Noether conservation laws in classical mechanics
在拉格朗日力学中，Noether守恒律包括能量守恒律与场论中的Noether守恒律类似。在哈密顿力学中，Noether守恒律是由位形空间的单参数群的Poincare-Cartan积分不变量的不变性给出的。拉格朗日守恒律和哈密顿守恒律不需要等价。
2003-02-11 math-ph math.MP
Noether symmetries, energy-momentum tensors and conformal invariance in classical field theory
在经典场论的框架内，我们首先回顾了对称性的Noether理论，简单地重新推导了它的基本结果，特别强调了规范理论的Noether恒等式。我们接下来将详细讨论平坦时空中庞加莱不变量理论的贝林凡特能量-动量张量与希尔伯特能量-动量张量族之间的差异。所有这些张量都在壳上重合，但它们在以下意义上分担了各自的职责：贝林凡特张量是用来获得庞加莱对称性生成元的张量，它是可能存在的其他最终时空对称性生成元的基本成分。相反，希尔伯特张量是检验一个理论是否包含庞加莱以外的其他时空对称性的手段。我们详细讨论了尺度和共形对称的情况，并给出了一些例子。我们表明，庞加莱不变拉格朗日，尺度不变性的实现选择一个独特的希尔伯特张量，它允许一个简单的测试是否共形不变性也实现。最后，我们对度量广义协变理论和固定曲面背景下的经典场论作了一些基本评述。
2009-02-27 gr-qc hep-th math-ph
On invariants for the Poincare equations and applications
我们将Noether不变量理论推广到Poincare方程。我们将此推广应用于位形空间SO（3）中Abraham旋转扩展电子的Maxwell-Lorentz方程。
2016-03-13 math-ph math.MP
Dual Euler--Poincaré/Lie--Poisson formulation of subinertial stratified thermal ocean flow with identification of Casimirs as Noether quantities
本文提出双欧拉-庞加莱/李-庞松形式，统一描述亚惯性分层热海洋准地转流，识别Casimir为诺特量，并证明其源于变分原理。
2024-12-13 math-ph math.MP physics.ao-ph
Noether's theorem in non-local field theories
在具有高阶导数的场论和非局部场论中，我们构造了与连续内部对称性相关的局部守恒矢量流和与庞加莱群相关的能量动量和角动量密度张量的显式表达式。考虑了一类C对称性和CPT对称性破缺的非定域带电标量场方程。对于这种情况下，我们发现简单的解析表达式的守恒电流。
2016-02-09 hep-th math-ph math.MP
Dirac Reduction for Nonholonomic Mechanical Systems and Semidirect Products
本文在对称性破缺的李群上发展了非完整系统的Dirac对称约化理论。对狄拉克结构以及相关的拉格朗日-狄拉克和哈密顿-狄拉克动力系统进行了简化。这种减少过程是伴随着减少相关的变分结构的拉格朗日和哈密顿方面。所得到的约化动力系统称为带平流参数的隐式Euler-Poincaré-Suslov方程和带平流参数的隐式Lie-Poisson-Suslov方程。该理论的说明与有限和无限维的例子的帮助。结果表明，二阶Rivlin-Ericksen流体的运动方程可以表示为一个无限维非完整系统。
2014-10-20 math-ph math.MP math.SG
Lagrange-Poincare field equations
将经典力学的拉格朗日-庞加莱方程及其相关的约束变分原理转换到场论中。一个可积性/重建条件的建立，涉及到原问题的解决方案与减少的问题。Kelvin-Noether定理就是在这种情况下提出的。等周问题的应用，介子相互作用的Skyrme模型，变态图像动力学和分子链说明了理论的各个方面。
2009-10-05 math-ph math.MP nlin.CD
Higher-order Euler-Poincaré field equations
本文通过将哈密顿原理转移到主G-丛的平坦联络丛上，建立了高阶欧拉-庞加莱场方程，证明约化解可局部重构为原方程解，并应用于李群上的多元高阶样条。
2023-11-30 math-ph math.DG math.DS
Noether's first theorem and the energy-momentum tensor ambiguity problem
诺特定理被广泛地誉为物理学中最美丽和最有用的结果之一。然而，如果一个人阅读了关于诺特第一定理在场论中应用的大多数标准文本和文献，他会立即发现，从庞加莱群的4参数平移中导出的“正则诺特能量-动量张量”并不对应于被广泛接受为电动力学等中心理论的“物理”能量-动量张量。这给人的印象是，诺特第一定理在某种意义上是行不通的。认识到这个问题，通常的做法是通过添加适当的ad-hoc“改进”项来"改进”正则Noether能量-动量张量，这些项将正则表达式转换为所需的结果。另一方面，贝塞尔-哈根开发的一种不太常见但独特的方法在应用诺特第一定理时考虑了规范对称性和坐标对称性;这使得人们可以唯一地导出可接受的物理能量-动量张量，而不需要在具有精确规范不变作用量的理论中进行任何特别的改进。$\dots$使用逆Noether的第一定理，我们表明，Bessel-Hagen型变换是唯一选择的电动力学的情况下，这有力地解决了方法的模糊性。然后，我们继续考虑这一论证如何适用于其他各种情况，特别是包括在线性引力中定义引力场的能量-动量张量的挑战。最后，我们把寻找适当的诺特能量动量张量的背景下，最近的索赔，诺特定理及其逆作出声明的等价类的对称性和守恒律$\dots$
2021-07-21 gr-qc math-ph math.MP
Multisymplectic geometry and covariant formalism for mechanical systems with a Lie group as configuration space: application to the Reissner beam
许多物理上重要的力学系统可以用李群$G$作为位形空间来描述。根据著名的Noether定理，李群的基本对称性可以大大降低问题的复杂性。然而，这些简化技术，不关心一般问题（波，场论）使用，可能会导致不舒服的无限维空间。作为替代方案，\emph{covariant}公式允许通过增加独立变量的数量来考虑有限维配置空间。但归约所需的几何元素，适应于承认李群作为配置空间的协变问题的特殊性，在文献中很难理解（据我们所知，有些甚至是缺失的）。为了填补这一空白，本文对E.在这个特殊的"协变李群"上下文中。因此，这是这项工作的主要兴趣，Poincaré-Cartan和多辛形式获得的主$G$丛。它允许制定的\emph{Euler-Poincaré equations}的运动，并导致一个诺特的当前形式定义的对偶李代数。
2017-08-04 math-ph math.MP
Euler-Poincaré Formulation of Barotropic Fluids Coupled with ADM Gravity
Blackett Laboratory, Imperial College（布莱克特实验室，帝国理工学院）
本文通过欧拉-庞加莱方法推导了自引力巴otropic流体的运动方程，并探讨了其在广义相对论中的应用。
2026-01-23 gr-qc math-ph math.MP
Variational Dissipative Mechanics on Lie Algebroids
School of Science and Technology, IE University（IE大学科学与技术学院）；Centro de Automática y Robótica (CSIC-UPM)（自动与机器人中心（CSIC-UPM））
本文提出了一种在李代数垛上的变分耗散力学框架，推导了耗散系统的欧拉-拉格朗日-赫尔格洛兹方程，并建立了能量平衡定律和耗散不变量理论。
2025-12-19 math-ph math.DG math.DS
Energy and momentum conservation in the Euler-Poincaré formulation of local Vlasov-Maxwell-type systems
Low [Proc. R. Soc. Lond.经典的Vlasov-Maxwell系统包含欧拉变量和拉格朗日变量的混合。这使得重新参数化对称性的诺特分析不方便，特别是因为众所周知的系统能量和动量守恒定律仅用欧拉变量表示。虽然Vlasov-Maxwell型系统的Euler-Poincaré公式，有效地从Low的作用开始并使用粒子运动的欧拉描述的约束变化，已经知道了一段时间[J. Math. Phys.，39，6，pp. 3138-3157]，很难得到一个有文献记载的推导相关的能量和动量守恒定律的精神欧拉庞加莱机制。据我们所知，迄今为止，文献中只存在一个这样的推导，涉及所谓的引导中心弗拉索夫-达尔文系统[Phys. Plasmas 25，102506]。本论述讨论了一个通用类的本地Vlasov-Maxwell型系统，有意识地选择采用微分几何的语言，充分利用欧拉庞加莱框架。在回顾了从拉格朗日图像到欧拉图像的过渡之后，我们展示了空间中的等距所产生的对称性如何导致线性和角动量密度的守恒定律，以及时间平移的对称性如何产生能量密度的守恒定律。我们还讨论了如果不存在对称性会发生什么。最后，将给出两个明确的例子-经典的Vlasov-Maxwell和漂移动力学Vlasov-Maxwell -以及为熟悉起见用正则向量微积分语言表示的结果。
2020-04-29 math-ph math.DG math.MP
The Geometric Structure of Complex Fluids
本文发展了仿射Euler-Poincaré和仿射Lie-Poisson约化理论，并将这些过程应用于各种复杂流体的例子，包括流体和超流体的Yang-Mills和Hall磁流体力学，自旋玻璃，微流体和液晶。作为一个后果的拉格朗日方法，变分制定的方程确定。在哈密顿量方面，相关的泊松括号通过减少一个典型的余切丛。一个开尔文-诺特循环定理，并适用于这些例子。
2009-03-25 math-ph math.MP nlin.CD
Covariant Euler-Poincaré Reduction for Field Theories on Centered Semidirect Products
Centre for Automation and Robotics (CSIC-UPM)（自动化与机器人中心（CSIC-UPM））
本文针对中心半直积主丛上的协变场论，从拉格朗日与哈密顿视角建立约化方案，得到分解的Euler-Poincaré与Lie-Poisson方程、多辛公式及守恒律，并应用于矩阵微结构与jet群模型，验证了理论的有效性。
2026-10-06 math-ph math.DS math.MP
Contact Symmetries in Non-Linear Mechanics: a preliminary step to (Non-Canonical) Quantization
在本文中，我们利用对称性的物理系统，以便代数表征相应的解决方案流形的Noether不变量。这构成了在非线性情况下正确量化的必要的初步步骤，其中通常不能保证正则量化的成功。为了实现这一任务的“点对称”的拉格朗日一般是不够的，和接触变换的概念是为了：解决流形不能在一般参数化的手段Noether不变量与基本点对称。利用庞加莱-嘉当形式给出的接触结构，可以通过某种形式的哈密尔顿-雅可比变换，在解流形上定义辛形式。它还提供了所需的基本对称性，实现为与解流形上的全局函数相关联的哈密顿向量场（因此构成了Noether定理的逆），通过这个Hamilton-Jacobi映射的逆提升回到演化空间。在这个框架中，解决方案和对称性，作为一个整体，以某种方式确定，这种对应关系也保持在微扰水平。我们提出了非平凡的例子之间的相互作用的对称性和解决方案指出这种机制的有用性，在接近相应的量化。特别地，我们在这个框架下实现了$S^3$中非线性粒子西格玛模型的Heisenberg-Weyl代数的适当推广，并注意到对应于这个量子化代数的经典对称子集（那些推广的提升）必然是非点特征的.
2015-12-14 hep-th math-ph math.MP
Gauge reduction in covariant field theory
本文建立协变场论的 Lagrange 规范约化理论，利用逐纤维作用的广义主联络约化变分原理，给出重构条件并联系 Noether 定理，且以多个经典与规范场例子验证。
2023-11-03 math-ph math.DG math.DS
Multi-Symplectic Lagrangian, One-Dimensional Gas Dynamics
以拉格朗日质量坐标$m$和时间$t$为自变量，流体单元$x=x(m,t)$的欧拉位置为因变量，将理想一维（1D）可压缩气体动力学的拉格朗日方程写成多辛形式.这种方法不同于使用Clebsch变量的欧拉多辛方法。拉格朗日约束用于指定与拉格朗日映射一致的$x_m$、$x_t$和$S_t$的方程，其中$S$是气体的熵。我们要求$S_t=0$对应于熵$S$随流动的平流。我们表明，拉格朗日哈密顿方程的de Donder-Weyl多动量公式。讨论了拉回守恒律和辛性守恒律。拉回守恒定律对应于作用相对于时间平移（能量守恒）和诺特定理中$m$中平移的不变性。由于$m$平移不变性的守恒律产生了一个新的非局部守恒律，涉及Clebsch变量$r$用于施加$\partial S(m,t)/\partial t=0$。在Noether定理中关于$x$的平移不变性与动量守恒有关。我们得到了系统的Cartan-Poincaré形式，并利用它得到了表示方程组的两种形式的封闭理想。
2015-02-12 math-ph math.MP
Geometric, Variational Discretization of Continuum Theories
本研究推导出连续介质理论的几何、变分离散化，这些连续介质理论产生于流体动力学、磁流体动力学（MHD）和复杂流体的动力学。流体动力学的几何公式在这些离散化中起着核心作用，它将理想流体流动的控制方程的解视为流体域的保体积同构群上的测地线。受此框架的启发，我们构建了一个有限维近似的仿射群及其李代数，从而允许变分时间离散的空间离散仿射群上的测地线。扩展到MHD和复杂的流体流动，然后通过呼吁Euler-Poincaré系统的理论与平流，它提供了一个推广的变分公式的理想流体流动的流体与一个或多个平流参数。在推导出这些系统的一个家庭的结构化积分，我们测试他们的性能通过数值实现的更新计划上的carbohydrating网格。这些新的数值方法的特点是精确保存动量所产生的对称性，自动满足矢量场的螺线管约束，良好的长期能量行为，鲁棒性的空间和时间分辨率的离散化，适用于不规则网格。
2010-10-23 math-ph math.MP physics.comp-ph
31 Lectures on Geometric Mechanics
本讲义通过清晰定义和示例，融合纯数学应用与应用数学纯化，涵盖诺特定理、欧拉流体测地流及多物理多尺度波流相互作用等几何力学核心内容。
2024-09-19 math-ph math.DS math.MP
Vorticity and Symplecticity in Multi-Symplectic Lagrangian Gas Dynamics
拉格朗日多维理想可压缩气体动力学方程以多辛形式表示，其中拉格朗日流体标号、$m^i$（拉格朗日质量坐标）和时间$t$为自变量，流体元素的欧拉位置${\bf x}={\bf x}({\bf m},t)$和熵$S=S({\bf m},t)$为因变量。约束的变分原理纳入拉格朗日乘子。制约因素是：熵对流方程$S_t=0$、拉格朗日映射方程${\bf x}_t={\bf u}$，其中${\bf u}$是流体速度，以及具有形式$J=τ$的质量连续性方程，其中$J=\det(x_{ij})$是拉格朗日映射的雅可比矩阵，其中$x_{ij}=\partial x^i/\partial m^j$和$τ=1/ρ$是气体的比容。气体$\varepsilon=\varepsilon(ρ,S)$每单位体积的内能对应于非正压气体。拉格朗日量被用来定义多动量，并发展de-DonderWeyl哈密顿方程。de DonderWeyl方程被转换成多辛形式。得到了拉回守恒律和辛性守恒律。一类辛性守恒律产生涡度和位涡型守恒律，另一类辛性守恒律与拉格朗日能量守恒律关于拉格朗日质量坐标$m^i$的导数有关。我们表明，涡辛律可以通过Lie拖曳法，也可以通过使用Noether第二定理和流体重新标记的对称性，这是一个发散对称的行动。我们得到的Cartan-Poincaré形式描述的方程，我们讨论了一组微分形式表示的方程组。
2016-01-19 math-ph math.MP
