代数元复杂度与表示论
Algebraic metacomplexity and representation theory
AI总结：
本文证明元多项式的同型分量分解可在拟多项式电路规模膨胀内高效实现，从而解决 Grochow 等人提出的开放问题，并表明代数复杂度下界证明和代数自然证明可统一转化为同型形式。
摘要：
在代数元复杂度框架中，我们证明了将元多项式分解为其同型分量可以高效实现，即电路规模仅发生拟多项式级别的膨胀。我们利用这一结果解决了 Grochow、Kumar、Saks 和 Saraf（2017）提出的一个开放问题。我们的结果意味着许多现有的代数复杂度下界证明可以通过最高权元多项式高效转换为同型下界证明，而最高权元多项式是几何复杂度理论中研究的一个概念。在代数自然证明的语境下，这意味着在不失一般性的情况下，代数自然证明可以被假定为同型的。我们的证明建立在李代数的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理和 Gelfand-Tsetlin 理论之上，对此我们给出了必要的全面背景介绍。
英文摘要：
In the algebraic metacomplexity framework we prove that the decomposition of metapolynomials into their isotypic components can be implemented efficiently, namely with only a quasipolynomial blowup in the circuit size. We use this to resolve an open question posed by Grochow, Kumar, Saks & Saraf (2017). Our result means that many existing algebraic complexity lower bound proofs can be efficiently converted into isotypic lower bound proofs via highest weight metapolynomials, a notion studied in geometric complexity theory. In the context of algebraic natural proofs, it means that without loss of generality algebraic natural proofs can be assumed to be isotypic. Our proof is built on the Poincaré-Birkhoff-Witt theorem for Lie algebras and on Gelfand-Tsetlin theory, for which we give the necessary comprehensive background.
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