Sums of fourth powers of Fibonacci and Lucas numbers
我们得到了所有形式为\mbox{$\sum_{k = 1}^n {F_{mk}{}^4 }$}和\mbox{$\sum_{k = 1}^n {L_{mk}{}^4 }$}及其交替形式的和的封闭形式表达式，其中$F_i$和$L_i$分别表示Fibonacci数和Lucas数。我们的结果补充了那些研究交替和的Melham。
2017-05-28 math.NT
Factored closed-form expressions for the sums of cubes of Fibonacci and Lucas numbers
我们得到明确的因子封闭形式表达式的形式\mbox{$\sum_{k = 1}^n {F_{2rk}^3 }$}和\mbox{$\sum_{k = 1}^n {L_{2rk}^3 }$}，其中$r$ ~和~ $n$是整数的斐波那契和卢卡斯和。
2017-06-28 math.NT
Infinite arctangent sums involving Fibonacci and Lucas numbers
使用一个简单的初等方法，我们推导出许多无穷反正切求和公式涉及斐波那契和卢卡斯数。虽然大多数的结果是新的，一对夫妇的庆祝结果出现在这里推导出的更一般的公式的特殊情况。
2016-03-26 math.NT
On sums of two primes and six Fibonacci numbers
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
该研究运用圆法证明，足够大的正整数可表示为两个素数与六个斐波那契数之和、两个素数与七个卢卡斯数之和，还可表示为两个素数、三个斐波那契数与三个卢卡斯数之和。
2026-08-20 math.NT
Algebraic independence of reciprocal sums of certain Fibonacci-type numbers
本文研究了Fibonacci数列与Lucas数列的某些倒数和的代数无关性。还考虑了更一般的二进制递归。主要的工具是马勒的方法减少调查的代数独立的功能价值的一个功能，如果这些满足某些类型的函数方程。
2014-03-21 math.NT
Fibonacci sums and divisibility properties
本文利用 Sury 多项式恒等式的变体推导有限斐波那契与卢卡斯和的新表达式，并将其推广到相关多项式及 Horadam 序列，进而用于发现和证明整除性质。
2023-12-03 math.NT
On perfect powers that are sums of two Fibonacci numbers
研究了方程$F_n + F_m = y^p$，其中$F_n$和$F_m$分别是$n$和$m$的斐波那契数和$p \ge 2$ .我们在假设$n \equiv m \pmod{2}$下找到所有解。
2017-06-30 math.NT
Sums of Fibonacci numbers that are perfect powers
让我们用$F_n$表示第$n$个斐波那契数。本文证明了对于一个固定的整数$y$，至多存在一个整数指数$a>0$，使得丢番图方程$F_n+F_m=y^a$在满足$n>m>0$的正整数中有解$(n,m,a)$，除非$y=2,3,4,6$或$10$ .
2021-03-26 math.NT
Sums of Fibonacci numbers close to a power of 2
在本文中，我们发现所有的和两个斐波那契数，这是接近2的幂。作为推论，我们也确定所有卢卡斯数接近2的幂。在这项工作中使用的主要工具是由于Matveev和Dujella-Pethö版本的Baker-Davenport减少方法在丢番图逼近的线性型的下界。本文继续和扩展了陈和崔的工作。
2022-06-14 math.NT
Linear independence results for certain sums of reciprocals of Fibonacci and Lucas numbers
本文的目的是给出某些级数的值线性无关的结果。作为应用，我们得到了与某些互质序列$\{n_\ell\}_{\ell\geq1}$相关的Fibonacci数和Lucas数的倒数和的算术性质.例如，三个数\[ 1,\qquad\sum_{p\text{:prime}}^{}\frac{1}{F_{p^2}},\qquad\sum_{p\text{:prime}}^{}\frac{1}{L_{p^2}} \]在$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$上线性无关，其中$\{F_n\}$和$\{L_n\}$分别是斐波那契数和卢卡斯数。
2019-08-20 math.NT
On sums of Fibonacci numbers with few binary digits
本文完全求解丢番图方程$F_n+F_m=2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+2^{a_4}+2^{a_5}$，其中$F_k$表示$k$阶Fibonacci数.除了复杂的线性型的矩阵和Baker-Davenport减少方法，我们使用$p$ -adic版本的两个工具。
2021-04-26 math.NT
Powers of two as sums of two $k-$Fibonacci numbers
对于整数$k\geq 2$，令$(F_{n}^{(k)})_{n}$为以$0,\ldots,0,1$（$k$项）开始的$k-$斐波那契序列，其后的每一项均为$k$前面各项的和。在本文中，我们寻找2的幂是两个$k-$斐波那契数的和。在这项工作中使用的主要工具是下界的线性形式的多项式和版本的贝克-达文波特减少方法在丢番图逼近。本文是对\cite{BL2}和\cite{BL13}前期工作的继续和扩展。
2014-09-30 math.NT
On Diophantine equations involving sums of Fibonacci numbers and powers of $2$
本文完全求解了丢番图方程$F_{n_1} + F_{n_2} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3}$和$ F_{m_1} + F_{m_2} + F_{m_3} =2^{t_1} + 2^{t_2} $，其中$F_k$表示第$k$个Fibonacci数.特别地，我们证明了$\max \{n_1, n_2, a_1, a_2, a_3 \}\leq 18$和$\max \{ m_1, m_2, m_3, t_1, t_2 \}\leq 16$ .
2017-05-18 math.NT
Recurrences for certain sequences of binomial sums in terms of (generalized) Fibonacci and Lucas polynomials
本文给出了某些二项式和序列用（广义）Fibonacci和Lucas多项式表示的递归性的一些结果。
2022-12-05 math.CO math.NT
Sums of products of generalized Fibonacci and Lucas numbers
本文建立了广义Fibonacci数与Lucas数乘积的和与交错和的几个公式。特别地，我们恢复和推广了Z. Cerin和Z. Cerin & G. M.吉亚内拉，更容易。
2007-08-17 math.CO math.NT
The Frobenius number corresponding to the squares of three consecutive Fibonacci numbers: comparison of three algorithmic processes
本文针对三个连续斐波那契数平方生成的数值半群，计算其Frobenius数，并比较Ramírez Alfonsín-Rødseth、Rosales-García-Sánchez和Tripathi三种算法过程的效果。
2025-07-02 math.GR math.NT
Product of powers of distinct primes as sums of Fibonacci numbers
本文研究了不同素数的幂的乘积作为斐波那契数和的Diophantine方程，并确定了满足条件的素数对。
2026-02-19 math.NT
The general case on the order of appearance of product of consecutive Fibonacci and Lucas numbers
令$F_{n}$和$L_n$分别是第$n$个斐波那契数和卢卡斯数。对于每个正整数$m$，$m$在斐波那契数列中出现的顺序，用$z(m)$表示，是$m$整除$F_k$的最小正整数$k$。最近，D. Marques得到了$z(F_{n}F_{n+1})$、$z(F_{n}F_{n+1}F_{n+2})$和$z(F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3})$的公式。本文将Marques的结果推广到对每个$4\leq k \leq 6$都有$z(F_{n}F_{n+1}\cdots F_{n+k})$的情形.当$k = 5,6$为零时，给出了$z(L_nL_{n+1}\cdots L_{n+k})$的一个计算公式，推广了Marques和Trojovskirt的结果.我们的方法给出了一个一般的想法，如何获得的公式$z(F_nF_{n+1}\cdots F_{n+k})$和$z(L_nL_{n+1}\cdots L_{n+k})$为每个$k\geq 1$。
2017-07-29 math.NT
An exponential Diophantine equation related to the difference of powers of two Fibonacci numbers
本文证明了不存在x>=4使得两个连续斐波那契数的x次幂之差大于0是Lucas数.
2020-02-10 math.NT
GCD of sums of $k$ consecutive Fibonacci, Lucas, and generalized Fibonacci numbers
本文研究了广义Fibonacci数列$\left(G_n\right)_{n \geq 0}$中$k$连续项的和，该数列由递推式$G_n = G_{n-1} + G_{n-2}$给出，对于所有具有整数初始条件$G_0$和$G_1$的$n \geq 2$.特别是，我们给出了精确的值的最大公约数（GCD）的所有总和的$k$连续条款的$\left(G_n\right)_{n \geq 0}$。当$G_0 = 0$和$G_1 = 1$时，我们得到所有$k$连续斐波那契数和的GCD，当$G_0 = 2$和$G_1 = 1$时，我们得到所有$k$连续卢卡斯数和的GCD。用符号$\mathcal{G}_{G_0, G_1}\!(k)$表示$k$连续广义斐波那契数的所有和的GCD，我们给出了这些值的两个诱人的特征，一个涉及$k$中的一个简单公式，另一个涉及广义Pisano周期：$$\mathcal{G}_{G_0, G_1}\!(k) = \gcd(G_{k+1}-G_1,\, G_{k+2}-G_2)\; \mbox{and}$$ $$\mathcal{G}_{G_0, G_1}\!(k) = \mathrm{lcm}\{m \mid π_{G_0,G_1}\!(m) \text{ divides } k\},$$其中$π_{G_0,G_1}\!(m)$表示模$m$的广义斐波那契序列的广义Pis…
2021-11-07 math.CO math.NT
Sums of Consecutive Prime Squares
我们证明了明确的界限，连续素数平方和低于一个给定的幅度。
2021-01-19 math.NT
One level summations for powers of Fibonacci and Lucas polynomials
Fibonacci多项式的幂被表示为单和，改进了最近在文献中看到的双和。
2021-07-27 math.NT
q-analogues of the sums of powers of consecutive integers
根据J. Bernoulli的一个想法，我们探索了连续整数的幂和的q-模拟。
2005-02-06 math.NT
Cancellation profiles of Fibonacci-Lucas zeta sums
研究Fibonacci-Lucas zeta和的项量级分布，证明归一化绝对项和的指数展开及收敛性，并确定最大项索引与条件数增长。
2026-09-29 math.NT
Perfect powers that are sums of consecutive squares
我们确定所有可以写成最多10个连续平方和的完美幂。
2017-07-20 math.NT
On the sum of reciprocal generalized Fibonacci numbers
本文考虑由广义斐波那契数的倒数导出的无穷和。得到了广义斐波那契数的一些新的有趣的恒等式.
2015-03-03 math.NT
Expressing three consecutive integers as sums of three cubes
本文研究将连续整数表示为三个立方数之和的问题，给出三个连续整数的若干参数化解，并讨论五至七个连续整数的平凡解，最后提出四个及以上连续整数的开放问题。
2023-11-29 math.NT
A note on the alternating sums of powers of consecutive integers
根据欧拉的一个思想，我们计算了构造整数的幂的交错和。
2005-08-13 math.NT
On the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了$q$ -Genocchi数和多项式。利用这些数和多项式，我们研究了欧拉给出的连续整数的交替幂和的$q$ -模拟。
2005-09-26 math.NT
GCD of sums of $k$ consecutive squares of generalized Fibonacci numbers
在2021年，Guyer和Mbirika给出了两个等价公式，计算了广义Fibonacci序列$\left(G_n\right)_{n \geq 0}$中所有$k$连续项和的最大公约数（GCD），该序列由递归$G_n = G_{n-1} + G_{n-2}$给出，对于所有$n \geq 2$，具有整数初始条件$G_0$和$G_1$。在本文中，我们将他们的结果推广到这些数的所有$k$连续平方和的GCD。用符号$\mathcal{G}_{G_0, G_1}^2\!(k)$表示这些GCD值，我们证明了$\mathcal{G}_{G_0, G_1}^2\!(k) = \gcd\left(G_k G_{k+1} - G_0 G_1,\; G_{k+1}^2 - G_1^2,\; G_{k+2}^2 - G_2^2\right)$。此外，我们还提供了斐波那契、卢卡斯和广义斐波那契数的特定设置中非常诱人的封闭形式。最后，我们提出了一些有待进一步研究的开放性问题。
2023-01-13 math.CO math.NT
On the divisibility of sums of Fibonacci numbers
本文证明存在无穷多个奇数 $n$，使前 $n$ 个非零斐波那契数之和能被 $n$ 整除，从而解决 Fatehizadeh 与 Yaqubi 的猜想。
2025-08-31 math.CO math.NT
Summation of certain infinite Fibonacci related series
本文给出了一类Fibonacci相关收敛级数的闭和。特别地，我们推广了Brousseau，Popov，Rabinowitz等人已经得到的一些结果。
2015-12-30 math.NT
Diophantine equations over the generalized Fibonacci sequences: exploring sums of powers
本研究围绕经典斐波那契恒等式的推广展开，分别在k-广义斐波那契数、普通斐波那契数的幂次及连续项幂和场景下求解三类丢番图方程，推广了已有相关研究结论。
2025-01-15 math.NT
A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了一个新的q-欧拉数和多项式。利用这些数和多项式，我们根据Euler的一个思想，给出了连续q-整数的交错幂和的有趣公式。
2006-04-10 math.NT
Partial Sums of the Fibonacci Sequence
设$(F_n)_{n\ge 1}$为斐波那契数列。定义$P(F_n): = (\sum_{i=1}^n F_i)_{n\ge 1}$ ;即，函数$P$给出$(F_n)$的部分和序列。本文首先给出一个涉及$P^k(F_n)$的恒等式，它是将$P$应用于$(F_n)$ $k$次的结果序列.其次，我们提供了一个组合的解释$P^k(F_n)$中的数字。
2021-06-04 math.CO math.NT
Sums of powers of consecutive q-integers
给出了k-1以内的正整数的n次幂和的q-模拟。
2005-01-29 math.NT
Fibonacci Partial Sums Tricks
本文研究类斐波那契数列部分和的可除性，揭示前十项和等于第7项乘以11的魔术原理，并推广到其他二阶递推，证明类Pell数列存在类似技巧而类Jacobsthal数列不存在。
2024-09-02 math.HO math.NT
A note on the sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了Barnes Bernoulli数和二次多项式的q-模拟，回答了Schlosser问题的一部分.最后，我们处理的q-模拟的权力和连续积分。
2005-03-04 math.NT
Perfect powers that are sums of consecutive cubes
欧拉注意到了关系式$6^3=3^3+4^3+5^3$，并要求其他的立方体实例是连续立方体的和。类似的问题已经研究了坎宁安，加泰罗尼亚，Gennochi，卢卡斯，Pagliani，Cassels，内山，Stroeker和Zhongfeng Zhang。特别是Stroeker确定了所有的广场，可以写为总和最多$50$连续立方体。我们推广Stroeker的工作，确定所有完美的权力，是最多$50$连续立方体的总和。我们的方法包括下降，线性型在两个矩阵，和Frey-Hellegouarch曲线。
2016-11-03 math.NT
Primes as sums of Fibonacci numbers
本文的目的是讨论素数与斐波那契数和的关系。我们的一个主要结果是，对于每一个足够大的整数$k$，存在一个可以表示为$k$不同和非连续斐波那契数之和的素数。这个性质与某些形态序列的素数定理密切相关，并基于此。这样一个素数定理的证明，结合相应的局部结果，是本文的中心贡献，从中我们得到了开头所述的结果。这类问题已经在基本$q$扩展的上下文中进行了深入的讨论。Gelfond问题（1968/1969）和Sarnak猜想是这一发展的驱动力。Mauduit和Rivat解决了素数位数和（2010年）和平方数和（2009年）的问题，因此只留下了第三个Gelfond问题的一部分。后来，第二作者（2017）证明了Sarnak猜想的所有自动序列，这是基于整数的q进制扩展，并推广了基$q$中的数字和函数。为了得到斐波那契数的相应结果，我们必须对Mauduit和Rivat的方法作相当大的推广.事实上，我们与这种方法有很大的不同，我们证明了$\exp(2πi \vartheta\mathsf z(n))$有\emph{level of distribution} $1$（这里$\mathsf z(n)$是将$n$写成它们的和所需的斐波那契数的个数）。后一个结果形成了一个重要的组成部分，我们的治疗发生的总和类型$\textrm I$和$\textrm{II}$和使用Gowers规范相关的$\mathsf z(n)$…
2022-08-16 math.NT
Fibonacci, Dirichlet, and Gauss in a single sum
研究分数部分和\(\sum_{k = 1}^{n}\{F_n/F_k\}\)，其渐近行为因\(n\)奇偶性而异，奇数\(n\)对应高斯圆问题，偶数\(n\)对应狄利克雷除数问题，还证明了二阶递推数列类似公式。
2026-07-24 math.NT
Integer ratios of consecutive alternating power sums
本文给出了正整数对$(k,n)$的一个特征，对$(k,n)$，两个连续的交替幂和之比$$ \frac{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n+1} n^k}{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n}(n-1)^k} $$是一个整数。
2018-09-10 math.NT
Note on the sums of powers of consecutive $q$-integers
本文对正偶数构造了Barnes的Bernoulli数和二次多项式的$q$ -模拟，这是对Schlosser问题的一部分的回答.对于正的奇数，Schlosser的问题仍然是开放的。最后，我们将处理的$q$ -模拟的权力和连续整数。
2005-03-11 math.NT
Lemke Oliver and Soundararajan bias for consecutive sums of two squares
在最近的一项令人惊讶的工作中，Lemke Oliver和Soundararajan注意到实验数据如何在等差数列中表现出连续素数对的不稳定分布，并提出了一个启发式模型，该模型基于包含大的第二项的Hardy-Littlewood模型，该模型非常适合数据。本文研究了等差数列中的连续对平方和，并基于Hardy-Littlewood猜想建立了一个类似的启发式模型，这也解释了实验数据中的偏差。在这个过程中，我们证明了几个结果有关的平均值的Hardy-Littlewood常数的上下文中的两个平方和。
2021-06-08 math.NT
On Fibonacci Polynomial Expressions for Sums of $m$th Powers, their implications for Faulhaber's Formula and some Theorems of Fermat
用$Σn^m$表示第一个$n$正整数的$m$次幂之和$1^m+2^m+\ldots +n^m$。类似地，令$Σ^r n^m$是第一个$n$正整数的$m$次幂的$r$倍和，定义为$Σ^0 n^{m}=n^m$，然后递归地由$Σ^{r+1} n^{m}=Σ^{r} 1^{m}+Σ^{r} 2^{m}+\ldots + Σ^{r} n^{m}$。在17世纪早期，多项式表达式的总和$Σ^r n^m$和他们的因式分解和多项式的基础表示性质进行了审查的约翰Faulhaber，谁发表了一些显着的定理有关这些$r$倍总和在他的学术代数（1631年）。在本文中，我们认为家庭的多项式有关的斐波那契和卢卡斯多项式，自然借给自己代表总和和差异的整数权力，以及$Σ^r n^m$。使用求和多项式的基础上表示单项式，我们概括了这个总和的任何多项式$q(x)\in\mathbb{Q}[x]$，遇到一些有趣的系数家庭的过程中。其他结果包括使用我们的多项式表达式来陈述一些定理的费马，特别是，我们得到了一个明确的表达式的商在费马的小定理。在最后两个部分，我们检查这些款项的上下文中的三对斯特林数品种和二项式分解。我们还得到了一个表达式的$Σn^m$的斯特林数和Pochhammer符号，导致一个看似新的关系之间的斯特林数和伯努利数。
2015-10-19 math.NT
A diophantine equation for sums of consecutive like powers
证明了丢番图方程$n^\ell+(n+1)^\ell + ...+ (n+k)^\ell=(n+k+1)^\ell+ ...+ (n+2k)^\ell$对所有的$\ell \ge 3$在正整数$k,n \ge 1$中无解.
2015-03-02 math.NT
On sums of two Fibonacci numbers that are powers of numbers with limited Hamming weight
在2018年，Luca和Patel证明了可以表示为两个斐波那契数之和的最大完全幂是$3864^2 = F_{36} + F_{12}$。换句话说，他们证明了方程\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:abstract} y^a = F_n + F_m \end{equation}没有$a\geq 2$和$y^a > 3864^2$的解。虽然这仍然是一个开放的问题，有几个部分的结果。例如，最近Kebli，Kihel，Larone和Luca证明了$y^a$的显式上界，它取决于$y$的大小。在本文中，我们找到了一个明确的上界$y^a$，它只依赖于汉明重量$y$关于Zeckendorf表示。更具体地说，我们证明了：如果$y$和一些非负整数$n,m$和$a\geq 2$满足$y = F_{n_1}+ \dots + F_{n_k}$和方程\eqref{eq:abstract}，则\[ y^a \leq \exp\left(C{(\varepsilon)} \cdot k^{(3+\varepsilon)k^2} \right). \]这里，$\varepsilon >0$可以任意选择，$C(\varepsilon)$是一个有效的可计算常数.
2023-02-16 math.NT
Linear Properties of Generalized $n$-step Fibonacci Numbers
我们提出了许多有趣的，大多是新的，结果涉及$n$ -步骤斐波那契数和$n$ -步骤卢卡斯数和推广。考虑的性质包括递归关系，求和恒等式，包括二项式和双二项式求和恒等式，部分和和普通生成函数。对于小的$n$值给出了明确的例子。
2018-08-06 math.NT
On the Harmonic and Hyperharmonic Fibonacci Numbers
本文研究了调和数和超调和数的理论，并给出了斐波那契数的定义.得到了一些组合恒等式，如调和数和超调和数，并得到了斐波那契数的倒数的有限和的$\mathbb{F}_{n}$的一些有用公式。我们得到了包含调和和超调和斐波那契数的循环矩阵的谱范数和欧氏范数。
2015-05-25 math.NT
On the existence of ratio limits of weighted $n$-generalized Fibonacci sequences with arbitrary initial conditions
研究了由任意复权线性递归生成的加权$n$ -广义Fibonacci序列的连续项的比极限.我们证明了，如果这类线性递推式的特征多项式是渐近简单的，则对于任意非平凡初始条件生成的序列，存在比极限，且它等于特征多项式的唯一零点.
2016-04-08 math.NT
On powers that are sums of consecutive like powers
令$k \ge 2$为偶数，令$r$为非零整数。我们证明了对于几乎所有的$d \ge 2$（在自然密度的意义下），方程$$ x^k+(x+r)^k+\cdots+(x+(d-1)r)^k=y^n, \qquad x,~y,~n \in \mathbb{Z}, \qquad n \ge 2, $$没有解。
2016-07-28 math.NT
Relations between Chebyshev, Fibonacci and Lucas polynomials via trigonometric sums
本文通过有限三角和建立斐波那契、卢卡斯与切比雪夫多项式间的新恒等式，并给出其物理解释及与图有效电阻的联系。
2024-03-19 math.CO math.NT
Positive density for consecutive runs of sums of two squares
本文研究了两个平方数之和的连续序列在等差数列中的分布，证明对于任意奇数无平方因子模数和简化同余类，存在正密度的此类连续序列，这是 Maynard 素数序列结果的类比。
2025-03-26 math.NT
A singular K3 surface related to sums of consecutive cubes
研究了由丢番图方程$m^3+(m+1)^3+...+(m+k-1)^3=l^2$产生的曲面。这是一个皮卡德数为20的$K3$曲面。我们详细地研究了它的光学性质。我们构造椭圆纤维化，我们找到一个参数的解决方案，原来的方程。此外，我们还确定了$Q$上曲面的Hasse-Weil zeta函数.
1999-10-22 math.NT
