Schramm Loewner Evolution and Liouville Quantum Gravity
我们共形焊接（通过“量子拉链”）两个边界弧的刘维量子引力随机表面生成一个随机曲线称为Schramm-Loewner演化（SLE）。我们开发了一个理论的量子分形措施（符合Knizhnik-Polyakov-Zamolochikov关系），并分析其演变焊接通过SLE鞅。作为应用，我们在SLE曲线上构造了自然量子长度和边界相交测度。
2010-12-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Mating of trees for critical Liouville quantum gravity
在一项开创性的工作中，Duplantier，Miller和Sheffield证明了亚临界Liouville量子引力（LQG）与Schramm-Loewner演化（SLE）的耦合可以通过两个连续随机树的配对来描述。在本文中，我们考虑他们的结果的对应临界LQG和SLE，即，对于当$γ^2=κ=16/κ=4$ .我们证明，当一个人在亚临界环境中发送$κ\downarrow 4$时，磁盘中的空间填充SLE $_κ$退化为Werner和Wu引入的CLE $_4$探索，以及i.i.d.硬币投掷由探索的分支点索引。此外，在$κ=16/γ^2\downarrow 4$极限下，连续随机树对坍缩成单个连续随机树，并且我们观察到，在取极限之前对编码布朗运动应用适当的仿射变换，我们得到收敛到一对独立的布朗运动$(A,B)$。布朗运动$A$编码从CLE环到磁盘边界的LQG距离，而布朗运动$B$编码CLE $_4$环的边界长度。与亚临界设置相反，$(A,B)$不能确定CLE修饰的LQG表面。
2022-08-31 math.PR
Characterizations of SLE$_κ$ for $κ\in (4,8)$ on Liouville quantum gravity
我们证明了在独立的$γ=4/\sqrtκ$ -Liouville量子引力（LQG）曲面上的SLEPDMATHABMM对$κ\in (4,8)$的唯一特征在于它的LQG边界长度过程的形式和未探测的量子曲面的条件律的形式，该条件律给出了直到每次$t$的已探测的曲线修饰的量子曲面。我们证明了这两个全平面空间填充SLE $_κ$的无限体积的LQG表面和弦SLE $_κ$的有限体积的LQG表面的边界上的特征的变体。利用布朗曲面和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面的等价性，我们推导出布朗圆盘上的SLE $_6$的边界长度过程的形式唯一地刻画了该边界长度过程，并且在给定该边界长度过程的情况下，该边界长度过程的曲线直到每次$t$的互补连通分量本身都是条件独立的布朗圆盘.本文的结果在同一作者的另一篇论文中被用来证明随机四边形化上渗流的标度极限由SLE $_6$在$\sqrt{8/3}$ -LQG上关于Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑给出，Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑是曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。
2021-02-10 math-ph math.CV math.MP
Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
我们证明了一个统一的无限四边形的半平面装饰的自避免行走（SAW）收敛在缩放限制的度量胶合两个独立的布朗半平面确定沿其正边界射线。结合作者的其他工作，这意味着随机四边形上的SAW收敛到某个$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面上的SLEPDMATHABMM.收敛拓扑是局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，是局部Gromov-Hausdorff拓扑到曲线修饰度量测度空间的自然推广。我们还证明了类似的缩放极限结果均匀的无限四边形的整个平面装饰的单面或双面SAW。我们的证明仅使用随机四边形的剥离过程和布朗半平面的一些基本性质，因此可以在没有任何SLE或LQG知识的情况下阅读。
2019-10-16 math-ph math.CO math.CV
Active spanning trees with bending energy on planar maps and SLE-decorated Liouville quantum gravity for $κ> 8$
在平面映射的生成树上引入了一类双参数概率测度族。其中一个参数控制生成树的活动，另一个参数是其弯曲能量的度量。当弯曲参数为1时，我们恢复了与临界Fortuin-Kasteleyn模型密切相关的活动生成树模型。一个随机的平面地图装饰的生成树从我们的模型可以编码的谢菲尔德的汉堡包，奶酪汉堡双射的广义版本。使用这种编码，我们证明了，对于一系列的参数值（包括对应的地图装饰的积极的生成树），无限体积限制的生成树装饰的平面地图从我们的模型采样收敛在peanosphere意义上，重新缩放后，SLE $_κ$ -装饰$γ$ -刘维量子锥$κ> 8$和$γ= 4/\sqrtκ\in (0,\sqrt 2)$。
2017-12-30 math-ph math.MP math.PR
SLE Loop Measure and Liouville Quantum Gravity
本文利用刘维尔量子引力（LQG）研究SLE环路测度，证明了共形环路系综与SLE环路测度的等价性，建立了κ与16/κ的对偶性，并导出了电厚度矩的精确公式。
2024-12-27 math-ph math.MP math.PR
Convergence of percolation on uniform quadrangulations with boundary to SLE$_{6}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
设$Q$是一个自由Boltzmann四边形，其边界由临界（$p=3/4$）面渗流构形修饰.证明了$Q$上的弦渗流探索路径在两个有标记的边界边之间收敛于一个独立的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力圆盘（等价于一个布朗圆盘）上的弦$_6$的标度极限.收敛拓扑是Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。我们还获得了类似的比例极限结果的面渗流的均匀无限半平面四边形与简单边界，并为网站渗流的均匀三角形与简单边界。我们的证明方法是强大的，并在一定的技术步骤，扩展到任何渗流模型的随机平面地图，可以通过剥离探索。
2021-02-10 math-ph math.CO math.CV
Natural parametrization of SLE: the Gaussian free field point of view
我们为$κ< 4$提供了SLE $_κ$的自然参数化的另一种构造。我们将其构造为量子时间的期望，量子时间是SLE在环境高斯自由场中携带的随机测度。这个量子时间被建立为在刘维尔边界测量的SLE曲线上向前推进，刘维尔边界测量是一种支持在域边界上的自然场依赖测量。此外，我们还证明了在具有右马尔可夫协方差性质的SLE迹上的任何测度上，量子时间都可以被重构为混沌。这又一次证明了自然参数化具有马尔可夫协方差性质。
2017-08-12 math.PR
Conformal weldings of random surfaces: SLE and the quantum gravity zipper
我们构造了两个Liouville量子引力随机表面的共形焊接，并表明它们之间的界面是一个随机分形曲线，称为Schramm-Loewner演化（SLE），从而解决了彼得琼斯猜想的一个变体。我们还证明了一些令人惊讶的对称性，这种结构，这是一致的信念，（路径装饰）随机平面地图（SLE装饰）刘维量子引力作为一个缩放限制。我们提出了几个精确的解释和开放的问题。
2015-09-23 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Liouville conformal field theory and the quantum zipper
该研究针对源自刘维尔共形场论（LCFT）的刘维尔量子引力曲面，用LCFT和SLE给出曲面与曲线的显式描述，证明了LCFT的边界BPZ方程，还证明了κ>8时全平面SLE_κ的可逆性，并将证明LCFT曲面空间在共形焊接下封闭。
2024-08-13 math-ph math.MP math.PR
Dimension of the SLE light cone, the SLE fan, and SLE$_κ(ρ)$ for $κ\in (0,4)$ and $ρ\in [\tfracκ{2}-4,-2)$
假设$h$是平面域上的高斯自由场（GFF）。修复$κ\in (0,4)$。具有开度角$θ\in [0,π]$的$h$的SLE $_κ$光锥${\mathbf L}(θ)$是从给定边界点通过（形式）矢量场$e^{i h/χ}$，$χ= \tfrac{2}{\sqrtκ} - \tfrac{\sqrtκ}{2}$，具有$[-\tfracθ{2},\tfracθ{2}]$中的角度的角度变化流线可到达的点的集合。我们导出了${\mathbf L}(θ)$的Hausdorff维数。如果$θ=0$，则${\mathbf L}(θ)$是普通SLE $_κ$曲线（含$κ< 4$）;如果$θ= π$，则${\mathbf L}(θ)$是SLE $_{κ'}$曲线（$κ' = 16/κ> 4$）的范围。在这些极端情况下，这导致了一个新的证明的豪斯多夫维数公式SLE。我们还考虑了SLE $_κ(ρ)$过程，它最初只为$ρ> -2$定义，但也可以使用Lévy补偿为$ρ\leq -2$定义。当$ρ\leq -2$时，SLE $_κ(ρ)$的范围有质的不同。特别地，这些曲线对于$κ< 4$是自相交的，并且双点是密集的，而普通的SLE $_κ$是简单的。之前已经证明（Miller-Sheffield，2016）某些SLE $_κ(ρ)$曲线与某些光锥符合定律。结合这一点与其他已知的结果，我们得到了一般公式的Ha…
2017-12-31 math-ph math.CV math.MP
Gaussian free field light cones and SLE$_κ(ρ)$
我们得到了一个令人惊讶的对应关系SLE $_κ(ρ)$过程和高斯自由场（GFF）的光锥。回想一下，（单侧、弦、起源种子）SLE $_κ(ρ)$过程在某种意义上是Schramm-Loewner演化的最简单和最自然的变体。它们最初只为$ρ> -2$定义，但可以使用Lévy补偿将定义扩展到任何$ρ> -2-\tfracκ{2}$，并获得定性不同的曲线。三角形$T = \{(κ, ρ): (-2-\tfracκ{2})\vee (\tfracκ{2}-4) < ρ< -2 \}$是本文的重点。当使用$(κ, ρ) \in T$时，即使$κ< 4$，SLE $_κ(ρ)$曲线也是高度非简单的（并且双点是密集的）。让$h$成为GFF的一个实例。修复$κ\in (0,4)$和$χ= 2/\sqrtκ - \sqrtκ/2$。回想一下，假想几何射线是局部看起来像SLE $_κ$的$e^{i(h/χ+θ)}$的流线。参数为$θ\in [0, π]$的光锥是一组从原点通过一系列具有$[-θ/2, θ/2]$中的角度的光线可到达的点。当$θ=0$时，光锥看起来像SLE $_κ$，当$θ= π$时，它看起来像SLE $_{16/κ}$的范围。我们发现，当$θ\in (0, π)$的光锥是分形地毯与密集的一组孔或空间填充区域没有孔。我们表明，每个非空间填充光锥（具有$θ\in (0,π]$和$κ\in (0…
2016-06-23 math-ph math.CV math.MP
Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey
我们综述了随机平面映射的配对树双射的理论和应用及其连续模拟：Duplantier，Miller和Sheffield（2014）的配对树定理。后一个定理给出了由Schramm-Loewner演化曲线修饰的Liouville量子引力（LQG）曲面用一对相关线性布朗运动进行编码的方法.我们假设对SLE和LQG理论的熟悉程度最低。树的匹配理论使人们能够把SLE和LQG的问题归结为布朗运动的问题，并使随机平面映射和LQG之间有着深刻的严格联系。本文讨论的应用包括装饰随机平面映射的各种泛函的标度极限结果，图距离的估计和上的随机游动。（不一定是均匀的）随机平面映射，与SLE相关的集合的豪斯多夫维数的计算，共形嵌入平面中的随机平面映射的缩放极限结果，以及$\sqrt{8/3}$ -LQG的特殊对称性，它们允许人们证明它与布朗映射的等价性。
2023-02-15 math-ph math.CO math.CV
Growth-fragmentations, Brownian cone excursions and SLE(6) explorations of a quantum disc
本文研究角度为2π/3锥体中布朗游览内嵌的增长-碎裂过程，用纯布朗运动技术证明其与稳定Lévy过程的联系，并由此导出γ=√(8/3)量子圆盘SLE(6)探索的基本性质。
2025-01-06 math-ph math.MP math.PR
Percolation on triangulations: a bijective path to Liouville quantum gravity
我们为一系列旨在证明均匀随机平面映射和刘维尔量子引力（LQG）之间强关系的工作奠定了基础。我们的方法依赖于一个双射编码的网站，由某些二维晶格路径的平面三角剖分。我们的双射平行的离散设置的\emph{mating-of-trees}框架的LQG和Schramm-Loewner进化（SLE）介绍了Duplantier，米勒和谢菲尔德。结合这两个对应关系，使我们能够将均匀的站点定位三角测量与$\sqrt{8/3}$ -LQG和SLE $_6$联系起来。特别地，我们建立了渗流模型的几个泛函的收敛到连续随机对象定义的$\sqrt{8/3}$ -LQG和SLE $_6$。例如，我们发现，渗透的探索树收敛到一个分支SLE $_6$，和收集的渗透循环收敛到共形循环合奏CLE $_6$。我们还证明了计数测度在渗流的关键点上的收敛性。我们的结果在其他几个作品中发挥了重要作用，包括一个程序，显示收敛的一致三角形和工程研究的行为随机游动上的一致无限平面三角剖分的共形结构。
2021-06-02 math-ph math.CO math.MP
Metric gluing of Brownian and $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity surfaces
在最近的一系列工作中，Miller和Sheffield在$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）上构造了一个度量，在该度量下，$\sqrt{8/3}$ -LQG表面（例如，LQG球、楔、锥和盘）与它们的布朗表面对应物（例如，布朗映射、半平面、平面和圆盘）。我们确定的度量胶合的某些集合的独立的$\sqrt{8/3}$ -LQG表面的边界确定在一起，根据LQG长度沿其边界。我们的研究结果特别意味着，度量胶合的两个独立的布朗半平面沿其正边界的等距到一定的LQG楔装饰由一个独立的弦SLE $_{8/3}$曲线。如果我们确定了一个布朗半平面边界的两边，我们就得到了一个由独立的全平面SLE $_{8/3}$装饰的LQG锥。如果确定两个布朗半平面的整个边界，则得到不同的LQG锥，并且它们之间的界面是全平面SLE $_{8/3}$的双侧变体。结合作者的另一项工作，本文研究了在$\sqrt{8/3}$ -LQG上的$_{8/3}$随机四边形上自回避游动的标度极限.
2018-10-03 math-ph math.CV math.MP
Integrability of SLE via conformal welding of random surfaces
我们演示了如何从刘维共形域论（LCFT）和刘维量子引力（LQG）的树匹配框架中获得Schramm-Loewner演化（SLE）的可积结果。特别是，我们证明了一个精确的公式的法律的共形导数的一个经典的变体SLE称为$\mathrm{SLE}_κ(ρ_-;ρ_+)$。我们的证明是建立在SLE，LCFT和交配树之间的两个连接。首先，LCFT和匹配树提供了等价但互补的方法来描述自然随机表面LQG。使用一种新的工具，我们称之为均匀嵌入的LQG表面，我们延伸早期的等价结果，允许更少的标记点和更通用的奇点。其次，这些随机曲面的保形焊接产生SLE曲线作为它们的界面。特别是，我们依赖于保形焊接结果证明在我们的同伴文件[AHS 20]。我们的论文是一个程序的重要组成部分证明可积性结果SLE，LCFT，和交配的树基于这两个连接。
2022-05-06 math-ph math.MP math.PR
Cutting $γ$-Liouville quantum gravity by Schramm-Loewner evolution for $κ\not\in \{γ^2, 16/γ^2\}$
本文将 SLE 与 LQG 的切割定理推广到 $κ\not\in \{γ^2, 16/γ^2\}$ 的情形，通过引入辅助虚几何场使中心荷之和为 26，证明切割后曲面在给定辅助场值时条件独立，并给出其他路径的类似结果。
2024-04-30 math-ph math.MP math.PR
Conformal welding of quantum disks and multiple SLE: the non-simple case
本研究将量子圆盘的共形焊接推广至非简单情形，基于SLE与刘维尔共形场论的联系构造了多重SLE，并证明了其配分函数的存在性与性质。
2025-10-15 math-ph math.MP math.PR
Permutons, meanders, and SLE-decorated Liouville quantum gravity
MIT（麻省理工学院）；University of Chicago（芝加哥大学）；Peking University（北京大学）
该研究构造了基于SLE装饰LQG曲面的随机置换子类，证明其最长递增子序列次线性、闭支撑豪斯多夫维数为1，还推导了蜿蜒置换子的模式密度公式并提出相关猜想与开放问题。
2025-03-25 math-ph math.CO math.MP
SLE partition functions via conformal welding of random surfaces
本文通过共形焊接典型LQG表面，展示了SLE配分函数如何作为随机模量密度中的乘法因子出现，覆盖多重SLE、虚几何流线和边界格林函数，提供了构造SLE配分函数的替代途径。
2024-11-10 math-ph math.MP math.PR
Liouville Brownian motion and quantum cones in dimension $d > 2$
针对d > 2维情况，研究了与全空间对数相关高斯场相关的刘维尔布朗运动，计算其谱维数，构造高维β-量子锥并证明特定α-量子锥的平移不变性。
2025-02-13 math-ph math.MP math.PR
Gaussian curvature on random planar maps and Liouville quantum gravity
本文定义 LQG 的高斯曲率并猜想其为随机平面图离散曲率的标度极限，通过分析 ε-mated CRT 映射证明了测试函数积分曲率的阶及总曲率的收敛极限。
2024-06-12 math.PR
The Minkowski content measure for the Liouville quantum gravity metric
本文证明LQG测度可作为LQG度量的Minkowski测度恢复，由此推出γ-LQG曲面的度量结构决定其共形结构，主要工具为空间填充SLE的连续配对树理论，并建立了相关Hölder连续性结果。
2023-10-12 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity as a mating of trees
有一种简单的方法可以将一对耦合的连续随机树（CRT）“粘合”在一起，以产生一个拓扑球。球体配备了测量和空间填充曲线（描述树之间的“界面”）。我们提出了一个明确的和规范的方式来嵌入领域的${\mathbf C} \cup \{ \infty \}$。在这个嵌入中，测度是带有参数$γ\in (0,2)$的刘维尔量子引力（LQG），曲线是带有$κ' = 16/γ^2$的空间填充SLE $_{κ'}$。实现这一目标需要我们开发一套广泛的工具来处理LQG曲面。我们解释了如何共形焊接所谓的“量子楔”，以获得新的量子楔不同的重量。我们构造了各种类型的有限体积量子盘和球，并给出了由边界相交的SLEPDMATHABMQ过程用$κ\in (0,4)$截断的量子盘集的泊松描述.我们还建立了一个Lévy树描述的集合的量子盘的左边（或右边）的SLE $_{κ'}$与$κ' \in (4,8)$。我们表明，给定两个这样的树，独立采样，有a.s.一种将它们“压缩在一起”并恢复SLE $_{κ'}$的规范方法。我们研究的CRT对的规律在早期的论文中被证明是与FK装饰的随机平面映射（RPM）相关的离散树/双树对的标度极限。总之，这些结果意味着FK-装饰的RPM缩放到CLE-装饰的LQG在一定的“树结构”拓扑结构。
2020-08-18 math-ph math.CV math.MP
Chordal SLE$_6$ explorations of a quantum disk
我们考虑一类特殊的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面，称为双标记量子盘（等价于布朗盘），它在其标记边界点之间被一条独立的弦SLE $_6$曲线$η$修饰.我们得到了由$η([0,t])$的互补连通分量参数化的量子表面对每个时间$t \geq 0$的规律的描述，以及对$η$的左/右$\sqrt{8/3}$ -量子边界长度过程的规律.
2018-07-01 math-ph math.CV math.MP
The SLE Bubble Measure via Conformal Welding of Quantum Surfaces
本文证明SLE气泡测度自然产生于两个Liouville量子引力圆盘的共形焊接，并给出分解公式，进而计算SLE气泡共形半径的矩，并将Liouville共形场论中的体-边界关联函数与量子边界长度和量子面积联系起来。
2023-05-30 math-ph math.CV math.MP
Conformal welding and the matter--Liouville--ghost factorisation
本文研究局部共形变换在GFF和SLE相关测度上的作用，主要创新是为SLE loop measure的缝合同胚提出Cameron--Martin型公式，并引入量子曲面共形缝合的新方法。
2025-07-01 math-ph math.CV math.MP
Reversibility of whole-plane SLE for $κ> 8$
本文证明了κ>8时全平面SLE$_κ$的可逆性，解决了Viklund和Wang猜想的最后情形，其证明依赖于一个新的树配对定理，该定理涉及由独立径向空间填充SLE曲线装饰的圆盘上的Liouville量子引力。
2024-10-02 math-ph math.MP math.PR
Bipolar oriented random planar maps with large faces and exotic SLE$_κ(ρ)$ processes
本文研究了具有重尾面度的双极性随机平面映射。我们证明了对于每个$α\in (1,2)$，如果面度在$α$ -稳定Lévy过程的吸引域中，则相应的随机平面映射在Benjamini-Schramm拓扑中具有无穷体积极限.我们还表明，在限制，适当重新缩放的轮廓功能与西北和东南树收敛的法律，以一定的相关对$α$稳定的Lévy过程。结合其他工作，这使我们能够确定的缩放极限的平面地图与SLE $_κ(ρ)$过程与$\sqrtκ$ -刘维量子引力的$\sqrtκ$ -刘维$κ\in (4/3,2)$，其中$α, κ$相关的$α= 4/κ-1$。
2022-02-04 math.CO math.PR
Conformal removability of SLE$_4$
我们考虑Schramm-Loewner演化（SLE $_κ$）与$κ=4$，$κ> 0$的临界值在或低于SLE $_κ$是一个简单的曲线和以上，它是自相交。我们表明，SLE $_4$曲线的范围是a.s.共形可移动，回答谢菲尔德提出的问题。这样的曲线出现作为一对独立的临界（$γ=2$）Liouville量子引力（LQG）表面沿其边界的共形焊接，我们的结果意味着这种共形焊接是唯一的。为了建立这一结果，我们给出了一个新的充分条件的集合$X \subseteq {\mathbf C}$是共形可去的情况下，$X$不一定是一个单连通域的边界。
2022-09-21 math-ph math.CV math.MP
Bipolar orientations on planar maps and SLE$_{12}$
我们给出双极定向（具有唯一源和汇的无环）平面映射和某些随机游动，它们表明均匀随机双极定向平面映射，由围绕到汇的最左边路径的树的“皮亚诺曲线”装饰，的收敛律相对于peanosphere拓扑的$\sqrt{4/3}$ -Liouville量子引力表面装饰一个独立的施拉姆-具有参数$κ=12$的Loewner演化（即，SLE $_{12}$）。这个结果是普遍的意义上说，它适用于双极定向三角剖分，四边形，$k$ -角，和地图中的脸大小是混合的。
2016-11-10 math-ph math.CV math.MP
SLE as a mating of trees in Euclidean geometry
Liouville量子引力（LQG）随机几何中Schramm-Loewner演化（SLE）的树交配方法最近由Duplantier-Miller-Sheffield（2014）发展。本文考虑欧氏几何中树的交配问题。设$η$是一个全平面空间填充SLE，其参数为$κ>4$，由勒贝格测度参数化。在交配的树的方法中的主要观察是轮廓函数，一个二维连续的过程，描述了$η$的左，右前沿的Minkowski内容的演变。我们证明了正则性的轮廓函数，并表明（如在LQG的情况下），它编码的曲线$η$的所有信息。我们还证明了$\mathbb Z^2$上的均匀生成树收敛到$\mathrm{SLE}_8$的自然拓扑与交配的树的方法。
2018-02-27 math-ph math.MP math.PR
The geodesics in Liouville quantum gravity are not Schramm-Loewner evolutions
证明了满足某些自然假设的Liouville量子引力（LQG）度量所对应的测地线，对于任何类型的SLE $_κ$的律都是奇异的.这些假设是由第一作者和Sheffield构造的$γ=\sqrt{8/3}$的LQG度量满足的，Gwynne和第一作者的后续工作表明，存在一个唯一的度量满足每个$γ\in (0,2)$的这些假设。作为我们分析的结果，我们还建立了LQG测地线的某些正则性，这意味着，除其他事项外，它们是共形可移动的。
2019-10-16 math-ph math.CV math.MP
The $p$-$θ$ relation in mating of trees and its application to skew Brownian permutons
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学数学中心）；New York University（纽约大学）
本文针对树配对方法中耦合两对布朗运动的参数$p$（描述布朗运动）与$θ$（描述LQG曲面上的SLE曲线），推导了二者的精确关系，并将其应用于计算偏置布朗置换子的统计量。
2026-09-01 math.PR
Complex Generalized Integral Means Spectrum of Drifted Whole-Plane SLE and LLE
给出了两类由Lévy过程驱动的全平面Loewner演化的复广义积分平均谱的新结果：-具有连续轨迹的Lévy过程，对应于布朗驱动函数中含有漂移项的Schramm-Loewner演化（SLE）.一个自然的路径来访问标准的积分平均谱漂移的存在下，通过引进复杂的广义积分平均谱，这是通过所谓的刘维量子引力。- 对称Lévy过程，我们推广了Loutsenko和Yermolayeva最近的结果。
2023-03-18 math-ph math.CV math.MP
Baxter permuton and Liouville quantum gravity
Stanford University（斯坦福大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文给出 Baxter permuton 期望密度的显式公式，证明其模式密度严格正，并借助 LQG/SLE 联系推广到斜布朗 permuton，揭示反转比例与虚几何角的关系。
2023-01-17 math-ph math.CO math.MP
The Tutte embedding of the mated-CRT map converges to Liouville quantum gravity
我们证明了Tutte嵌入（a.k.a.调和/重心嵌入）收敛于$γ$ -Liouville量子引力（$γ$ -LQG）。具体来说，我们处理配对CRT地图，这是离散化的相关连续随机树的交配，和$γ$范围从$0$到$2$作为一个变化的相关参数。我们还表明，嵌入式地图上的相关空间填充路径收敛到空间填充SLE $_κ$ $κ=16/γ^2$（在退火意义上）和嵌入式地图上的简单随机游动收敛到布朗运动（在淬火意义上）。本文首次证明了随机平面映射的离散共形嵌入收敛于LQG。还有许多这样的声明被证实。由于配对CRT图可以被视为对其他随机平面图（UIPT、树加权图、双极定向图等）的粗粒度近似，我们的结果表明，一个潜在的方法来证明这些映射的嵌入收敛到LQG以及。为了证明主要结果，我们建立了几个关于空间填充SLE修饰的LQG曲面的定理。有一种自然的方法可以使用SLE曲线将平面划分为与匹配CRT贴图的顶点相对应的“单元”。我们研究的法律的形状的原始包含细胞，特别是证明时刻的比例，其平方直径，其面积。我们还给出了边界上的程度的起源包含细胞和建立一种形式的遍历的整个配置。最终，我们使用这些属性显示（在一个单独的文件证明的一般定理的帮助下），这些细胞上的随机游动收敛到时变的布朗运动，这反过来又导致Tutte嵌入结果。
2021-02-20 math-ph math.CV math.MP
The SLE loop via conformal welding of quantum disks
我们证明了$_κ$圈测度自然地产生于两个$γ$ -Liouville量子引力（LQG）盘对$γ^2 = κ\in (0,4)$的共形焊接.证明依赖于我们的同伴工作保形焊接的LQG磁盘和使用作为一个重要的工具的概念，均匀嵌入的LQG表面。结合Gwynne和Miller的工作，我们得到了由自回避多边形修饰的随机四边形在尺度极限内收敛于由SLE $_{8/3}$环修饰的LQG球面.我们的结果也是一个关键的输入最近的工作的第一和第三合著者的共形回路合奏的可积性。
2023-02-08 math-ph math.MP math.PR
Dimension transformation formula for conformal maps into the complement of an SLE curve
证明了$\mathbb R$的一个确定性Borel子集的Hausdorff维数与它在从上半平面到$κ\not =4$的SLE $_κ$曲线的一个补连通分支的共形映射下的像的豪斯多夫维数之间的关系.我们的证明是基于SLE和Liouville量子引力之间的关系以及Rhodes-Vargas（2011）的一维KPZ公式和Gwynne-Holden-Miller（2015）的KPZ公式。作为一个中间步骤，我们证明了KPZ公式，它涉及的Euclidean维数的一个子集的SLE $_κ$曲线的$κ\in (0,4)\cup(4,8)$和同一组的尺寸相对于$γ$ -量子自然参数化的曲线引起的一个独立的高斯自由场，$γ= \sqrt κ\wedge (4/\sqrtκ)$。
2019-10-16 math-ph math.CV math.MP
A distance exponent for Liouville quantum gravity
令$γ\in (0,2)$和$h$是描述$γ$ -Liouville量子引力（LQG）锥的$\mathbb C$上的随机分布。还令$κ= 16/γ^2 >4$和$η$为独立于$h$采样并由$γ$ -相对于$h$的量子质量参数化的全平面空间填充SLE $_κ$曲线。我们研究了与$(h, η)$相关的平面映射族$\{\mathcal G^ε\}_{ε>0}$，称为\textit{LQG structure graphs}（又名\textit{LQG structure graphs}）。\textit{mated-CRT maps}），我们猜想它们在Gromov-Hausdorff拓扑的标度极限内概率收敛到与$γ$-LQG相关联的随机度量空间.特别地，$\mathcal G^ε$是其顶点集为$ε\mathbb Z$的图，其中两个这样的顶点$x_1,x_2\in ε\mathbb Z$由边连接当且仅当对应的曲线段$η([x_1-ε, x_1])$和$η([x_2-ε,x_2])$共享非平凡边界弧。由于Duplantier，Miller和Sheffield（2014）对SLE修饰的LQG的peanosphere描述，图$\mathcal G^ε$可以等价地表示为相关二维布朗运动的显式泛函，因此可以在不参考SLE或LQG的情况下进行研究。我们证明了半径为$n$的图距离球在$\mathcal …
2018-07-03 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity spheres as matings of finite-diameter trees
我们证明了单位面积刘维尔量子引力球可以用两种等价的方法构造。第一，这是介绍了作者和Duplantier，使用贝塞尔偏移措施，以产生一个高斯自由场变量的圆柱体。第二种是利用关联布朗环和“树的交配”构造出一个空间填充路径修饰的Liouville量子引力球，在特殊情形$γ=\sqrt{8/3}$中，我们给出了第三种等价构造，它使用$3/2$ -稳定Lévy过程的偏移度量（只有向上的跳跃）以产生一对量子盘树，其可以配对以产生由SLE $_6$装饰的球体。这个构造与证明$γ=\sqrt{8/3}$ Liouville量子引力球等价于布朗映射的程序有关。
2018-10-10 math-ph math.CV math.MP
The circle packing and Riemann uniformization embedding of the tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
本文证明树加权平面地图在圆堆积和黎曼均匀化嵌入下收敛于$\sqrt{2}$-LQG，并附带证明自然路径收敛于SLE$_8$。
2026-10-08 math.CV math.PR
Conformal welding for critical Liouville quantum gravity
考虑两个临界刘维尔量子引力表面（即，$γ$-$γ=2$的LQG），每个都具有$\mathbb{H}$的拓扑结构和无限的边界长度。我们证明，A. S。当边界由量子边界长度确定时，存在两个表面的共形焊接。这导致由独立SLE $_4$修饰的临界LQG表面。结合McEnteggart，Miller和Qian（2018）最近建立的这种焊接的唯一性证明，这表明焊接操作是明确定义的。我们的结果是谢菲尔德量子引力拉链定理（2016）的关键模拟，这表明亚临界LQG的类似保形焊接（即，$γ$-$γ\in(0,2)$的LQG）定义明确。
2020-10-28 math-ph math.CV math.MP
Backbone exponent for two-dimensional percolation
本文通过SLE气泡测度、刘维尔量子引力与共形场论的可积性，推导出二维临界伯努利渗流骨干指数的精确表达式，揭示其超越数值特性，并推广至所有κ∈(4,8)。
2024-01-13 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity surfaces with boundary as matings of trees
对于$γ\in (0,2)$，量子盘和$γ$ -量子楔是两种最自然的具有边界的Liouville量子引力（LQG）表面.这些表面出现的有限和无限的随机平面映射的标度极限的边界，分别。我们证明了量子圆盘或$γ$ -量子楔上充满空间的$_{16/γ^2}$曲线的左/右量子边界长度过程是一个具有关联$-\cos(πγ^2/4)$的显式条件二维布朗运动.这将Duplantier、Miller和Sheffield（2014）的树的交配定理扩展到了有边界的量子表面的情况（$γ\in (\sqrt 2 , 2)$的圆盘情况之前由Duplantier、Miller和Sheffield使用不同的方法处理）。作为应用，我们通过计算关联布朗运动的相应泛函的规律，给出了给定边界长度的量子盘的LQG面积的条件规律的显式表达式.
2020-05-11 math-ph math.CV math.MP
Simple Conformal Loop Ensembles on Liouville Quantum Gravity
我们证明了当在独立的$\sqrtκ$ -Liouville量子引力（LQG）曲面上绘制一个简单的共形环系综（CLE $_κ$ for $κ\in (8/3,4)$）并以自然的马尔可夫方式探索CLE时，量子曲面（例如，对应于CLE环的内部），其被切出形成量子盘的泊松点过程。这种结构使我们能够在LQG上的CLE、不对称$(4/κ)$稳定过程和标记分支树之间建立直接联系。这些过程的正负跳跃强度之比为$-\cos (4 π/ κ)$，这可以解释为LQG设置上CLE中CLE环的“密度”。正跳转对应于CLE循环的发现（其中循环的LQG长度由跳转大小给出），负跳转对应于发现过程将剩余待发现域分成两部分的时刻。一些结果如下：（i）它提供了LQG上的CLE的构造作为量子盘的拼凑/焊接。(ii)它允许构建生活在CLE地毯中的“自然量子测量”。(iii)它使我们能够得到一些新的性质和公式的SLE过程和CLE本身（没有LQG），如一般的非对称SLE $_κ(κ-6)$过程的主干的确切分布。目前的工作直接处理的连续结构，并没有提到离散模型，但我们的计算匹配的缩放限制的O（N）模型的平面地图与大面和CLE LQG。事实上，我们的Lévy树描述正是那些出现在离散装饰平面地图的大规模极限剥离的研究，如在最近的工作Bertoin，Budd，Curien和Kortchemski。LQG上的非简单CLE的情况是另一篇论…
2021-10-19 math-ph math.MP math.PR
An almost sure KPZ relation for SLE and Brownian motion
Duplantier、Miller和Sheffield的peanosphere结构提供了一种表示$γ$ -Liouville量子引力（LQG）表面$γ\in (0,2)$的方法，该表面用Schramm的SLE $_κ$、$κ= 16/γ^2 \in (4,\infty)$、$η$的空间填充形式装饰为一对树的胶合，这对树由相关的二维布朗运动$Z$编码。我们证明了一个KPZ型公式，它涉及的Hausdorff维数的任何Borel子集$A$的范围内的$η$，它可以被定义为一个函数的$η$（模时间参数化）的Hausdorff维数的相应的时间集$η^{-1}(A)$。这一结果有助于减少的Hausdorff维数的计算问题与SLE，CLE，或相关的过程在一个域的内部的一个特定的集合与布朗运动的Hausdorff维数的计算问题。对于许多自然的例子，相关的布朗运动集是众所周知的。作为推论，我们得到了新的证明的Hausdorff维数的SLE $_κ$曲线的$κ\not=4$;的双重点和切割点的SLE $_κ$的$κ>4$;和交叉的两个流线的高斯自由场。我们还获得了Hausdorff维数的集合$m$ -元组点的空间填充SLE $_κ$的$κ>4$和$m \geq 3$通过计算Hausdorff维数的所谓的$(m-2)$ -元组$π/2$ -锥时间的相关平面布朗运动。
2019-07-02 math-ph math.CV math.MP
Brownian motion correlation in the peanosphere for $κ> 8$
杜普朗蒂埃、米勒和谢菲尔德的粒子球（或“树的交配”）构造编码了某些类型的$γ$ -刘维量子引力（LQG）表面（$γ\in (0,2)$），这些表面根据相关的二维布朗运动装饰有独立的SLE $_κ$（$κ= 16/γ^2 > 4$），并提供了一个框架，用于显示装饰有统计物理模型的随机平面映射收敛到装饰有SLE的LQG。以前，对于$κ\in (4,8]$，布朗运动的相关性仅被明确地确定为$-\cos(4π/κ)$，而对于$κ> 8$未知。这项工作的主要结果是，这个公式适用于所有的$κ> 4$。这为证明$κ> 8$的上述类型的收敛结果提供了缺少的成分。我们的证明是基于计算一个特定的尾部指数的SLE $_κ$上的量子楔，然后匹配它与一个指数，这是众所周知的布朗运动。
2016-01-15 math-ph math.CV math.MP
Weyl's law in Liouville quantum gravity
本文证明了Liouville布朗运动特征值的Weyl定律，指出第n个特征值随n线性增长，比例常数由区域的Liouville面积和确定性常数c_γ决定。证明核心是对角热核小时间行为的精确渐近分析，并发现热迹层面逐点波动相互抵消。
2024-05-30 math-ph math.DG math.MP
Conformal welding of quantum disks
带有权参数$W > 0$的两点量子盘是一类在刘维尔量子引力中自然产生的有限面积随机表面。在本文中，我们证明了共形焊接两个量子盘根据他们的边界长度得到另一个量子盘装饰有一个独立的弦$\mathrm{SLE}_κ(ρ_-;ρ_+)$曲线。这是Sheffield（2010）和Duplantier-Miller-Sheffield（2014）关于无限区域两点量子表面焊接的经典结果的有限体积对应物，称为量子楔，这是配对树理论的基础。我们的结果可以用来统一证明量子圆盘和量子球的树匹配定理，以及对权$W = \frac{γ^2}{2}$量子圆盘的树匹配描述.此外，它作为一个关键成分，在我们的同伴工作[AHS 21]，这证明了一个精确的公式为$\mathrm{SLE}_κ(ρ_-;ρ_+)$使用保形焊接的随机表面和保形焊接的结果，给所谓的SLE循环。
2021-07-05 math-ph math.CV math.MP
Quantum triangles and imaginary geometry flow lines
本文定义了三参数量子三角形作为刘维尔量子引力中三角形的量子版本，证明其给出虚几何流线围成三角形的定律，并通过与双点量子圆盘的共形焊接推导出带三个力点的弦SLE可积性结果。
2024-08-30 math-ph math.CV math.MP
Critical exponents on Fortuin--Kasteleyn weighted planar maps
本文研究了带参数$q \in (0,4)$的自对偶Fortuin-Kasteleyn模型加权的随机平面映射.使用双射由于谢菲尔德和连接到平面布朗运动在一个锥，我们得到严格的临界指数的值与集群接口的长度，这是示出为$$ \frac{4}π \arccos \left( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{q}}}{2} \right)=\frac{κ'}{8}. $$其中$κ' $是SLE参数与此模型。我们还推导出对应于由循环所包围的区域的指数，该循环对于$q \in (0,4)$的所有值均为1。应用KPZ公式，我们发现这个值与SLE曲线的维数和SLE对偶是一致的。
2016-07-09 math-ph math.MP math.PR
Supercritical Liouville quantum gravity and CLE$_4$
本文首次在超临界相中建立 SLE 与 LQG 的关系，构造圆盘拓扑的超临界 LQG 曲面，并证明其与 CLE$_4$ 的耦合结构，同时提出相应随机平面地图的缩放极限猜想。
2025-03-10 math-ph math.MP math.PR
