紧量子群的彼得-沃伊尔截断收敛性
Convergence of Peter--Weyl Truncations of Compact Quantum Groups
AI总结：
本文研究紧量子群作为紧量子度量空间的收敛性，通过彼得-沃伊尔分解的投影压缩C*代数，并在双不变Lip范数下证明此类网在Kerr完全格罗莫夫-豪斯多夫距离下的收敛性。
摘要：
我们考虑一个余可 amenable 的紧量子群 G 作为紧量子度量空间，当其函数代数 C(G) 配备 Lip-范数时。通过投影 P 投影到彼得-沃伊尔分解的直和分量，C(G) 可以压缩为一个算子系统 P C(G) P，并在该算子系统上诱导出左和右共作用。假设 C(G) 上的 Lip-范数在 Li 的意义上是双不变的，则在算子系统 P C(G) P 上诱导出双不变的 Lip-范数，使其成为紧量子度量空间。给定一个适当的投影网，该网强收敛于 Hilbert 空间 L^2(G) 上的恒等映射，我们获得一个紧量子度量空间的网。我们证明此类网在 Kerr 完全格罗莫夫-豪斯多夫距离下收敛。一个重要工具是选择一个适当的态，其诱导的切片映射给出压缩映射 a ↦ PaP 在 Lip-范数下的近似反演。
英文摘要：
We consider a coamenable compact quantum group $\mathbb{G}$ as a compact quantum metric space if its function algebra $\mathrm{C}(\mathbb{G})$ is equipped with a Lip-norm. By using a projection $P$ onto direct summands of the Peter--Weyl decomposition, the $\mathrm{C}^*$-algebra $\mathrm{C}(\mathbb{G})$ can be compressed to an operator system $P\mathrm{C}(\mathbb{G})P$, and there are induced left and right coactions on this operator system. Assuming that the Lip-norm on $\mathrm{C}(\mathbb{G})$ is bi-invariant in the sense of Li, there is an induced bi-invariant Lip-norm on the operator system $P\mathrm{C}(\mathbb{G})P$ turning it into a compact quantum metric space. Given an appropriate net of such projections which converges strongly to the identity map on the Hilbert space $\mathrm{L}^2(\mathbb{G})$, we obtain a net of compact quantum metric spaces. We prove convergence of such nets in terms of Kerr's complete Gromov--Hausdorff distance. An important tool is the choice of an appropriate state whose induced slice map gives an approximate inverse of the compression map $\mathrm{C}(\mathbb{G}) \ni a \mapsto PaP$ in Lip-norm.
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