量子二元域乘法：次二次Toffoli门数量与低时空代价
Quantum binary field multiplication with subquadratic Toffoli gate count and low space-time cost
AI总结：
本文提出一种量子电路构造算法，以次二次Toffoli门数量实现二元域乘法，并通过辅助量子比特实现线性深度，同时针对特定本原多项式族达到对数深度，提供最优时空权衡。
摘要：
二元域上的乘法是用于求解定义在$GF(2^n)$上的椭圆曲线离散对数问题的量子算法中的关键操作。本文提出了一种构造量子电路的算法，该电路以$\mathcal{O}(n^{\log_2(3)})$个Toffoli门执行$GF(2^n)$上的乘法。我们提出了该构造的一个变体，通过使用$\mathcal{O}(n\log_2(n))$个辅助量子比特实现线性深度。该方法为具有次二次Toffoli门数量的二元域乘法提供了已知最优的时空权衡。此外，我们证明对于某些特定的本原多项式族，如三项式，乘法可以在对数深度内完成，且门数量为$\mathcal{O}(n^{\log_2(3)})$。
英文摘要：
Multiplication over binary fields is a crucial operation in quantum algorithms designed to solve the discrete logarithm problem for elliptic curve defined over $GF(2^n)$. In this paper, we present an algorithm for constructing quantum circuits that perform multiplication over $GF(2^n)$ with $\mathcal{O}(n^{\log_2(3)})$ Toffoli gates. We propose a variant of our construction that achieves linear depth by using $\mathcal{O}(n\log_2(n))$ ancillary qubits. This approach provides the best known space-time trade-off for binary field multiplication with a subquadratic number of Toffoli gates. Additionally, we demonstrate that for some particular families of primitive polynomials, such as trinomials, the multiplication can be done in logarithmic depth and with $\mathcal{O}(n^{\log_2(3)})$ gates.
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