关于图在边添加下的正负 $p$-能量
On the Positive and Negative $p$-Energies of Graphs under Edge Addition
AI总结：
本文研究了图在边添加下的正负 $p$-能量概念，改进了现有下界，并发现单调性在某些 $p$ 值下不成立。
摘要：
在本文中，我们引入了图的正负 $p$-能量的概念，并研究了在边添加下的行为。具体来说，我们将经典的正负平方能量概念推广到 $p$-能量设置中，分别表示为 $\mathcal{E}_p^{+}(G)$ 和 $\mathcal{E}_p^{-}(G)$。我们建立了这些量在边添加下的改进下界，这些结果在 $p=2$ 的情况下优于 Abiad 等人的现有结果。此外，我们解决了 $\mathcal{E}_p^{+}(G)$ 在边添加下的单调性问题，并构造了一族反例，显示对于 $1 \leq p < 3$，单调性不成立。最后，我们提出了几个进一步研究的开放问题。
英文摘要：
In this paper, we introduce the concepts of positive and negative $p$-energies of graphs and investigate their behavior under edge addition. Specifically, we generalize the classical notions of positive and negative square energies to the $p$-energy setting, denoted by $\mathcal{E}_p^{+}(G)$ and $\mathcal{E}_p^{-}(G)$, respectively. We establish improved lower bounds for these quantities under edge addition, which sharpen existing results by Abiad et al.\ in the case $p=2$. Furthermore, we address the monotonicity problem for $\mathcal{E}_p^{+}(G)$ under edge addition, and construct a family of counterexamples showing that monotonicity fails for $1 \leq p < 3$. Finally, we conclude with several open problems for further investigation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
