Infinitesimal Newton-Okounkov bodies on products of curves
Mihai Fulger, Victor Lozovanu
本文计算了曲线乘积上盒积极化在任意点处的通用无穷小Newton-Okounkov体，提供了任意维此类体的首个非平凡描述。
我们计算了曲线乘积上某些盒积极化在任意点处的通用无穷小Newton-Okounkov体。这似乎是任意维此类体的首个非平凡描述。
We compute the generic infinitesimal Newton-Okounkov body at any point for some box-product polarizations on products of curves. This appears to be the first nontrivial description of such a body in arbitrary dimension.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Newton-Okounkov bodies on projective bundles over curves
本文研究曲线上射影向量丛上的Newton-Okounkov体。受沃尔夫的估计用于计算这些品种的体积函数的启发，我们计算所有的牛顿Okounkov机构相对于线性标志。此外，我们还利用Newton-Okounkov体刻画了曲线上的半稳定向量丛。
Infinitesimal Newton-Okounkov bodies and jet separation
在本文中，我们探讨渐近基轨迹和牛顿Okounkov机构与无穷小标志之间的联系。类似于表面的情况下，我们得到了完整的特征的增广和限制基地轨迹。有趣的是，一个不可分割的一部分的论点是一个研究之间的关系，包含在牛顿-奥库科夫机构和射流分离的某些单纯形，我们的研究结果也导致一个凸的几何描述移动Seshadri常数。
Positivity of line bundles and Newton-Okounkov bodies
本文利用Newton-Okounkov体刻画了射影簇上线丛的渐近基轨迹。
Okounkov bodies and Seshadri constants
Okounkov体是定义在大线丛上的闭凸集，它包含了关于线丛的丰富信息。另一方面，Seshadri常数是测量线丛正性的不变量。本文证明了Okounkov体给出Seshadri常数的下界。
Okounkov bodies associated to abundant divisors and Iitaka fibrations
本文的目的是研究与富足因子相关的Okounkov体。作为主要结果，我们证明了富足因子的赋值Okounkov体编码了所有的数值性质。我们应用这一结果恢复的渐近基轨迹的丰富因子从赋值Okounkov机构。我们还通过比较它们的欧氏体积，给出了富足因子的赋值Okounkov体与极限Okounkov体重合的判别准则。为了得到这些结果，我们证明了一些变种的藤田近似Okounkov机构使用Iitaka纤维化。
A product formula for volumes of divisors via Okounkov bodies
利用Okounkov体将Kawamata关于典范除子体积的乘积公式推广到任意除子
On numerical Newton-Okounkov bodies and the existence of Minkowski bases
在大圆锥的边界附近，牛顿-奥肯科夫体不是连续变化的，实际上边界类的物体并没有很好的定义。使用整体奥肯科夫体，人们仍然可以定义一个数值不变量，数值牛顿-奥肯科夫体。我们表明，如果一个正常的射影品种有一个合理的多面体的整体Okounkov机构，它承认一个Minkowski基础提供一个包括数值牛顿Okounkov机构以上的非大类。在同样的假设下，我们还证明了数值Newton-Okounkov体的维数是数值Kodaira维数。
Asymptotic base loci via Okounkov bodies
奥昆科夫体是欧几里得空间的一个凸子集，它与关于一个容许标志的光滑投射簇上的一个因子相关联。在本文中，我们恢复的渐近基轨迹从Okounkov机构通过研究各种渐近不变量，如渐近估值和移动Seshadri常数。从而得到了用Okounkov体表示的因子的非满性和满性准则。此外，我们计算了由Okounkov机构的除子Zebraki分解，并找到了移动Seshadri常数的上限和下界的大小包含在Okounkov机构的单形。
Minkowski decomposition of Okounkov bodies on surfaces
证明了在伪有效锥为有理多面体的光滑射影曲面上，关于一般标志的大因子的Okounkov体分解为由nef因子的Okounkov体所产生的2个单形与线段的Minkowski和.
Okounkov bodies and Zariski decompositions on surfaces
本文研究了光滑射影曲面上伪有效因子的Okounkov体与Zebraki分解之间的密切关系。首先，我们完全确定了这类曲面上的极限Okounkov体，并给出了Nakayama常数和Seshadri常数的应用。其次，我们研究了当我们改变大锥中的因子时，Okounkov体的形状是如何变化的。
On the polyhedrality of global Okounkov bodies
我们证明了一个有限的Minkowski基地的奥肯科夫机构在一个光滑的射影簇关于一个容许旗的存在意味着合理的多面体的整体奥肯科夫机构。作为这一一般结果的应用，我们导出了关于一般旗面的广义生成伪有效锥曲面的整体Okounkov体是有理多面体。我们给出了一个替代证明这一事实，更明确地恢复发电机。我们还证明了合理的多面体的整体Okounkov机构的情况下，某些齐次3倍，使用归纳的方法。
Okounkov bodies associated to pseudoeffective divisors II
首先证明了Okounkov体的一些基本性质，并给出了伪有效因子的Nakayama和正体积子簇的一个刻划。其次，我们证明了，每个赋值和限制Okounkov机构的伪有效因子，它允许双有理好Zebraki分解是一个合理的多面体关于一些允许的标志。本文推广了Anderson-Küronya-Lozovanu关于大因子Okounkov体的有理多面体的结果。
Okounkov Bodies of Complexity-One T-Varieties
我们计算Okounkov机构的投影复杂性-一个T-品种相对于两种类型的不变标志。特别是，我们表明，后者是合理的多面体。此外，使用Dave Anderson和Nathan Ilten的结果，我们简要地展示了退化和T-变形的明确联系。最后，我们证明了一个有理射影复形-一个T-簇的整体Okounkov体是有理多面体。
Okounkov bodies associated to pseudoeffective divisors
奥昆科夫体是欧几里得空间中的一个凸子集，它与关于一个容许标志的光滑射影簇上的一个大因子相关联。本文引入了两个与伪有效因子相关的凸体，称为赋值Okounkov体和极限Okounkov体，并证明了这两个凸体反映了伪有效因子的渐近性质.我们的结果推广了Lazarssen-Mustagen-Khovanskii和Kaveh-Khovanskii的工作。为此，我们定义和研究特殊的子簇，称为中山子簇和正体积子簇，与pseudoeffective因子。
Newton-Okounkov bodies and complexity functions
我们发现，相当普遍的完整性的复杂性函数的一个大的除数上的投影品种不预测多面体的牛顿Okounkov体与每一个标志。
Local numerical equivalences and Okounkov bodies in higher dimensions
我们继续探索的数值性质的Okounkov机构集中在附近的局部行为给定点。更确切地说，我们表明，一个伪有效因子的Okounkov机构的一组关于允许的标志集中在一个不动点确定的本地数字等价类的因子定义在细化的除数Zagliki分解。我们的研究结果扩展了Roé的工作表面更高维的品种，虽然我们的证明是本质上不同的。
Slices of Okounkov bodies of big divisors on Mori dream spaces
本文研究Mori梦空间的Okounkov体切片。首先，我们分析了Mori梦空间上的大因子的Okounkov体的所有切片与一些允许的标志。作为一个副产品，我们获得了他们的描述森梦三倍。最后，我们考虑它的应用，他们的合理多面体。
Newton-Okounkov bodies and Toric Degenerations of Mori dream spaces via Tropical compactifications
给定一个光滑的森梦空间$X$，我们构建了一个模型，通过热带化控制所有的小$\mathbb{Q}$阶乘修改。这种结构使我们能够恢复一个Minkowski基的牛顿-Okounkov机构的除数在$X$，因此可动锥的$X$。这样的基础的存在允许我们证明整体Newton-Okounkov体的多面体性和环面退化的存在。
On the additivity of Newton-Okounkov bodies
本文研究了牛顿-奥科诺夫体在特定条件下的可加性，通过归纳法证明了其可加性，并推导出 nef 线丛交数的不等式。
Numerical and enumerative results on Okounkov bodies
在这篇注记中，我们专注于三个独立的问题，奥肯科夫体的投影簇。主要目的是给出一类光滑射影曲面上的经典Fujita逼近定理、Jow型定理和Minkowski基的基数公式的几何形式。
On subadditivity of Okounkov bodies for algebraic fiber spaces
本文的目的是建立代数纤维空间的Okounkov体的次可加性定理。作为应用，我们得到了代数纤维空间的限制正则体积的乘积公式和代数纤维空间关于Okounkov体是双有理等平凡的充分条件.此外，我们还证明了代数纤维空间的数值Iitaka维数的次可加性，这证实了Iitaka猜想的一些数值变体。我们希望我们的研究结果能为Iitaka猜想提供一个新的途径。
Seshadri constants and Okounkov bodies revisited
近年来，因子的局部正性与Okounkov体之间的相互作用引起了人们的广泛关注，人们试图在Okounkov体的凸几何中找到一个令人满意的因子正性理论。Choi-Hyun-Park-Won和Küronya-Lozovanu分别在这个方向上建立了许多有趣的结果。本文的第一个目的是给出这些结果的统一证明。我们的方法不仅提供了一个简单的新观点的理论，但也证明了积极的特点，在最重要的情况下。此外，我们将Seshadri常数定理推广到分次线性级数情形。最后，我们引入积分体积函数来研究Seshadri常数与Boucksom-Chen引入的滤子Okounkov体之间的关系。
Newton-Okounkov bodies and Segre classes
给定C上多项式环中的一个齐次理想，我们利用Newton-Okounkov体的构造方法得到了欧几里得空间的一个凸子集，使得在这个凸子集上的一个适当的积分可以计算这个理想的Segre zeta函数.也就是说，我们从一个相关的（无界的）Newton-Okounkov凸集中提取了射影空间的子概型的Segre类的数值信息。所得结果推广到射影空间的任意子格式，将单项式格式的一个已知结果的数值形式推广到任意子格式。
Volume of line bundles via valuation vectors (different from Okounkov bodies)
高达1/n！，一个大的线丛的体积与它的奥昆科夫体的欧几里德体积一致。后者是所有关于单个标志的区段的顶级赋值向量的凸包。在本文中，我们给出了一个不同的体积公式，在充足的圆锥体中有效，也是基于顶级估值向量，但是沿着几个不同的标志混合数据。
Iterative dissection of Okounkov bodies of graded linear series on $\mathbb{CP}^2$
设$π: X \rightarrow \mathbb{P}^2$是$\mathbb{CP}^2$在非常一般位置的$n$点$x_i$上的爆破，$E_i$是$x_i$上的例外因子.对于$0 \leq n \leq 9$，我们计算Okounkov机构的分次线性系列给出的部分的多个线丛$π^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d) \otimes \mathcal{O}_X(-m\sum_{i=1}^n E_i)$相对于一个标志组成的一条线上$\mathbb{CP}^2$和一个点上的线在一般的位置。此外，我们表明永田猜想预测这些Okounkov机构时，$n > 9$。
Newton-Okounkov Bodies over Discrete Valuation Rings and Linear Systems on Graphs
Newton-Okounkov体理论将一个凸体附加到一个簇上的线丛上，该簇具有子簇的标志。这个凸体编码了线丛的幂的截面的渐近性质。本文研究了定义在离散赋值环上的Newton-Okounkov体。我们给出的基本性质，然后专注于复曲面计划和半稳定曲线的情况下。我们提供了一个描述的牛顿Okounkov机构的半稳定曲线的Baker-Norine理论的线性系的图形，找到一个连接与热带几何。我们通过引入一个中间对象，即曲线上除数的牛顿-奥肯科夫线性系来做到这一点。我们证明了它等于曲线的对偶图上该因子的特殊化的实Baker-Norine线性系的有效元素集。作为奖励，我们获得了一个渐近代数几何描述的Baker-Norine线性系。
Newton-Okounkov bodies sprouting on the valuative tree
给定一个光滑的射影代数曲面X，X中的一个点O和X上的一个大因子D，我们考虑D的所有Newton-Okounkov体的集合关于X的以O为中心的有理函数的场的赋值，或者等价地，关于无限接近O的标志（E，p），在这个意义上，有一个映射光滑的爆破序列，不可约有理曲线E到O。本文的主要目的是系统地研究这些无穷小的Newton-Okounkov体随（E，p）的变化，重点是X = P2的情况。
Okounkov bodies of finitely generated divisors
我们证明了在适当选择标记的情况下，大因子生成截面环的Okounkov体是一个有理单形;此外，当周围簇是一个曲面时，对每个大因子也是如此.在一些更严格的假设下，我们还证明了相应的半群是双生成的。
Extended Okounkov bodies and multi-point Seshadri constants
基于Okounkov的工作，Kaveh-Khovanskii和Lazarssen-Mustata独立地将一个凸体，称为Okounkov体，与一个关于容许标志的正规投射簇上的一个大因子相关联。虽然奥昆科夫体携带了丰富的大因子正性数据，但它们只提供了单个点附近的信息。本文的目的是引入一个大因子的凸体，它能有效地处理与多点设置相关的正性理论。这些凸体为从凸几何的角度研究局部正性理论提供了重点。我们研究了它们的性质和形状，并通过它们描述了局部正性数据。最后，我们观察Seshadri常数的不合理性与中山常数和Seshadri常数之间的关系的帮助。
Okounkov bodies and restricted volumes along very general curves
给定正规复射影簇$X$上的一个大因子$D$，我们证明了$D$沿着一条非常一般的完全相交曲线$C\subset X$的限制体积可以从$D$的Okounkov体中读出，并且关于一个包含$C$的容许标志.由此我们推出，如果$X$上的两个大约数$D_1$和$D_2$关于每个容许标志具有相同的Okounkov体，则$D_1$和$D_2$是数值等价的。
Local positivity in terms of Newton-Okounkov bodies
自Lazarssen-Mustata和Kaveh-Khovanskii提出关于正规簇上的Newton-Okounkov体的研究以来，近年来已成为线性级数渐近理论的一个中心课题。其中一个原因是，他们编码的所有数字等价信息的除数类（工作的Jow）。同时，它们可以被看作是局部的正性不变量，Küronya-Lozovanu从这个角度深入研究了它们。我们确定什么信息是编码的一个大除数的所有牛顿-Okounkov机构的一组相对于标志集中在一个固定点的一个表面，通过显示，它确定，并确定由数字等价类的除数到负分量的Zagliki分解，不通过不动点。
Intersection numbers as mixed volumes of Newton-Okounkov bodies
本文将射影簇上 ample 线束的交点数表示为牛顿-奥科诺夫体的混合体积，利用切片公式和凸几何方法进行证明。
Convex bodies appearing as Okounkov bodies of divisors
基于Okounkov（\cite{Ok96}，\cite{Ok03}）的工作，Lazarsfeld和Musta \c t \u a（\cite{LM08}）以及Kaveh和Khovanskii（\cite{KK08}）独立地将凸体（称为Okounkov体）与关于完整标志的光滑投影簇上的大因子相关联。在本文中，我们考虑以下问题：什么可以说的一套凸体，出现作为Okounkov机构？我们首先证明了光滑射影簇上的大线丛的奥肯科夫体的凸体关于容许标志的集合是可数的。然后，我们给出了一个完整的特征的一组凸体出现的Okounkov机构的$\R$ -因子光滑的射影曲面。这样的奥肯科夫体总是多边形，满足一定的组合准则。最后，我们构造了两个非多面体Okounkov体的例子。在第一种方法中，我们处理的是Fano簇，线丛是充足的。在第二个，我们发现一个森梦想的空间品种，使旗的小扰动下的Okounkov体保持非多面体。
Newton-Okounkov Bodies and Jet Separation: Canonical-Free and Multipoint Generalizations
通过 Newton-Okounkov 体建立了 Küronya-Lozovanu 喷注分离准则的三个推广：若大小为 n+k+ε 的倒标准单纯形包含于 x 处的所有无穷小 Newton-Okounkov 体中，则 K_X+D 在 x 处分离 k-喷注；证明了无典范版本、多点同时喷注分离版本以及两者的结合版本。
On the Mori theory and Newton-Okounkov bodies of Bott-Samelson varieties
证明了在Bott-Samelson簇$X$上，每个可动因子都是nef.这使我们能够考虑有效因子的Zebraki分解，这反过来又产生了有效锥的Mori chamber分解的描述。这相当于来自$X$的所有可能的双有理态射的信息。应用这一结果，我们证明了有理多面体的全球牛顿Okounkov体的Bott-Samelson品种相对于所谓的“水平”的标志。事实上，我们证明了相应的整体值半群的有限生成的更强性质。
On Newton-Okounkov bodies of Graded Linear Series
本文将大因子Newton-Okounkov体理论推广到分次线性级数的情形。其中一个结果是双有理分次线性级数的切片公式的推广和一般Newton-Okounkov体的存在性。本文还给出了分次线性级数的基轨迹为满体积的一个刻划。
Geometric aspects of Newton-Okounkov bodies
这是一篇关于射影几何中牛顿-奥肯科夫体的综述文章，重点讨论因子的正性与牛顿-奥肯科夫体之间的关系。
Minkowski Decompositions for Generic Infinitesimal Newton-Okounkov Bodies of Arbitrary-Degree External Tensor Products on Products of Curves
本文给出光滑射影曲线乘积上正次外部张量积的无穷小 Newton-Okounkov 体的显式 Minkowski 分解公式，并据此得到 Minkowski 包含取等的精确判据及有限多个体在共同很一般轨迹上的实现。
On global Okounkov bodies of spherical varieties
定义并研究了射影球面簇X的整体Okounkov矩锥，推广了Kaveh和Khovanskii定义的整体Okounkov体和矩体.在较弱的假设下，证明了X的整体Okounkov矩锥是有理多面体。因此，X的整体奥昆科夫体，对于一个特定的赋值，也是有理多面体。
Functions on Okounkov bodies coming from geometric valuations (with an appendix by Sébastien Boucksom)
本文研究了Boucksom-Chen和Witt-Nyström提出的Okounkov体上函数的拓扑性质。我们注意到，他们是连续的整个Okounkov身体时，身体是多面体，另一方面，我们展示了一个例子，表明沿边界的连续性一般不成立。
Asymptotics of discrete Okounkov bodies and thresholds
本文开创离散Okounkov体与高维Weierstrass间隙现象的研究，并将其应用于稳定性与全局对数典范阈值的渐近分析。
Transcendental Morse Inequality and Generalized Okounkov Bodies
本文的主要目的是构造Kähler流形上任意伪有效（1，1）类$α$的“算术Okounkov体”.首先，利用紧Kähler流形上伪有效（1，1）-类的Boucksom的Zerkki分解，证明了修正nef锥与nef锥重合的Kähler流形的大类体积的可微性，这包括Kähler曲面。然后，我们应用我们的可微性结果证明Demailly的超越莫尔斯不等式这些特定类别的凯勒流形。在第二部分中，我们利用正流构造了任意大类$α$关于固定标志的凸体$Δ(α)$，并证明了当$α\in {\rm NS}\_{\mathbb{R}}(X)$时，这个新定义的凸体与Okounkov体重合，这样的凸集$Δ(α)$称为广义Okounkov体。作为应用，我们证明了Okounkov体内部的任何有理点都是“赋值的”。其次，我们给出了曲面上广义Okounkov体的完整刻画，并证明了广义Okounkov体的行为与原始Okounkov体非常相似。通过可微性公式，我们可以将$\mathbb{R}^2$中$Δ(α)$的标准欧几里得体积与Boucksom定义的大类$α$的体积联系起来;这解决了Lazarsfeld在曲面情况下提出的一个问题。最后，我们研究了广义Okounkov体在大锥边界上的行为，并用数值维数来刻画。
Seshadri-type constants and Newton-Okounkov bodies for non-positive at infinity valuations of Hirzebruch surfaces
本文研究Hirzebruch曲面上由无穷远处非正除子赋值定义的旗，计算相应Seshadri型常数并显式确定Newton-Okounkov体的顶点，证明其为四边形或三角形。
Simplices in Newton-Okounkov bodies and the Gromov width of coadjoint orbits
通过分析Newton-Okounkov体中的单形，给出了所有紧连通单李群的余伴轨道的约束Gromov宽度的统一证明.
Newton-Okounkov bodies obtained from certain orbits of plabic graphs
本文研究四边形Postnikov排列对应的plabic图在二面体群作用下的轨道，证明其Newton-Okounkov体与Gelfand-Tsetlin多面体单模等价。
Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties and string polytopes for generalized Demazure modules
牛顿-奥昆科夫凸体是一个由一个射影簇构造的凸体，其赋值在其齐次坐标环上;这推广了复曲面簇的牛顿多面体。这个凸体具有关于原始投射簇的各种信息;例如，卡维证明了来自表示论的弦多面体是舒伯特簇的牛顿-奥昆科夫体的例子。本文将Demazure模的弦多面体的概念推广到广义Demazure模，并证明了广义弦多面体与Bott-Samelson簇的Newton-Okounkov体关于一个特定的赋值是相同的.作为这一结果的应用，我们证明了这些确实是多面体。
Newton-Okounkov convex bodies of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases
牛顿-奥昆科夫凸体是由一个射影簇在其齐次坐标环上赋值而构造的凸体;这与表示论有很深的联系。例如，Littelmann弦多面体和Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg多面体是牛顿-奥昆科夫凸体的例子。本文证明了Schubert簇关于特定赋值的Newton-Okounkov凸体与Demazure晶体的Nakashima-Zelevinsky多面体实现是一致的.作为这一结果的应用，我们证明了柏原对合（*-运算）对应于有理函数域上赋值的变化。
Okounkov bodies and toric degenerations
设Δ是射影簇X上因子D的Okounkov体。我们描述了Δ是格多面体的一个几何判据，并证明了在这种情况下X允许平坦退化到相应的复曲面簇。这种退化在适当的意义上是函子的。
Newton--Okounkov bodies of curve classes
本文的目的是启动理论的发展牛顿Okounkov机构的曲线类。我们的定义是基于使牛顿-奥肯科夫体的一个基本性质在曲线的情况下也成立：曲线的牛顿-奥肯科夫体的体积是原曲线的体积型函数。这种结构使我们能够推测一个新的关系NewtonOkounkov机构，我们证明它在某些情况下。
Effective divisors and Newton-Okounkov bodies of Hilbert schemes of points on toric surfaces
我们计算$\mathbb C^2$上的Hilbert点格式的（无界）Newton-Okounkov体。我们得到了任意光滑复曲面上Hilbert点格式的Newton-Okounkov体的一个上界。我们猜想，这个上界符合确切的牛顿Okounkov体的希尔伯特计划的点$\mathbb P^2$，$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$，和Hirzebruch表面。这些结果意味着这些Hilbert格式的有效锥的上界，这也是在上述情况下的尖锐。
Okounkov bodies for ample line bundles
设$\mathscr{L} \rightarrow X$是非奇异复射影簇$X$上的样本线丛.我们构造了一个允许的标志$X_0 \subseteq X_1 \subseteq...\subseteq X_n=X$的子品种，其中相关的Okounkov体$\mathscr{L}$是一个合理的多面体。
From standard monomial theory to semi-toric degenerations via Newton-Okounkov bodies
Grassmann簇的齐次坐标环上的Hodge代数结构提供了这些簇的半环面退化。在本文中，我们构造这些半环面退化使用拟估值和三角形的牛顿Okounkov机构。
Newton-Okounkov bodies and normal toric degenerations
Anderson证明了在构造Newton-Okounkov体$Δ_{Y_\bullet}(D)$时，值半群$Γ_{Y_\bullet}(D)$的有限生成导致相应的簇$X$的环面退化为某个环面簇$X_0$。在这种情况下，$X_0$的正规化是对应于有理多面体$Δ_{Y_\bullet}(D)$的正规环面簇。由于$X_0$通常不正常，因此这种对应关系相当隐含。在这篇文章中，我们调查的条件，以确保$X_0$是正常的，通过比较希尔伯特多项式和Ehrhart多项式。在del Pezzo曲面的情况下，这将导致一个算法，该算法为给定的除数$D$输出一个标志$Y_\bullet$，使得所讨论的值半群确实是正规的。此外，我们将发现标志的del Pezzo曲面和某些特定的弱del Pezzo曲面，诱导正常的复曲面退化的所有可能的因子一次。我们将证明在这种情况下，整体值半群$Γ_{Y_\bullet}(X)$是可生成的和正规的。
Newton-Okounkov bodies of chemical reaction systems
尽管它们在多项式系统求解中具有显著的潜力，但从应用中产生的牛顿-奥肯科夫体的具体例子很少。因此，本文介绍了Newton-Okounkov体理论在化学反应网络研究中的一个新的应用，并计算了几个例子。化学反应网络的一个重要不变量是其正稳态的最大数目，它被实现为参数化多项式系统的正实根的最大数目。在这里，我们介绍了一个新的上限，这个数字，即“牛顿Okounkov体界”的化学反应网络。通过明确的例子，我们表明，牛顿-Okounkov体的网络界给出了一个很好的上限，其最大数量的正稳态。我们还比较了这个牛顿-奥肯科夫体约束的一个相关的上限，即混合体积的化学反应网络，并发现它往往达到更好的边界。
Okounkov bodies on projectivizations of rank two toric vector bundles
一个射影簇的整体奥昆科夫体是一个闭的凸锥，它编码了关于簇上每个大线丛的渐近信息。在光滑投射环面簇上的秩二环面向量丛E的情形下，利用其Klyachko滤子给出了P（E）的整体Okounkov体的一个显式描述.特别是，我们表明，这是一个合理的多面体锥，P（E）是一个Mori的梦想空间。
Newton-Okounkov bodies for nested Hilbert schemes
本文通过分析嵌套希尔伯特方案上线丛截面的基，计算了牛顿-奥库诺夫体。
Newton-Okounkov bodies of Bott-Samelson varieties and Grossberg-Karshon twisted cubes
我们描述，在一定的条件下，牛顿Okounkov体的Bott-Samelson品种作为一个明确的列表中的不等式定义的格多面体。我们用来定义Newton-Okounkov体的估值与文献中以前使用的不同。该多面体的出现是一个特殊的情况下，格罗斯伯格，Karshon扭曲立方体研究格罗斯伯格和Karshon在连接字符公式的不可约$G$ -表示，也研究了以前的作者在某些环面品种相关的Bott-Samelson品种。
Newton-Okounkov polyhedra for character varieties and configuration spaces
我们构造了任意连通约化群的自由群特征标簇和构型空间的Newton-Okounkov体族。我们用这个构造证明了这些空间是Cohen-Macaulay空间。
Singular string polytopes and functorial resolutions from Newton-Okounkov bodies
本说明的主要结果是，环面退化的标志品种与字符串多面体和某些Bott-Samelson决议的标志品种适合到一个交换图，它给出了一个奇点的分解奇异环面品种对应的字符串多面体。我们的主要工具是安德森的结果表明，所产生的牛顿-Okounkov机构的复曲面退化是函子在适当的意义。我们还使用藤田的结果表明，牛顿Okounkov机构的Bott-Samelson品种相对于一定的估值$ν_{max}$符合广义弦多面体，以及以前的结果明确描述牛顿Okounkov机构的Bott-Samelson品种相对于不同的估值$ν_{min}$在Grossberg-Karshon扭曲立方体。我们论证的关键一步是，在技术条件下，这些牛顿-奥肯科夫体重合。
Global Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties
利用Mori梦空间理论证明了Bott-Samelson簇关于自然旗的整体Okounkov体是有理多面体。事实上，我们证明更一般地说，这适用于任何森梦空间，其中承认标志的森梦空间满足一定的正则性条件。作为推论，Schubert簇上有效线丛的Okounkov体是有理多面体。特别是，它遵循的标志品种$G/B$的全球Okounkov体是合理的多面体。作为应用，我们证明了线丛的截空间中的权空间的维数的渐近性质是由多面体中格点的计数给出的。
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