关于度量空间中（带折扣的）全局程函方程
On (discounted) global Eikonal equations in metric spaces
AI总结：
本文研究度量空间中基于全局斜率算子的程函方程，在温和假设下证明了解的存在唯一性，并利用Perron方法分析最大解及其对数据和折扣因子的稳定性。
摘要：
度量空间中的程函方程与局部斜率算子（或 De Giorgi 斜率）有着紧密联系。本文探索并深入研究了一个基于全局斜率算子的类似模型，其形式为 $λu + G[u] = \ell$，其中 $λ\geq 0$。与经典理论形成鲜明对比的是，全局斜率算子既不依赖于函数的局部性质，也不依赖于空间的结构，因此为了分析上述方程，需要发展新的见解。在对度量空间 $X$ 和给定数据 $\ell$ 的温和假设下，我们主要讨论：$(a)$（逐点）解的存在性与唯一性；$(b)$ 粘性解的视角以及利用 Perron 方法来考虑最大解；$(c)$ 最大解关于数据 $\ell$ 和折扣因子 $λ$ 的稳定性。我们的技术提供了一种逼近度量空间中程函方程解的方法，以及一个基于给定函数全局斜率的新积分公式。
英文摘要：
Eikonal equations in metric spaces have strong connections with the local slope operator (or the De Giorgi slope). In this manuscript, we explore and delve into an analogous model based on the global slope operator, expressed as $λu + G[u] = \ell$, where $λ\geq 0$. In strong contrast with the classical theory, the global slope operator relies neither on the local properties of the functions nor on the structure of the space, and therefore new insights are developed in order to analyze the above equation. Under mild assumptions on the metric space $X$ and the given data $\ell$, we primarily discuss: $(a)$ the existence and uniqueness of (pointwise) solutions; $(b)$ a viscosity perspective and the employment of Perron's method to consider the maximal solution; $(c)$ stability of the maximal solution with respect to both, the data $\ell$ and the discount factor $λ$. Our techniques provide a method to approximate solutions of Eikonal equations in metric spaces and a new integration formula based on the global slope of the given function.
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