Pushing Cops and Robber on Graphs of Maximum Degree 4
Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Étienne, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学、法国国家科学研究中心、克莱蒙奥弗涅理工学院、圣艾蒂安国立高等矿业学校、LIMOS实验室）
研究在最大度数为4的图上，通过推动操作扩展了警官和小偷游戏的必胜策略条件。
2025-12-25 cs.DM math.CO
On Meyniel's Conjecture in Random Hypergraphs
IFAM（联邦亚马孙州教育学院）
本文研究超图上的警察与强盗博弈，证明对于扩张超图及满足一定条件的随机超图，Meyniel猜想成立，即警察数上界为O(√(n/k))。
2026-06-26 math.CO
On the Cop Number of String Graphs
本文针对弦图警察数上界这一开放问题，提出新颖的守卫技术，将上界从15改进至13，并将该技术推广到完全活跃警察与强盗变体及boxicity 2图，同时得到围长至少为5的弦图色数至多为14。
2025-04-10 cs.DM math.CO
Flip-width: Cops and Robber on dense graphs
本文提出了新的图参数flip-width，通过Cops and Robber游戏变体统一了稀疏图与稠密图的温顺性理论，证明了其一阶逻辑下的保持性，并推测其与模型论中的monadically dependent类及固定参数可处理的模型检测问题相关。
2024-03-22 cs.DM cs.DS cs.LO
Cops and Robbers on Graphs with a Set of Forbidden Induced Subgraphs
已知不包含图$H$作为导出子图的图类是cop-bounded的当且仅当$H$是一个森林，它的每个分支都是一条路.在本研究中，我们刻画了所有的图集合$\mathscr{H}$，其中一些$k\in \mathbb{N}$从上面限定了$\mathscr{H}$的成员的直径，使得$\mathscr{H}$ -free图，即没有$\mathscr{H}$的成员作为诱导子图的图，都是受警察约束的这，特别是，给出了一个特征的Cop-bounded类的图定义的一个有限集的连通图作为禁止诱导子图。此外，我们扩展我们的特征的情况下，Cop-bounded类的图定义的一组$\mathscr{H}$的禁止图，使有$k\in\mathbb{N}$约束的直径组件的成员$\mathscr{H}$从上面。
2018-12-15 cs.DM math.CO
Fast winning strategies in a generalized van der Waerden game
Auburn University（奥本大学）
研究广义瓦尔德韦因游戏中的获胜策略，证明当$|S|\leq 3$时制胜者可在$|S|$回合内获胜，当$|S|=4$时可在5回合内获胜，而$|S|\geq 5$时无此类策略。
2026-01-27 math.CO
Coarse geometry of the Cops and robber game
本文提出警察与小偷博弈的两种变体，定义弱警察数与强警察数，证明它们是拟等距不变量，并给出双曲图等类别的取值结果。
2023-06-20 math.CO math.GR
Compact metric spaces with infinite cop number
本文通过在$\mathbb{S}^3$上构造具有无限警察数的度量，反驳了Mohar关于紧致测地度量空间中有限警察必胜及同调群秩上界的猜想。
2023-09-07 math.CO math.MG math.OC
Maker-Breaker Percolation Games II: Escaping to Infinity
设$Λ$是一个无限连通图，$v_0$是$Λ$的一个顶点.我们考虑下面的位置博弈。两名球员，制造者和断路器，轮流发挥。最初，$Λ$的所有边都标记为不安全。在她的每一个回合中，Maker将$p$不安全的边标记为安全，而在他的每一个回合中，Breaker将$q$不安全的边从图形中删除。如果在游戏中的任何时候，包含$v_0$的组件变为有限，则断路器获胜。否则，如果Maker能够确保$v_0$无限期地保持在无限分量中，那么我们说她有一个获胜策略。这个博弈可以被认为是著名的香农交换博弈的一个变体。给定$(p,q)$和$(Λ, v_0)$，我们想知道：这两个参与者中哪一个有获胜策略？本文的主要结果是：当$Λ= \mathbb{Z}^2$和$v_0$是任意顶点时，Maker在$p\geq 2q$时有获胜策略，而Breaker在$2p\leq q$时有获胜策略.另外，当$Λ$是无限$d$ -正则树时，我们完全确定了两个参与者中的哪一个对每对$(p,q)$都有获胜策略.最后，我们给出了一般图和格的一些结果，并提出了一些开放的问题。
2020-06-26 math.CO
The Localization Game On Cartesian Products
本地化游戏由两名玩家玩：一名警察和一队$k$警察，以及一名强盗。游戏初始化由强盗选择一个顶点$r \in V$，警察不知道。之后，游戏将以回合制进行。在每个回合开始时，Cop探测$k$顶点，并返回一个距离矢量。如果警察可以从矢量中确定$r$的确切位置，则强盗被定位，警察获胜。否则，强盗可以留在PDMATHAMO，或者移动到$r$附近的$r'$。然后Cop再次探测$k$顶点。游戏继续以这种方式进行，如果强盗可以在有限数量的回合中找到，警察就赢了。本地化数$ζ(G)$定义为最小正整数$k$，对于该最小正整数，无论强盗的移动如何，警察都具有获胜策略。在本文中，我们主要研究在笛卡儿积上的对策。我们证明了$ζ( G \square H) \geq \max\{ζ(G), ζ(H)\}$和$ζ(G \square H) \leq ζ(G) + ψ(H) - 1$，其中$ψ(H)$是$H$的一个双重可分解集.我们还表明，$ζ(C_m \square C_n)$是大多数等于2。
2020-10-15 math.CO
The Maker-Breaker percolation game on the square lattice
我们研究了Day和Falgas-Ravry在$\mathbb{Z}^2$上引入的$(m,b)$ Maker-Breaker渗流博弈。作为我们的第一个结果，我们表明，断路器有一个获胜的策略，为$(m,b)$ -游戏时，$b \geq (2-\frac{1}{14} + o(1))m$，打破比率$2$障碍证明日和Falgas-Ravry。在进一步回答Day和Falgas-Ravry的问题时，我们证明了Breaker可以赢得$(m,2m)$ -博弈，即使他允许Maker在博弈开始前对任意整数$c$要求$c$的边，而且他可以赢得相当快（作为$c$的函数）。最后，我们考虑了通常的键渗流过程与参数$p$后，在$\mathbb{Z}^2$上进行的游戏。我们表明，当$p$不是太大，比$1/2$，断路器几乎肯定有一个获胜的策略，为$(1,1)$ -游戏，即使制造商被允许选择的起源后，董事会确定。
2021-05-26 math.CO
A characterization of graphs of radius-$r$ flip-width at most $2$
本文证明了对于除1外的所有自然数及无穷大的r，r-翻转宽度至多为2的图类恰好等价于（C5，牛图，宝石图，余宝石图）-无关图类，即关于双连接的全可分解图。
2024-10-19 math.CO
Maker-Breaker Percolation Games I: Crossing Grids
受渗流理论中的问题的启发，我们研究了以下两人位置博弈。设$Λ_{m \times n}$是一个矩形网格图，每行中有$m$顶点，每列中有$n$顶点。两名球员，制造者和断路器，轮流发挥。在她的每一个回合中，Maker声称$p$（尚未被声称的）板边$Λ_{m \times n}$，而在他的每一个回合中，Breaker声称$q$（尚未被声称的）板边并销毁它们。如果Maker成功占领将棋盘左侧连接到右侧的交叉路径的所有边缘，则Maker获胜，否则Breaker获胜。我们把这个游戏叫做在$Λ_{m \times n}$上的$(p,q)$穿越游戏.给定$m,n\in \mathbb{N}$，Maker在$Λ_{m \times n}$上的$(p,q)$交叉游戏中，对哪些对$(p,q)$有获胜策略？$(1,1)$ -情况完全对应于流行的Bridg-it游戏，这是很好理解的，因为它是旧香农切换游戏的特殊情况。本文研究了一般的$(p,q)$ -情形。我们的主要结果是建立以下过渡：$\bullet$如果$p\geqslant 2q$，那么Maker在任意长版本的最西棋盘上赢得游戏，即Maker对于任何$m\in \mathbb{N}$在$Λ_{m \times(q+1)}$上的$(2q, q)$交叉游戏都有获胜策略; $\bullet$如果$p\leqslant 2q-1$，则对于板的每个宽度$n$，断…
2020-01-31 math.CO
A Constructive Winning Maker Strategy in the Maker-Breaker $C_4$-Game
本文为 $C_4$-Maker-Breaker 博弈提出了首个构造性 Maker 策略，证明当 $q < 0.16 n^{2/3}$ 时 Maker 必胜，该常数相比此前随机策略有显著提升。
2024-06-26 math.CO
The Maker-Breaker percolation game on a random board
本文研究随机删边格点上的 Maker-Breaker 渗流博弈，证明 $(1,1)$ 时任意 $p<1$ Breaker 几乎必然获胜，并给出 $(2,1)$ 博弈的双方阈值区间及更一般随机预置边模型。
2024-02-27 math.CO math.PR
A two-player voting game in Euclidean space
School of Mathematics, University of Bristol（布里斯托大学数学学院）
本文研究欧几里得空间中两位候选人先后选点以争取最多选民的投票博弈，刻画了获胜点集的几何条件，证明非共线情形下 Alice 的获胜点唯一，并给出多项式时间判定与定位算法。
2025-11-10 math.CO math.OC
A Cop-Win Graph with Maximum Capture Time $ω$
针对警察与小偷博弈中无限cop-win图的捕获时间问题，构造了一个最大捕获时间为$\omega$的无限cop-win图，证否了相关不存在性猜想。
2025-07-29 math.CO math.LO
Constructive Winning Breaker Strategies in the Maker-Breaker $C_k$-Game
Kiel University（基尔大学）
针对Maker-Breaker子图博弈，提出Breaker的建设性获胜策略，证明当偏倚满足条件时Breaker获胜，并给出$k$-圈博弈中渐近最优的显式界。
2026-07-03 math.CO
Strong Ramsey Games: Drawing on an infinite board
研究了在无限完全$k$ -一致超图$K^k_{\mathbb{N}}$的边集上的强Ramsey型对策$\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$.两个参与者，称为FP（第一个参与者）和SP（第二个参与者），轮流声明$K^k_{\mathbb{N}}$的边，目的是构建某个有限预定$k$ -均匀超图$\mathcal{H}$的副本。第一个复制$\mathcal{H}$的玩家获胜。如果没有一个玩家有策略来确保他在200步中获胜，那么游戏被宣布为平局。本文构造了一个$5$ -一致超图$\mathcal{H}$，使得$\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$是一个画.这与在$K^5_n$的边集上进行的相应有限博弈$\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, n)$形成鲜明对比。事实上，使用一个被称为\emph{strategy stealing}的经典博弈论论证和一个拉姆齐型论证，可以证明对于每个$k$ -均匀超图$\mathcal{G}$，存在一个整数$n_0$，使得FP对于每个$n \geq n_0$都有一个$\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{G}, n)$的获胜策略。
2016-05-25 math.CO
Game Distinguishing Numbers of Cartesian Products of Graphs
图的可区别数$H$是一个与对称性有关的图不变量，其研究始于二十多年前。区别数$D(H)$是使得$H$具有$d$ -区别着色的最小整数$d$。$d$ -可区别染色是仅在平凡自同构下的染色$c:V(H)\rightarrow\{1,\dots,d\}$不变量.在本文中，我们继续研究这个参数的游戏变体，最近推出。区别游戏是两个玩家的游戏，Gentle和Rascal，具有对抗性目标。这个游戏是在一个图形$H$上玩的，它有一组固定的$d\in\mathbb N^*$颜色。或者，两个玩家选择一个$H$的顶点，并用$d$颜色之一对其着色。游戏结束时，所有的顶点都已着色。然后，如果颜色是$d$ -可区分的，则温和获胜，否则，流氓获胜。这个游戏定义了两个新的不变量，这是确保Gentle拥有获胜策略所需的最小颜色数量，取决于谁开始游戏。不变量最终可能是无限的。在本文中，我们专注于carnival产品，一个图的操作，以及在经典的情况下研究。给出了两个连通因子$H$和$F$互素的阶的充分条件，从而保证了卡氏积$H\square F$的一个博弈区别数是有限的.如果$H$是一个对合图，我们给出了$H\square F$的一个博弈可区别数的阶$D^2(H)$的上界.最后，部分地利用前面的结果，我们计算了相对素圈的笛卡儿积的这些不变量的精确值。结果表明，该值要么是无穷大，要么等于$2$，这取决于乘积阶的奇偶性。
2015-12-04 math.CO
A New Game Invariant of Graphs: the Game Distinguishing Number
本文提出图的博弈区分数，定义温和者与顽皮者的对抗博弈，给出无穷性条件、对合图二次上界，并计算超立方体、偶圈及非素数阶奇圈的精确值，素数阶奇圈上界为3。
2017-02-07 math.CO
Indicated list colouring game on graphs
该研究围绕图的指示列表染色博弈展开，刻画了非指示度可选图的结构为扩展Gallai树，给出对应线性判定算法，还分类刻画了IC-Brooks图并提出有界最大度图的线性判定算法。
2025-02-22 math.CO
The Graph Coloring Game on $4\times n$-Grids
本文研究了图着色游戏在笛卡尔网格上的确切游戏色数，证明了对于任意 $n\geq 18$，$4\times n$-网格 $P_4\times P_n$ 的游戏色数 $χ_g$ 等于 4。
2024-12-23 cs.DM math.CO
