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arXiv 2504.00331math.NT
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关于群 $\mathbb{Z}_{m_{1}} \times \mathbb{Z}_{m_{2}}$ 在 $m_{1}m_{2}\leq x$ 且 $m_{1}m_{2}$ 为 $k$ 次幂时的子群数量

On the number of subgroups of the group $\mathbb{Z}_{m_{1}} \times \mathbb{Z}_{m_{2}}$ with $m_{1}m_{2}\leq x$ such that $m_{1}m_{2}$ is a $k$-th power

Yankun Sui, Dan Liu, Boling Zhou

备注：
16 pages
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AI总结：

本文研究了群 $\mathbb{Z}_{m_{1}} \times \mathbb{Z}_{m_{2}}$ 在乘积 $m_{1}m_{2}$ 不超过 $x$ 且为 $k$ 次幂时的子群数量求和问题，并推导出了 $k=2$ 和 $k=3$ 时的渐近公式。

摘要：

设 ${\Bbb Z}_{m}$ 为模 $m$ 剩余类加群，$s(m_{1},m_{2})$ 表示群 ${\Bbb Z}_{m_{1}}\times {\Bbb Z}_{m_{2}}$ 的子群数量，其中 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 为任意正整数。我们考虑 $\sum\limits_{\substack{m_{1}m_{2}\leq x \\\\ m_{1}m_{2}\in N_{k}}}s(m_{1},m_{2})$ 型求和，其中 $N_{k}$ 为自然数 $k$ 次幂集合。特别地，我们推导出了 $k=2$ 和 $k=3$ 时的渐近公式。

英文摘要：

Let ${\Bbb Z}_{m}$ be the additive group of residue classes modulo $m$ and $s(m_{1},m_{2})$ denote the number of subgroups of the group ${\Bbb Z}_{m_{1}}\times {\Bbb Z}_{m_{2}}$, where $m_{1}$ and $m_{2}$ are arbitrary positive integers. We consider sums of type $\sum\limits_{\substack{m_{1}m_{2}\leq x \\ m_{1}m_{2}\in N_{k}}}s(m_{1},m_{2})$, where $N_{k}$ is the set of $k$-th power of natural numbers. In particular, we deduce asymptotic formulas with $k=2$ and $k=3$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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