关于不相交Golomb标尺的一些构造性结果
Some constructive results on Disjoint Golomb Rulers
AI总结：
本文研究了不相交Golomb标尺（DGR）的构造与结构，提出了推广1975年相关猜想的主猜想，并证明了改进或推广Kløve基本不等式的构造性结果。
摘要：
一个由非负整数构成的集合 $\{a_i\\:|\\: 1\leq i \leq k\}$ 如果满足对于任意 $i \neq j$，差值 $a_i-a_j$ 都互不相同，则被称为Golomb标尺。所有有限的Sidon集都是Golomb标尺，反之亦然。由 $I$ 个互不相交的Golomb标尺（DGR）组成的集合，若每个标尺都是 $\{1,2,\cdots, n\}$ 的 $J$-子集，则被称为 $(I,J,n)$-DGR。设 $H(I, J)$ 为使得存在 $(I,J,n)$-DGR 的最小正整数 $n$。在本文中，我们提出了一系列关于DGR构造与结构的猜想。主猜想指出，如果 $A$ 是任意一个满足 $|A| = H(I, J)$ 的正整数集合，那么必定存在 $I$ 个互不相交的Golomb标尺，且每个标尺都是 $A$ 的 $J$-子集。该猜想推广了 Komlós、Sulyok 和 Szemerédi 在1975年针对 $I = 1$ 这一特例所提出的猜想。此主猜想蕴含了若干关于不相交Golomb标尺的有趣猜想。我们还证明了关于DGR的一些构造性结果，这些结果改进或推广了 Kløve 所证明的关于DGR的一些基本不等式。
英文摘要：
A set $\{a_i\:|\: 1\leq i \leq k\}$ of non-negative integers is a Golomb ruler if differences $a_i-a_j$, for any $i \neq j$, are all distinct.All finite Sidon sets are Golomb rulers, and vice versa. A set of $I$ disjoint Golomb rulers (DGR) each being a $J$-subset of $\{1,2,\cdots, n\}$ is called an $(I,J,n)$-DGR. Let $H(I, J)$ be the least positive integer $n$ such that there is an $(I,J,n)$-DGR. In this paper, we propose a series of conjectures on the constructions and structures of DGR. The main conjecture states that if $A$ is any set of positive integers such that $|A| = H(I, J)$, then there are $I$ disjoint Golomb rulers, each being a $J$-subset of $A$, which generalizes the conjecture proposed by Koml{ó}s, Sulyok and Szemer{é}di in 1975 on the special case $I = 1$. This main conjecture implies some interesting conjectures on disjoint Golomb rulers. We also prove some constructive results on DGR, which improve or generalize some basic inequalities on DGR proved by Kløve.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
