Local universality for real roots of random trigonometric polynomials
考虑一个随机三角多项式$X_n: \mathbb R \to \mathbb R$，其形式为$$ X_n(t) = \sum_{k=1}^n \left( ξ_k \sin (kt) + η_k \cos (kt)\right), $$，其中$(ξ_1,η_1),(ξ_2,η_2),\ldots$是具有零均值和单位协方差矩阵的独立同分布二元实随机向量。设$(s_n)_{n\in\mathbb N}$为任意实数序列。我们证明了作为$n\to\infty$，$X_n$在区间$[s_n+a/n, s_n+ b/n]$中的实零点个数在分布上收敛于具有相关函数$(\sin t)/t$的平稳零均值高斯过程在区间$[a,b]$中的零点个数.我们还建立了类似的本地普遍性结果为中心的随机向量$(ξ_k,η_k)$具有任意协方差矩阵或属于域的吸引力的二维$α$稳定的法律。
2016-05-14 math.PR
Sharp Square Root Bounds for Edge Eigenvector Universality in Sparse Random Regular Graphs
本文研究稀疏随机正则图特征向量投影的普适性，证明了误差为O(√d·N^{-1/6+ε})的Berry-Esseen界，并通过匹配下界证明√d缩放最优，显著改进了先前d^3缩放的结果。
2025-07-18 cs.DM math-ph math.CO
Non universality for the variance of the number of real roots of random trigonometric polynomials
在这篇文章中，我们考虑了以下随机三角多项式族$p_n(t,Y)=\sum_{k=1}^n Y_{k,1} \cos(kt)+Y_{k,2}\sin(kt)$，对于给定的i.i.d.随机变量$\{Y_{k,1},Y_{k,2}\}_{k\ge 1}$，其被集中和标准化。我们设置$\mathcal{N}([0,π],Y)$为$[0,π]$上的实根数，设置$\mathcal{N}([0,π],G)$为系数遵循标准高斯分布时的相应数量。我们证明下的Doeblin的条件下的系数，$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\text{Var}\left(\mathcal{N}_n([0,π],Y)\right)}{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\text{Var}\left(\mathcal{N}_n([0,π],G)\right)}{n} +\frac{1}{30}\left(\mathbb{E}(Y_{1,1}^4)-3\right). $$的分布。后者建立的行为的方差是不普遍的，并取决于通过其峰度的基本系数的分布。实际上，本文证明了一个更一般的结果，它不要求系数是同分布的。该证明将最近关于Edgeworth在arXiv：1606.01629中建立的分布规范的扩展的结果与著名的Kac-Rice公式混合在一起。
2017-11-09 math.PR
Correlation functions for random complex zeroes: strong clustering and local universality
证明了高斯整函数零点的k点关联函数的强聚类性。在证明过程中，我们还得到了任意非退化高斯解析函数零点的k点函数的泛局部界。在本文的第二部分中，我们证明了强聚类产生的高斯整函数的零点的一些线性统计量的波动的渐近正态性，特别是，在可测量的大区域的零点的数量。这补充了我们最近在论文“Fluctuations in random complex zeroes”（arXiv：1003.4251v1）中的结果。
2010-05-22 math-ph math.CV math.MP
Real roots of random orthogonal polynomials with exponential weights
我们考虑随机正交多项式$$ P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}ξ_{i}p_{i}(x), $$，其中$ξ_{0}$，. . .，$ξ_{n}$是具有零均值、单位方差和一致有界$(2+\ep_0)$ -矩的独立随机变量，$\{p_n\}_{n=0}^{\infty}$是关于实数线上一般指数权$W$的正交多项式组.这类正交多项式包括流行的埃尔米特和弗洛伊德多项式。我们建立了普遍性的预期数量的实根的$P_n$，全球和当地的领先渐近。此外，我们还发现了$P_n.$的所有根的测度的几乎必然极限。这是通过在正交多项式的经典三项递归关系的背景下引入逆Littlewood-Offord理论的新思想来建立反集中性质，并通过将普适性方法应用于$W P_n.$形式的加权随机正交多项式来实现的
2022-12-30 math.PR
Universality for low degree factors of random polynomials over finite fields
我们证明了$\mathbb{F}_q$上具有独立但非均匀系数的随机多项式$f$的低次不可约因子的计数与均匀随机多项式的低次不可约因子的计数相似，表现出有限域上随机多项式的一种普适性.我们最强的结果需要各种假设的参数，但我们能够得到的结果只需要$q=p$一个素数与$p\leq \exp({n^{1/13}})$其中$n$是多项式的程度。我们的证明使用傅里叶分析，并依赖于最近由Breuillard和Varjú应用的工具来研究$ax+b$过程，该过程显示$f(α)$在单个点处的等分布。我们扩展到处理重根和哈斯衍生物的$f$，这使我们能够研究的不可约因子的多重性。
2022-02-23 math.CO math.NT math.PR
Poisson-Dirichlet scaling limits of Kemp's supertrees
本文确定了Kemp的$d$维二叉树及其他超树模型的缩放与局部极限，该极限通过基于两参数Poisson-Dirichlet过程缩放并粘合无穷多个独立稳定树于根处来构造，并探讨了其普适性与相图。
2024-06-05 math.CO math.PR
The Resultant Distribution Method: Universality for $p$-adic Random Matrices and Polynomials
基于结式分布方法，证明了随机p进多项式零点及随机p进矩阵特征多项式的普适性，扩展了Haar模型公式，揭示了相关模型的鲁棒性。
2026-08-26 math.NT math.PR
On the roots of the node reliability polynomial
给定一个图$G$，它的边是完全可靠的，并且它的每个节点都以概率$p\in[0,1],$独立操作，$G$的节点可靠性是至少一个节点是可操作的并且操作节点都可以在它们诱导的子图中进行通信的概率;它是与充分研究的\textit{all-terminal reliability}类似的节点鲁棒性度量，其中节点是完全可靠的，但是边随机失效。与已知的全终端可靠性多项式的根形成鲜明对比的是，我们表明，任何连通图的节点可靠性多项式至少有三个节点上有一个非实多项式的根，所有节点可靠性多项式的实根的集合是无界的，所有节点可靠性多项式的复根的集合是密集在整个复平面。
2016-07-28 math.CA math.CO math.PR
The Complex Roots of Random Sums
本文推广了以前关于随机多项式根在复平面上的分布的工作。本文将随机多项式推广到给定基函数的随机有限和。基函数被假设为在实直线上为实值的整函数。假定系数是独立同分布的正态$(0,1)$随机变量。根据基函数集给出了密度函数的显式表达式。我们还考虑了一些实际的例子，包括傅里叶级数。在某些情况下，我们推导出一个明确的公式的极限密度的数目的总和趋于无穷大。
2016-08-03 math.PR
Universality of cutoff for the Exclusion Process
本文证明在一般跳跃率条件下，排他过程在固定粒子密度下于时间 $t_{mix}\sim \frac{1}{2}{t}_{rel} \log N$ 出现截断现象，覆盖大环面及顶点传递图，结合多种方法给出普适性证明。
2026-10-05 math.PR
Characteristic polynomials of products of Wigner matrices: finite-N results and Lyapunov universality
我们计算大小为$N\times N$的$M$实数或复数Wigner矩阵的Hermitized乘积的平均特征多项式和$M$这样的Wigner矩阵乘以共轭矩阵的特征多项式的乘积的特征多项式的平均值。令人惊讶的是，结果与$M$实或复Ginibre矩阵在有限- $N$上的乘积一致，它们具有i.i.d.高斯项。对于后者，平均特征多项式产生乘积矩阵的奇异值的正交多项式，而两个特征多项式的乘积涉及复特征值的核。这推广了Forrester和Gamburd关于单个随机矩阵的一个特征多项式的结果，并且只依赖于前两个矩。在固定$N$的极限$M\to\infty$中，我们确定单个特征多项式的零点的位置，通过取$M$ th根的对数重新标度为李雅普诺夫指数。对于大- $j$，$j$第0个零点的位置与高斯随机矩阵乘积的$j$第李雅普诺夫指数的位置渐近一致，暗示了后者的普适性.
2020-06-26 math-ph math.MP math.PR
Random entire functions from random polynomials with real zeros
我们指出了一个简单的标准收敛的多项式到一个具体的整函数的Laguerre-Pólya（$\mathcal{LP}$）类（的所有功能出现的一致限制的多项式只有实根）。然后，我们使用这表明，任何随机$\mathcal{LP}$功能可以获得作为一个无限酉不变的随机埃尔米特矩阵的主子矩阵的重标特征多项式的一致极限。相反，任意无限随机酉不变埃尔米特矩阵的主子阵的重标特征多项式一致收敛于随机$\mathcal{LP}$函数.这个结果也有一个自然扩张到$β$ -系综。区别的情况下，包括随机整函数相关的$β$ -正弦，更一般的$β$ -华-Pickrell，$β$ -贝塞尔和$β$ -艾里点过程的研究文献。
2022-09-19 math-ph math.MP math.PR
A novel computational framework for the expected number of real roots of stochastic functions on a given interval
Southeast University（东南大学）
本文提出一种新方法，通过累积期望函数计算随机函数实根的期望数量，避免了传统Kac-Rice公式的联合密度要求，并在不同分布下获得显式公式及新分析结果。
2026-03-02 math.PR
On Universality of Classical Probability with Contextually Labeled Random Variables: Response to A. Khrennikov
安德烈·赫连尼科夫在他的建设性的和消息灵通的评论中承认了经典概率论在统计分析方面的特权地位。他还看到了缺省语境理论的优势，特别是它“通过强调语境的作用来揭开量子力学的神秘面纱”，并且它可以检测和测量不一致连接系统中的语境。他认为，然而，经典概率论可能有困难，在描述经验现象，如果他们完全描述的可观察到的事件。我们不同意：记录随机变量的上下文与变量的值一样可观察。Khrennikov还认为，缺省语境理论存在耦合的非唯一性问题。我们不同意这是一个问题：耦合是对事实上不是联合分布的随机变量施加反事实联合分布的所有可能方式。通过Khrennikov提出的量子形式主义建模实验的独特性是以额外的实质性假设为代价实现的。这与我们认为量子理论是经典概率的特殊用途生成器的观点是一致的。Khrennikov提出了“心理信号”的问题，他的意思是行为系统中不一致的连通性。我们的立场是，它是行为系统的固有随机性。
2018-12-13 math.PR quant-ph
A Semicircle Law for Derivatives of Random Polynomials
设$x_1, \dots, x_n$是$n$独立同分布的随机变量，其均值为零，方差为单位，其余阶矩为有限。研究了根在$x_1, \dots, x_n$的随机多项式$p_n$。我们证明了对于固定为$n \rightarrow \infty$的$\ell \in \mathbb{N}$，$p_n^{}$的$(n-\ell)-$阶导数的行为类似于Hermite多项式：对于紧区间上的$x$，$${n^{\ell/2}} \frac{\ell!}{n!} \cdot p_n^{(n-\ell)}\left( \frac{x}{\sqrt{n}}\right) \rightarrow He_{\ell}(x + γ_n),$$其中$He_{\ell}$是$\ell-$阶概率者的Hermite多项式，$γ_n$是收敛到标准$\mathcal{N}(0,1)$高斯的随机变量，作为$n \rightarrow \infty$ .因此，当对一个随机多项式进行多次微分时，存在一个普遍现象：剩余的根遵循维格纳周期分布。
2020-05-20 math.CA math.PR
