关于戴德金问题、Sperner定理的稀疏版本以及布尔格中给定大小的反链
On Dedekind's problem, a sparse version of Sperner's theorem, and antichains of a given size in the Boolean lattice
AI总结：
本文利用统计物理中的集团展开方法研究戴德金问题，给出了布尔格中反链总数及给定大小反链数的精细估计，并建立了Sperner定理的稀疏版本，确定了几乎所有大小为m的反链落入中间层的尖锐阈值和标度窗口。
摘要：
戴德金问题可追溯至1897年，它要求给出n元素布尔格B_n中所含反链的总数ψ(n)。我们利用一种最近发展的、基于统计物理中集团展开的方法来研究戴德金问题，并由此获得了关于B_n中反链数量及其典型结构的若干新结果。我们对ψ(n)以及对于任意固定的β>0、大小为β\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}的反链数量都得到了详细估计。我们还建立了Sperner定理的一个稀疏版本：我们确定了如下性质的尖锐阈值和标度窗口，即几乎所有大小为m的反链都包含在B_n的某一中间层中。
英文摘要：
Dedekind's problem, dating back to 1897, asks for the total number $ψ(n)$ of antichains contained in the Boolean lattice $B_n$ on $n$ elements. We study Dedekind's problem using a recently developed method based on the cluster expansion from statistical physics and as a result, obtain several new results on the number and typical structure of antichains in $B_n$. We obtain detailed estimates for both $ψ(n)$ and the number of antichains of size $β\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ for any fixed $β>0$. We also establish a sparse version of Sperner's theorem: we determine the sharp threshold and scaling window for the property that almost every antichain of size $m$ is contained in a middle layer of $B_n$.
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