Discrete orthogonality of hypergeometric polynomial sequences on linear and quadratic lattices
我们提出了一种方法，以获得与线性和二次格，产生离散正交的正交多项式序列的准定矩功能的Askey计划，与雅可比，贝塞尔，Laguerre和Hermite多项式除外的权函数。
2022-02-14 math.CA
An Askey-Type Confluence Scheme for Hahn-Like Multiple Orthogonality
Complutense University of Madrid（马德里康普顿斯大学）
该研究将 Wolfs 的 Jacobi 型和 Laguerre 型多重正交系统嵌入统一的 Askey 型合流方案，通过 Bernstein 变换构造 Hahn 型祖先，并导出多种正交多项式族及其合流关系。
2026-09-09 math.CA
Askey-Wilson polynomials: an affine Hecke algebraic approach
利用双仿射Hecke代数的表示论研究了Askey-Wilson型多项式.特别地，我们证明了非对称和反对称Askey-Wilson多项式关于复测度的双正交关系.我们给出了非对称阿斯基-威尔逊多项式的二元性质，并展示了如何从Sahi的交织器创建非对称阿斯基-威尔逊多项式。与双正交关系相关的对角项（其取代了正交多项式的二次范数评估的概念）使用双仿射Hecke代数作用下的非对称Askey-Wilson变换的交织性质用复权函数的剩余表示。我们评估的常数项，这基本上是众所周知的Askey-Wilson积分，使用移位算子。我们还展示了这些结果如何减少到众所周知的对称阿斯基-威尔逊多项式的属性，因为最初是由阿斯基和威尔逊使用基本的超几何级数理论。
2000-01-06 math.CA math.QA math.RT
The $q$ and $q^{-1}$-symmetric orthogonal polynomials in the $q$-Askey scheme, their dual polynomials and functions, orthogonality, generating functions and relations and nonterminating $q$-Chaundy double product representations
本文利用 q-Chaundy 定理研究 q-Askey 框架中 q 与 q^{-1}-对称正交多项式及其对偶，推导生成函数、终止超几何表示、二次变换及新的求和与积分公式。
2025-05-08 math.CA
Askey--Wilson polynomials, quadratic harnesses and martingales
利用Askey-Wilson多项式的正交性测度构造了具有二次条件方差和线性回归的马氏过程。Askey-Wilson多项式是这些过程的正交鞅多项式。
2011-01-07 math.CA math.PR
Contiguous relations, continued fractions and orthogonality
我们研究一个特殊的线性组合平衡非常平衡的$\tphia$基本超几何级数，是已知的，以满足一个变换。我们称之为$Φ$，并表明它满足某些三项连续关系。从两组连续的关系$Φ$，我们得到56个成对的线性无关的解决方案，三项递归，推广的阿斯基-威尔逊多项式的递归。相关的连分数的评估使用Pincherle定理。从这个连分数，我们能够得到一个双正交有理函数的离散系统。这关系到威尔逊的结果合理的双正交性，沃森的$q$ -类似的拉马努金的条目40连分数和猜想的阿斯基关于后者。还得到了一些新的$q$ -级数恒等式.一个是$Φ$的一个重要的三项变换，它推广了所有已知的二项和三项$\ephis$变换。其他的是新的和意想不到的二次身份，这些非常好的准备$\ephis$的。
1995-11-02 math.CA
Connection formulas for Askey--Wilson polynomials and related expansions
Applied and Computational Mathematics Division, National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院应用与计算数学部）；Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology（代尔夫特理工大学应用数学研究所）
本文推导了Askey-Wilson多项式的连接公式，并研究了其与相关多项式展开式及极限关系。
2026-02-17 math.CA
Orthogonality relations for Al-Salam--Carlitz polynomials of type II
使用Askey的$q$ -β积分评价公式的特殊情况下，我们确定正交关系的Al-萨拉姆-Carlitz多项式的II型关于一个家庭的措施支持的离散子集$\mathbb R$。从相应的二阶$q$ -差分算子的谱分析中，我们得到了一无限集的函数，这些函数补充了Al-Salam-Carlitz II多项式到相关的$L^2$ -空间的正交基。
2013-09-29 math.CA
The Askey-Wilson function transform scheme
本文对Askey的q-超几何正交多项式方案作了一个补充，它涉及到q-特殊函数类，这些函数类不仅由多项式组成。这些特殊函数是Jacobi函数和Bessel函数的q-模拟，它们是Askey-Wilson函数、大q-Jacobi函数和小q-Jacobi函数以及相应的q-Bessel函数。给出了这些族的广义正交关系和二阶q-差分方程。这些家庭之间的极限转换进行了讨论。简要讨论了量子群的理论解释。
1999-12-23 math.CA math.QA
Orthogonal Basic Hypergeometric Laurent Polynomials
Askey-Wilson多项式是$x = \cos θ$中的正交多项式，它被给出为一个终止的$_4ϕ_3$基本超几何级数.非对称的Askey-Wilson多项式是$z=e^{iθ}$中的Laurent多项式，其被给出为两个终止的$_4ϕ_3$的和。它们满足双正交关系。本文给出了$z$中Laurent多项式的单个$_4ϕ_3$的新的正交关系，它隐含着非对称的Askey-Wilson双正交性。这些结果包括离散的正交关系。它们可以被认为是一个经典的分析研究结果的非对称Askey-Wilson多项式，以前得到的仿射Hecke代数技术。
2012-12-01 math-ph math.CA math.MP
Bispectral commuting difference operators for multivariable Askey-Wilson polynomials
我们构造了一个交换代数A_z，它是由d个代数独立的q-差分算子作用于变量z_1，z_2，.生成的，z_d，它被Gasper和Rahman [6]所考虑的多变量Askey-Wilson多项式P_n（z）对角化。通过迭代Sears变换公式，证明了多项式P_n（z）在z与n之间具有一定的对偶性。解析延拓允许我们得到另一个交换代数A_n，它由作用在离散变量n_1，n_2，.上的d个代数独立的差分算子生成，n_d，也被P_n（z）对角化。这导致了一个多变量的q-Askey计划的双谱正交多项式平行的对称函数的理论。
2009-08-14 math.CA
Nonsymmetric Askey-Wilson polynomials as vector-valued polynomials
非对称的阿斯基-威尔逊多项式通常写成劳伦特多项式。我们把它们等价地写成2-向量值对称洛朗多项式。然后，Dunkl-Cherednik算子，它们是本征函数，表示为一个2 × 2矩阵值算子。作为一个新的结果，通过这种方法，我们得到了正定的正交关系的内积，在一定的约束下的参数。用这种方法也可以实现到非对称小q-雅可比多项式的极限过渡。非对称雅可比多项式被认为是Askey-Wilson和小q-雅可比情形的极限。
2018-03-27 math.CA math.QA
A $q$-generalization of the para-Racah polynomials
通过对Askey-Wilson多项式的非常规截断得到了新的双谱正交多项式。在极限$q \to 1$，他们减少到para-Racah多项式是正交的二次双格。通过对Askey-Wilson多项式的三项递推关系式和q-差分方程的限制，得到了它们的三项递推关系式和q-差分方程。给出了超几何级数和正交关系的显式表示。作为特殊情况，获得了仿Krawtchouk多项式的$q$ -推广。与$q$ -拉卡和双哈恩多项式的连接。
2017-08-10 math.CA
Indeterminate moment problem associated with continuous dual q-Hahn polynomials
我们研究了Askey-Wilson多项式当其中一个参数趋于无穷大时的一种极限情形，即q > 1时的连续对偶q-Hahn多项式。用一般理论求出了相应的不定弯矩问题的解，并建立了一个正交关系。
2023-01-03 math.CA
On a generalization of the Rogers generating function
利用连续$q$ -超球多项式的连接关系和正交性，得到了它的广义Rogers母函数和相应的定积分.利用Ismail和Simeonov最近推广的Rogers母函数的Askey-Wilson多项式展开式，我们分别导出了连续$q$ -Jacobi和带两个和四个自由参数的Wilson多项式的相应的广义展开式.将Askey-Wilson展开式的系数与我们的连续$q$ -超球面/Rogers展开式的系数进行比较，得到了连接${}_2ϕ_1$和${}_8ϕ_7$的基本超几何级数的一个新的二次变换.
2018-05-24 math.CA
A Survey on q-Polynomials and their Orthogonality Properties
本文研究了位于q-Hahn表（大q-雅可比多项式（bqJ））和Nikiforov-Uvarov表（Askey-Wilson多项式（AW））顶部的经典q-正交多项式对几乎任何复参数值和所有非负整数次数所满足的正交性条件.我们状态的退化版本的Favard定理，这是一个关键的文件，使我们能够扩展的正交性有效的一些整数度N的Sobolev型正交属性。我们还提出了，在[16]中应用的类似过程之后，具有满足有限正交性质的那些族的分解和离散Sobolev型正交性质的表，即它包括有限数量的质量点的总和，例如q-Racah（qR），q-Hahn（qH），对偶q-Hahn（dqH）和q-Krawtchouk多项式（qK）等。-- [16] R. S. Costas-Santos和J.F.桑切斯-拉拉。离散经典正交多项式在正交性之外的推广。J. Comp. Appl. Math.，225（2）（2009），440-451
2010-02-24 math.CA
An extended scheme of classical special functions
本文提出一个统一的超几何型经典特殊函数扩展方案，扩展了 Askey 方案及其 q-类似，顶层包含由椭圆超几何级数构成的双正交函数，并将复超几何函数纳入其中。
2024-03-24 math.CA
A short survey of duality in special functions
本文以教程形式综述特殊函数（尤其是（$q$-)Askey框架中的正交多项式）的对偶性质，内容源自作者2017年R.P. Agarwal纪念讲座的第一部分。
2021-02-24 math.CA
Duality of q-polynomials, orthogonal on countable sets of points
我们回顾了q-正交多项式的性质，涉及它们的正交性、对偶性以及与由雅可比矩阵表示的对称（自伴）算子理论的联系。特别是，我们展示了如何自然地解释家庭的q-多项式，正交可数集的点的对偶性。为了获得多项式对偶集的正交关系，提出使用两个对称（自伴）算子，可表示（在某些不同的基）的雅可比矩阵。这种方法适用于几对对偶家庭的q-多项式，正交可数集，从q-Askey计划。对于每一个这样的对，相应的运营商，由雅可比矩阵表示，明确给出。这些运营商是为了找到显式集，多项式是正交的，和正交关系。
2005-06-26 math.CA
Bivariate Bannai-Ito polynomials
本文给出了Bannai-Ito多项式的一个二元推广。它们通过Gasper和Rahman引入的二元$q$ -Racah和Askey-Wilson正交多项式的$q\to-1$极限得到。得到了它们的正交关系。这些新的多项式也被证明是多光谱的。两个Dunkl移位算子被二元Bannai-Ito多项式对角化，并给出了3项和9项递推关系.
2018-09-25 math.CA
Generalizations of generating functions for basic hypergeometric orthogonal polynomials
利用带一个自由参数的联系关系，导出了基本超几何正交多项式的广义生成函数。特别是，我们推广生成函数的Askey-Wilson，连续$q$-ultraspherical/Rogers，小$q$-Laguerre/Wall，和$q$-Laguerre多项式。根据这些多项式满足什么样的正交性，我们得到相应的定积分，无穷级数，双边无穷级数，和$q$-积分。
2018-05-31 math.CA
Discrete Orthogonality Relations for the Multi-Indexed Orthogonal Polynomials in Discrete Quantum Mechanics with Pure Imaginary Shifts
该研究探讨带纯虚位移的离散量子力学里多指标正交多项式的离散正交关系，验证了三类情形(1)多项式满足该关系并推测其归一化常数。
2023-04-27 hep-th math-ph math.CA
Bilateral $q$-ultraspherical functions
Universität Wien（维也纳大学）
引入双边 $q$-超球函数，它是连续 $q$-超球多项式的双边级数推广，通过 ${}_2\psi_2$ 级数定义，推导了正交性、递推关系、Rodrigues公式和大阶渐近展开等主要性质。
2026-06-16 math.CA
Moments of Orthogonal Polynomials and Exponential Generating Functions
从经典正交多项式的矩序列出发，纯代数地导出了正交性。我们还考虑了（$q=1$）经典正交多项式的矩，并研究了指数母函数具有良好形式的情况。在相反的方向上，我们证明了六参数的广义Dumont-Foata多项式是重标度连续对偶Hahn多项式的矩。最后，我们证明了我们的方法之一可以应用到处理的时刻的Askey-Wilson多项式。
2022-01-09 math.CA
Dualities in the $q$-Askey scheme and degenerate DAHA
Askey-Wilson多项式是正交对称Laurent多项式$R_n[z]$的四参数族，其是二阶$q$ -差分算子$L$和具有特征值$z +z^{-1}=2x$的变量$n$中的二阶差分算子的特征函数。然后$L$和乘以$z+z^{-1}$生成Askey-Wilson（Zhedanov）代数。阿斯基-威尔逊多项式的一个很好的性质是变量$z$和$n$以类似的方式出现在显式表达式中，并且在某种程度上可以互换。这种性质称为对偶性。它返回在非对称的情况下，并在基本的代数结构：Askey-Wilson代数和双仿射Hecke代数（DAHA）。在本文中，我们跟踪Askey-Wilson多项式的退化，直到两个箭头向下，并在四种不同的情况下：对于正交多项式本身，对于退化的Askey-Wilson代数，对于非对称多项式和（退化）DAHA及其表示。
2018-09-25 math.CA math.QA nlin.SI
Dual -1 Hahn polynomials: "classical" polynomials beyond the Leonard duality
通过对偶q-Hahn多项式的一个适当的$q \to -1$极限，我们引入了-1对偶Hahn多项式.这些多项式在实轴上的离散点的有限集上是正交的，但是与经典的Askey方案的正交多项式相比，-1对偶Hahn多项式不表现出Leonard对偶性质。相反，这些多项式满足4阶差分特征值方程，因此具有双谱特性。相应的广义伦纳德对由两个矩阵$A,B$组成，每个矩阵的大小为$N+1 \times N+1$。在矩阵$A$为对角的本征基中，矩阵$B$为3对角;但是在矩阵$B$为对角的本征基中，矩阵$A$为5对角。
2011-07-31 math.CA
Elements of the q-Askey scheme in the algebra of symmetric functions
本研究在对称函数代数中构造多变量q-Racah对称函数，推导其可退化为big q-Jacobi等三类对称函数，证明四类函数均关于无穷点构形空间上的测度正交，且测度间的极限转移与函数退化一致，丰富了q-Askey概型的多变量对称函数理论。
2018-08-19 math.CA math.CO math.PR
Elliptic Racah polynomials
在解决有限的离散减少差分Heun方程，我们到达一个椭圆推广的拉卡多项式。给出了这些椭圆型Racah多项式的三项递推关系和正交关系。著名的$q$ -Racah多项式的Askey和威尔逊恢复作为一个三角极限。
2021-06-11 math-ph math.CA math.MP
The power collection method for connection relations: Meixner polynomials
我们介绍的权力收集方法，很容易推导出某些超几何正交多项式的连接关系的$(q-)$ Askey计划。我们总结了电力收集方法可以使用的全部范围。作为一个例子，我们使用的权力收集的方法来获得连接和连接型关系的Meixner和Krawtchouk多项式。这些关系，然后用来获得这些正交多项式的生成函数的推广。这些广义母函数的系数一般用多重超几何函数表示。从导出的广义母函数出发，利用正交性导出了相应的围道积分和无穷级数表达式。
2016-01-12 math.CA
Matrix-valued orthogonal polynomials related to the quantum analogue of $(SU(2) \times SU(2), \text{diag})$
引入并详细研究了与$(SU(2) \times SU(2), \text{diag})$量子模拟的量子对称对有关的矩阵值球函数。量子对称对是以量子化的泛包络代数和共理想子代数的形式给出的。矩阵值球函数产生矩阵值正交多项式，它们是Askey-Wilson多项式的一个子族的矩阵值类似物。对于这些矩阵值的正交多项式的一些属性推导出使用这种量子群解释：正交关系的舒尔正交关系，三项递归关系和结构的权重矩阵的切比雪夫多项式从张量积分解，矩阵值的Askey-Wilson型$q$ -差分算子的Casimir元素的行动。一个更分析的研究的重量给出了一个明确的LDU分解的连续$q$ -超球多项式。LDU分解使得可以根据连续的$q$ -超球多项式和$q$ -Racah多项式找到矩阵值正交多项式的矩阵项的显式表达式。
2021-02-18 math.CA math.QA
Spectral decomposition and matrix-valued orthogonal polynomials
研究了可实现为高阶递归算子的自伴算子的谱分解与矩阵值正交多项式的关系。给出了由标量值正交多项式构造此类算子的一般方法。给出了具有显式正交关系和三项递推关系的矩阵值正交多项式的两个例子，它们都可以看作是Askey-Wilson多项式子族的$2\times 2$ -矩阵值模拟.
2012-06-21 math.CA math.SP
Quasiperiodic Spectra and Orthogonality for Iterated Function System Measures
我们将经典的基础结构从傅里叶分析推广到仿射迭代函数系统（IFS）的吸引子。这是有趣的，因为这些吸引子具有分形特征，例如，用分形标度维数来度量。此外，频谱通常是准周期性的，但是非周期性的，即，光谱是晶格的"小扰动“。由于对IFS的早期研究，在某些类别的谱对偶对（也称为谱对或谱测度）上有已知的结果。已知某些对偶对与复Hadamard矩阵有关。然而，并非所有IFS $X$都承认谱对偶性。当$X$给出，我们确定的几何条件$X$的傅立叶谱的存在，作为第二部分的频谱对。我们展示了这些光谱对如何组成，我们的特点分解的原子。分解是指相关复Hadamard矩阵的张量积因子分解。
2008-02-13 math.CA math.GM
Structure Relations of Classical Orthogonal Polynomials in the Quadratic and $q$-Quadratic Variable
证明了一元正交多项式序列$\{P_n\}_{n=0}^{\infty}$满足的第一结构关系的存在性、二阶导数$\{\mathbb{D}_{x}^2P_n\}_{n= 2}^{\infty}$的正交性与广义Sturm-Liouville型方程之间的等价性.我们对广义Bochner定理的处理导致差分方程[Vinet L.，Zhedanov A.，J. Comput. 211（2008），45-56]，其证明了满足第一结构关系的唯一一元正交多项式是Wilson多项式、连续对偶Hahn多项式、Askey-Wilson多项式以及它们的特殊或极限情况，因为一个或多个参数倾向于$\infty$。这一工作推广了我们以前关于Ismail猜想的结果[arXiv：1711.03349]。对于满足第一种结构关系的多项式，我们还导出了第二种结构关系。
2022-04-04 math.CA
Analysis of orthogonality and of orbits in affine iterated function systems
我们引入了仿射迭代函数系统（AIFS）的对偶性，它是由传统调和分析中的群对偶性自然激发的。我们的仿射系统产生分形定义的压缩仿射映射的迭代。我们建立了一个对偶这样的系统，在两个方向上缩放：分形在小的收缩迭代，和分形在大的递归迭代的扩张矩阵。通过小分形，我们指的是支持哈钦森标准测度μ的紧凑吸引子X，并且我们问μ何时是谱测度，即，当希尔伯特空间L^2（mu）具有指数的规范正交基（ONB）时。我们进一步介绍了傅立叶对偶使用这样的仿射系统的匹配对。使用下一个特定的极端循环，和积极的权力的扩张矩阵，我们建立在大的分形是仿照缺傅里叶级数，并作为频谱的X。我们的两个主要结果提供了简单的几何条件，使我们能够决定何时分形在大的是一个频谱的X。我们的研究结果反过来说明了具体的Sierpinski像分形在2和3维。
2006-12-15 math.CA math.MG
Multivariable q-Racah polynomials
研究了Askey-Wilson多项式的Koornwinder-Macdonald多变量推广，其参数满足截断条件，使得正交性测度在有限网格上变得离散.对于该参数状态，多项式可以被视为（单变量）$q$ -Racah多项式的多变量对应物。我们提出的离散正交性措施，表达式的归一化常数转换成一个正交系统的多项式（在单位多项式的归一化常数），我们讨论的限制$q\to 1$导致多变量Racah型多项式。特别感兴趣的是$q$位于单位圆的情况下，在这种情况下，它被发现存在一个自然的参数域的离散正交性措施（这是复杂的一般）成为实值和积极的。研究了网格上函数的有限维离散积分变换的性质，其核由多变量$q$ -Racah多项式确定，参数在正区域内.
1996-07-01 math.CA math.QA q-alg
Exactly solvable discrete time Birth and Death processes
我们提出了15个离散时间生灭过程的明确例子，这些过程是完全可解的。它们与具有离散正交测度的Askey格式的超几何正交多项式有关。它们是Krawtchouk多项式、三种不同的q-Krawtchouk多项式、（对偶，q）-Hahn多项式、（q）-Racah多项式、Al-Salam-Carlitz II多项式、q-Meixner多项式、q-Charlier多项式、对偶大q-Jacobi多项式和对偶大q-Laguerre多项式。出生率和死亡率由控制多项式的差分方程确定。平稳分布是多项式的归一化正交性测度。转移概率由归一化多项式和相应的本征值巧妙地表示。本文是连续生灭过程已知解的离散形式。
2021-06-07 math-ph math.CA math.MP
A Lie theoretic interpretation of multivariate hypergeometric polynomials
格里菲斯在1971年使用了生成函数来定义多项式在d变量正交的多项分布。多项式具有离散变量和度指数之间的对偶性。2004年，Mizukawa和Tanaka将这些多项式与特征代数和Gelfand超几何级数联系起来。使用这种方法，他们澄清了对偶性，并获得了正交性的新证明。在本文中，我们解释这些多项式的李代数sl_{d+1}的上下文中。我们的方法产生又一个正交性的证明。它还表明，多项式满足d个独立的递归关系，每个涉及d^2+d+1项。这与二元性相结合，建立了它们的双谱性。我们用几个明确的例子来说明我们的结果。
2011-09-03 math.CA math.RT
An algebraic interpretation of the multivariate $q$-Krawtchouk polynomials
多元量子$q$ -Krawtchouk多项式表现为作用于多个$q$ -振子的状态向量的“$q$ -旋转”的矩阵元.重点放在两个变量的情况下。利用代数解释导出了多项式的主要性质：正交性、对偶性、结构关系、差分方程和递推关系。扩展到任意数量的变量，
2015-12-14 math-ph math.CA math.MP
The Rahman polynomials and the Lie algebra sl_3(C)
我们用李代数$sl_3(C)$来解释Rahman多项式。利用多项式的参数定义了$sl_3(C)$的两个Cartan子代数，记为$H$和$\tilde{H}$ .我们显示了$sl_3(C)$的反自同构$\dagger$，它固定了$H$的每个元素和$\tilde{H}$的每个元素。本文考虑由三元齐次多项式构成的有限维不可约$sl_3(C)$ -模$V$.我们证明了$V$上的一个非退化对称双线性形式$<,>$，使得对于所有的$β\in sl_3(C)$和$ξ,ζ\in V$，都有$<βξ,ζ> = < ξ,β^\dagger ζ>$.我们展示了$V$的两个碱基;一个将$H$对角化，另一个将$\tilde{H}$对角化。两个基相对于$<,>$正交。我们表明，当$<,>$被应用到一个向量在每个基础上，结果是一个平凡的因素倍的拉赫曼多项式在适当的参数评估。因此，对于基之间的两个转移矩阵，每个条目由拉赫曼多项式描述。从这些结果中，我们恢复了以前已知的正交关系的拉赫曼多项式。我们还得到了Rahman多项式所满足的两个七项递推关系，以及对偶多项式所满足的对应关系。这些递推关系表明，Rahman多项式是双谱的。在我们的理论中，$H$和$\tilde{H}$的作用是可互换的，对我们来说，这解释了拉赫曼多项式的对偶性和双谱性。我们认为$H$和$\tilde{H}$对$V$的作用是Leonard对的秩2推广…
2010-06-25 math.CA math.RT
