大小具有d的尖锐上界，但与三维l^1空间等距的空间除外，其中存在四个单位向量的2/3可加集。
