$\reals^d,d\geq 2$ 中随机增长簇的若干方面
Aspects of a randomly growing cluster in $\reals^d,d\geq 2
AI总结：
该研究提出一个按既有节点均匀继承并叠加递减高斯位移的随机增长点簇模型，证明其对任意 $α>0$ 几乎必然有界，并通过组合结构最小长度刻画其有效维数 $β=\min(d,1/α)$。
摘要：
我们考虑 $\Re^d,d\geq 2$ 中一个点簇增长的简单模型。从位于原点的点 $X_1$ 开始，我们生成随机点序列 $X_1,X_2,\ldots,X_i,\ldots$。为生成 $X_i,i\geq 2$，我们在 $[i-1]=\{1,2,\ldots,i-1\}$ 中均匀选择整数 $j$，然后令 $X_i=X_j+D_i$，其中 $D_i=(δ_1,\ldots,δ_d)$。这里的 $δ_j$ 是正态分布 $N(0,σ_i)$ 的独立副本，其中对某个 $α>0$ 有 $σ_i=i^{-α}$。我们证明，对任意 $α>0$，所得点集几乎必然有界；此外，从点集上组合结构的最小长度角度看，所生成的点看起来像来自 $\Re^d$ 的一个 $β$ 维子集的样本，其中 $β=\min(d,1/α)$。
英文摘要：
We consider a simple model of a growing cluster of points in $\Re^d,d\geq 2$. Beginning with a point $X_1$ located at the origin, we generate a random sequence of points $X_1,X_2,\ldots,X_i,\ldots,$. To generate $X_{i},i\geq 2$ we choose a uniform integer $j$ in $[i-1]=\{1,2,\ldots,i-1\}$ and then let $X_{i}=X_j+D_i$ where $D_i=(δ_1,\ldots,δ_d)$. Here the $δ_j$ are independent copies of the Normal distribution $N(0,σ_i)$, where $σ_i=i^{-α}$ for some $α>0$. We prove that for any $α>0$ the resulting point set is bounded a.s., and moreover, that the points generated look like samples from a $β$-dimensional subset of $\Re^d$ from the standpoint of the minimum lengths of combinatorial structures on the point-sets, where $β=\min(d,1/α)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
