Wulff shape symmetry of solutions to overdetermined problems for Finsler Monge-Ampère equations
在$\mathbb R^n$中，我们处理以一般各向异性范数$H$为模型的Monge-Ampère型方程。分析了这类方程凸解的超定问题。相关的解决方案都受到齐次狄利克雷条件和第二边界条件，设计在$H$上，梯度图像的域。建立了与解的$H$相关的Wulff形状对称性。
2022-09-07 math.AP
Overdetermined problems with sign-changing eigenfunctions in unbounded periodic domains
本文证明欧几里得空间中存在非平凡无界周期径向域，使 Laplace Dirichlet 特征函数可变号且边界 Neumann 值恒定，并推广到双边界分量的相反边界值情形。
2023-07-15 math.AP
Overdetermined elliptic problems in onduloid-type domains with general nonlinearities
本文证明了从圆柱$B\times\mathbb{R}$（$B$是$\mathbb{R}^n$的单位球）分支出来的非平凡无界区域$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1},n\geq1$的存在性，使得超定椭圆问题\begin{equation*} \begin{cases} Δu +f(u)=0 &\mbox{in $Ω$, } u=0 &\mbox{on $\partialΩ$, } \partial_ν u=\mbox{constant} &\mbox{on $\partialΩ$, } \end{cases} \end{equation*}有正有界解.我们将证明这样的结果为一个非常一般的功能类$f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$。粗略地说，我们只要求$B$中的狄利克雷问题存在非退化解。证明使用局部分歧参数。
2021-07-23 math.AP
Some overdetermined problems related to the anisotropic capacity
我们的特点的Wulff形状的各向异性规范的Finsler $p$ -容量的凸集$Ω\subset \mathbb{R}^N$，与$1<p<N$的超定问题的解决方案。特别地，我们证明了如果与$Ω$相关联的Finsler $p$ -电容势$u$有两个相似的水平集，则$Ω$是Wulff形的.此外，我们还证明了$u$的指数为$q=-(p-1)/(N-p)$当且仅当$Ω$为Wulff形.
2018-03-13 math.AP
Unbounded periodic solutions to Serrin's overdetermined boundary value problem
研究了$\mathbb{R}^N$中非平凡无界区域$Ω$的存在性，使得超定问题$$ -Δu = 1 \quad \text{in $Ω$}, \qquad u=0, \quad \partial_νu=\textrm{const} \qquad \text{on $\partial Ω$} $$有解$u$ .通过这一点，我们补充Serrin的分类结果从1971年产生的每一个有界域承认上述问题的解决方案是一个球在$\mathbb{R}^N$。我们构造的域在某些变量上是周期性的，在其他变量上是径向的，并且它们从直的（广义的）圆柱体或平板分叉。我们还表明，这些领域是唯一的自我Cheeger相对于一个周期细胞的问题。
2016-09-09 math.AP
Sign-changing solutions to Schiffer's overdetermined problem on wavy cylinder
本文构造了波浪圆柱上的光滑无界域，证明Schiffer超定问题存在恰有k+1个节点域的有界变号解，从而给出Schiffer猜想在无界域上的反例，并表明非球形无界区域可不具Pompeiu性质，且对Williams猜想有启示，潜在应用于遥感或CT。
2023-10-13 math.AP
On a Serrin-type overdetermined problem
该研究针对带Dirichlet与广义Neumann条件的超定椭圆方程组证明了Serrin型结果，并以此刻画了体积约束下部分区域泛函的临界形状。
2024-02-15 math.AP
Symmetry in Serrin-type overdetermined problems
本文将Serrin对称性结果推广到非光滑有界区域中可能退化椭圆的超定问题，并对环形区域建立类似对称性，证明基于连续Steiner对称化与逼近论证。
2025-06-03 math.AP
An overdetermined problem with non constant boundary condition
本文研究了一个超定挠问题，其梯度具有非常数的正齐次边界约束。我们把这个问题解释为一个形状最优化问题的欧拉方程，证明了解的存在性和正则性。此外，几个几何性质的解决方案。
2013-02-19 math.AP
Why are the solutions to overdetermined problems usually "as symmetric as possible"?
本文利用隐函数定理研究了形泛函非退化临界点的对称性。我们证明了，如果一个形状功能是不变的一些连续的旋转群，那么它的非退化临界点（有界开集足够光滑的边界）共享相同的对称性。我们还考虑的情况下，形状功能表现出平移不变性，除了旋转不变性。最后，我们研究了这一结果在Serrin型单/两相超定问题理论中的应用。在此基础上，我们给出了一个简单的证明，证明了球是唯一的非退化的临界点的拉格朗日相关的最大化问题的扭转刚度下的体积约束。我们注意到，证明不依赖于移动平面或重排技术的方法。
2022-12-02 math.AP
Non-radial minimizers for the first eigenvalue of the Laplacian in cones and a related overdetermined problem
Università San Raffaele Roma（罗马圣拉法埃勒大学）
本文研究锥体内拉普拉斯第一特征值的极小化问题，证明球扇区为临界形状，并给出稳定性条件，进而证明极小元存在且满足超定问题。
2026-09-14 math.AP
An overdetermined problem for the anisotropic capacity
考虑了$\mathbb{R}^N$中凸区域外Finsler Laplacian的超定问题，建立了各向异性电容势的对称性结果.我们的结果推广了W. Reichel [Arch. Rational Mech. Anal. 137（1997）]，其中考虑通常的牛顿容量，从而引起标准拉普拉斯方程的超定问题。在这里，我们用任意范数$H$代替通常的梯度欧氏范数。由此产生的对称性的解决方案是所谓的武尔夫形状（一个球的对偶范数$H_0$）。
2016-02-28 math.AP
An overdetermined problem associated to the Finsler Laplacian
我们证明了各向异性拉普拉斯算子的刚性结果。更确切地说，该问题的域是由一个未知的表面支持的狄利克雷条件与纽曼型条件，这是不对称不变的。使用比较参数，我们表明，域实际上是一个武尔夫形状。我们还考虑了更一般的情况下，当未知的表面需要有一个给定的锥面上的边界：在这种情况下，域的问题是由未知的表面和给定的锥面，它支持齐次诺依曼条件的一部分。我们证明了未知曲面位于Wulff形状的边界上。
2020-10-06 math.AP
An exterior overdetermined problem for Finsler $N$-laplacian in convex cones
考虑了各向异性$N$方程在凸锥$Σ$中的部分超定问题，其中$Ω$在$\mathbb{R}^N$，$N\geq 2$中具有有界区域的外部.在无穷远的对数条件下，证明了解的存在性意味着$Σ\capΩ$必须是Wulff形状和$Σ$的交集.我们的方法是基于Pohozaev型恒等式和凸锥内各向异性等周不等式极小元的特征。
2021-11-18 math.AP
Shape derivative approach to fractional overdetermined problems
本文用形状导数结合连续Steiner对称化，证明分数阶超定问题在凸C^{1,1}区域中仅球体有非平凡解，推广了Serrin经典结果。
2025-06-23 math.AP
Sign-changing solution for an overdetermined elliptic problem on unbounded domain
本文证明了无界域上超定椭圆问题变号解的存在性，通过建立高维核空间的Crandall-Rabinowitz型分岔定理克服了二维核空间困难，为Berenstein猜想提供了反例。
2024-11-12 math.AP
The classical overdetermined Serrin problem
在这次调查中，我们认为经典的超定问题，研究Serrin在1971年。原来的证明依赖于亚历山德罗夫的移动平面方法，最大值原理，和改进的霍普夫的边界点引理。从那时起，针对同一问题的其他方法也被设计出来。其中，我们认为一个由于温伯格罢工的基本论点使用，并成为非常受欢迎。然后讨论了不依赖于最大值原理的含调和函数的对偶方法、形导数方法和纯积分方法。对于每一个，我们考虑利弊以及一些概括。
2017-11-30 math.AP
Stability analysis of an overdetermined fourth order boundary value problem via an integral identity
考虑一类超定四阶边值问题，其中解的拉普拉斯算子的边值除了齐次Dirichlet边界条件外，还被给定.众所周知，在给定的边界值是一个常数的情况下，这个超定问题有一个解决方案，当且仅当所考虑的区域是一个球。本文研究了当给定的边值从一个常数作微小扰动时，超定问题的解存在的区域的形状。我们得到了四阶狄利克雷问题的一个积分恒等式和一个非线性加权迹不等式，并将它们结合起来，得到了一个定量的稳定性估计，该估计度量了一个区域在边值扰动下对球的偏离.
2021-07-14 math.AP
Overdetermined problems for fully nonlinear equations with constant Dirichlet boundary conditions in space forms
本文研究空间形式中两类完全非线性方程带常数Dirichlet边界条件的过定问题，证明星形域上Hessian商问题解的径向对称性，并利用Rellich-Pohožaev型恒等式在无星形假设下证明k-Hessian问题的径向对称性。
2023-10-13 math.AP math.DG
Spherical rigidity for an exterior overdetermined problem with Neumann data prescribed by mean curvature
Institut für Analysis und Numerik, Universität Münster（明斯特大学分析与数值研究所）
本文研究了外域中带有由平均曲率给定的Neumann数据的过定椭圆自由边界问题，证明了当Γ≥N-2时，星形域中的球形解具有刚性，且在Γ=N-2时，星形性假设可被去除，刚性在所有有界域中成立。
2026-04-08 math.AP
Overdetermined problems for sum Hessian equations in the space forms
School of Mathematics and Statistics, Xinyang Normal University（信阳师范大学数学与统计学院）
本文研究空间形式中规范化Hessian和方程及其商方程的过定问题，证明在星形或Dirichlet值上界条件下区域为测地球，并推广至无星形假设情形，方法为辅助函数与Rellich–Pohožaev恒等式。
2026-10-06 math.AP math.DG
Nontrivial domains for the Bernoulli's overdetermined problem with small constant vorticity
Jiangsu University（江苏大学）
本文应用隐函数定理求解小常数涡度的伯努利超定问题，还通过分岔分析构造出满足该问题解的周期性径向无界区域。
2026-10-14 math.AP
Analysis of two-phase shape optimization problems by means of shape derivatives
这是我的博士学位东北大学论文（2018年7月）。介绍了形状导数理论，并着重讨论了它在两阶段最优化问题中的应用。特别是，我们对待两个阶段的扭转问题和两个阶段类似的Serrin的超定问题。
2019-04-24 math.AP
Steklov-type eigenvalues associated with best Sobolev trace constants: domain perturbation and overdetermined systems
我们考虑经典的Steklov本征值问题的一个变种，它出现在索伯列夫空间中的函数的最佳迹常数的研究。我们证明了初等对称函数的特征值依赖于实解析的基础域的变化，我们计算相应的Hadamard型公式的形状衍生物。我们还考虑等容和等周域扰动，我们适当的超定组方面的特征相应的临界域。最后，我们证明了球是特征值的初等对称函数受体积或周长约束的临界域。
2011-01-31 math.AP math.SP
Sharp existence conditions and geometric inheritance for overdetermined free boundary problems of Laplacian and bi-Laplacian type
University Chouaïb Doukkali（舒艾卜·杜卡利大学）
本文利用经典积分不等式和正则性结果，给出了Laplacian和双Laplacian超定问题中自由边界存在的充要条件或充分条件，并证明了水平集继承C-GNP性质的几何结果。
2026-06-02 math.AP
Local analysis of a two phase free boundary problem concerning mean curvature
考虑一类具有逐段常系数的散度型两相椭圆算子的超定问题。我们寻找域，使得Dirichlet边值问题的解$u$也满足附加性质，即其法向导数$\partial_n u$是边界上每一点处的曲率半径的倍数。当系数满足一些“非临界”条件时，我们构造非平凡的解决方案，这个超定问题采用扰动参数依赖于形状导数和隐函数定理。此外，在临界的情况下，我们采用的Crandall-Rabinowitz定理的使用，以显示存在的一个分支的对称性破缺解决方案从平凡的分叉。最后，对单相情形和一个类似的Serrin型超定问题给出了一些注记。
2020-05-03 math.AP
Energy stability for a class of semilinear elliptic problems
针对无界 Lipschitz 区域内有界区域的保体积形变，本文用变分方法分析半线性椭圆方程解的能量稳定性，并在锥、圆柱等情形给出稳定与不稳定判据。
2023-07-14 math.AP
Serrin-type overdetermined problem for the $p$-Laplacian with Robin boundary conditions
Scuola Superiore Meridionale（南方高等学院）；Università degli Studi di Verona（维罗纳大学）
本文研究带Robin边界条件的p-Laplacian的Serrin型超定问题，通过新积分恒等式证明解的对称性，并得到类似Serrin和Alexandrov定理的刚性结果。
2026-09-25 math.AP math.DG
What is the optimal shape of a pipe?
考虑三维管道中的不可压缩流体，遵循经典边界条件的Navier-Stokes方程组。我们感兴趣的问题是：是否有任何最佳形状的标准“能量耗散的流体”？此外，圆柱形是最佳形状吗？我们证明了在合理的容许域类中存在最优形状，但圆柱不是最优的。为此，我们明确了一阶最优性条件，由于伴随状态，我们证明了这是不可能的，伴随状态是这个超定系统的解决方案时，域是圆柱。最后，我们给出了该问题的一些数值模拟。
2008-10-23 math.AP
Radial symmetry for p-harmonic functions in exterior and punctured domains
在Serrin超定条件$$ | \nabla u| = c \mbox{ on } Γ. $$下，证明了满足$$ Δ_p u = 0 \, \mbox{ in } \mathbb{R}^N \setminus \overlineΩ , \; u=1 \, \mbox{ on } Γ, \; \lim_{|x|\rightarrow \infty} u(x)=0 , \; \; \; \; \; \; \; \; 1<p<N, $$的p-容性势的对称性。这里$Ω$是任何没有先验假设的有界区域，$Γ$表示其边界。我们的结果改进了Garofalo和Sartori的工作，其中当$Ω$是星形时得到了相同的结论。我们的证明使用了一个适当的$P$ -函数的最大值原理，一些积分恒等式，等周不等式，和肥皂泡型定理。然后，我们处理的情况下，$1<p=N$，改善以前的结果在文献中。最后，利用类似的工具，我们给出了有界星形区域$Ω$中内部超定问题$$ - Δ_p u = K \, δ_0 \, \mbox{ in } Ω, \, u=c \, \mbox{ on } Γ, \; \; \; \; \; \; \; \; 1<p<N, $$ $$ | \nabla u| = 1 \mbox{ on } Γ, $$对称性的一个新的证明。
2018-04-09 math.AP
Linear stability estimates for Serrin's problem via a modified implicit function theorem
我们研究Serrin的经典超定问题的扰动下的Neumann边界条件。常Neumann边界条件的问题的解决方案存在的基础域是一个球。问题是，对于常数的扰动，是否仍然存在允许问题解的域。此外，人们可能会问，一个允许扰动问题的解的域是否在平移之前是唯一的，以及它是否靠近球。我们发展了一个新的隐函数定理的一对Banach三元组，适用于非线性问题的损失的衍生物，但在考虑点。结合对线性化算子的详细分析，证明了扰动超定问题存在解的区域的存在性和局部唯一性。此外，建立了区域形状的最优线性稳定性估计。
2021-03-12 math.AP
Piecewise smooth stationary Euler flows with support in a neighborhood of a helix
Instituto de Ciencias Matemáticas, Consejo Superior de Investigaciones Científicas（西班牙高等科学研究委员会数学科学研究所）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
研究构建三维不可压缩欧拉方程的平稳解，其具有螺旋对称性且支撑在螺旋线邻域。通过与流函数公式相关的非线性超定椭圆边值问题得到分段光滑解，解的涡旋横截面各向异性，关键步骤是分析特定超定椭圆问题。
2026-07-20 math.AP
On a two-phase Serrin-type problem and its numerical computation
本文考虑一类关于散度型算子的Serrin型超定问题，该算子具有分段常系数。利用依赖于形状导数的扰动变元和隐函数定理，给出了在径向对称位形附近唯一可解的充分条件。这个问题也处理数值，通过一个基于Kohn-Vogelius功能的最速下降算法。
2021-09-13 math.AP
The effect on Fisher-KPP propagation in a cylinder with fast diffusion on the boundary
本文考虑$\mathbb{R}^{N+1}$中无限圆柱区域内的Fisher-KPP型反应扩散方程，在区域边界上耦合一个反应扩散方程，其中允许潜在快速扩散.我们将研究与这样的系统相关的柯西问题的解的渐近传播速度的存在性，以及该速度对边界处的扩散率和圆柱的振幅的依赖性。当$N=1$时，畴减小为两条直线之间的条带。该模型模拟了两条快速扩散的道路对由它们限定的条形场的影响。
2015-04-18 math.AP
Shape perturbation of Grushin eigenvalues
考虑了$\mathbb{R}^N$的有界开子集上的Grushin-Laplacian在齐次Dirichlet边界条件下的谱问题.我们证明了对称函数的特征值依赖于真正的解析域扰动，我们证明了Hadamard型公式的形状微分。在扰动依赖于单个标量参数的情况下，我们证明了一个描述多重特征值分岔现象的Rellich-Nagy型定理。作为推论，我们的特征等容和等周扰动下的临界形状的超定问题，我们推导出一个新的证明的Rellich-Pohozaev身份的Grushin特征值。
2020-09-07 math.AP math.SP
Stability of the Wulff shape with respect to anisotropic curvature functionals
本文基于函数的无迹F-海森堡L^p范数给出了超曲面到Wulff形状的距离估计，并以此证明了多种各向异性问题的定量稳定性结果。
2023-08-30 math.AP math.DG
Front blocking and propagation in cylinders with varying cross section
本文考虑无界区域上一类非线性反应扩散方程，研究了其在某个方向上的传播现象（可能是部分的）或阻塞现象的存在性.我们首先证明问题的适定性。然后，我们证明，当该域有一个减少的截面相对于传播方向有完全传播。此外，我们证明了波可以被阻止，因为它来一个突然的几何变化。最后，我们讨论了各种一般的几何性质，确保部分或完全入侵1。特别是，我们表明，在一个域是“星形”的轴，有1完全入侵。
2015-01-06 math.AP
Critical domains for the first nonzero Neumann eigenvalue in Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形$(\mathcal{M},g)$的有界子域$Ω$上Laplace-Beltrami算子的Neumann本征值问题最优化问题.更确切地说，我们分析了局部极值域的第一个非平凡的特征值$μ_2(Ω)$与体积保持域扰动，我们表明，相应的概念的临界出现的形式超定边界问题。我们的结果依赖于延伸的Zanger的形状导数公式，其中包括的情况下，当$μ_2(Ω)$是不是一个简单的特征值。在本文的第二部分中，我们专注于产品流形的形式$\mathcal{M} = \mathbb{R}^k \times \mathcal{N}$，我们分类的子域，一个相关的超定边值问题有一个解决方案。
2018-03-20 math.AP math.DG
Some inverse problems around the tokamak Tore Supra
通过对极向磁通量静磁方程的研究，考虑了与托卡马克\textsl{Tore Supra}有关的两个逆问题。第一个处理的柯西问题的恢复在一个二维的环形域边界磁值的内边界，即限制器，从现有的超定数据的外边界。利用复分析的工具和广义Hardy空间的性质，我们建立了稳定性和存在性。其次，利用形状优化的方法，研究了等离子体形状恢复的逆问题。再次结果的存在性和最优性。它们产生了一个快速算法的识别，这是适用于几个数值模拟计算良好的结果，无论是经典的谐波情况下，或来自\textsl{Tore Supra}的数据。
2012-04-06 math.AP
A miscellanea of qualitative and symmetry properties of the solutions to the two-phase Serrin's problem
针对形状优化驱动的两相Serrin超定边值问题，研究复合梁扭转刚度与体积约束下最优构型性质，通过移动平面法等证明无局部极小值、无外伸分支、外边界无平坦部分，且同心球是两组不同电导率下的唯一容许解。
2024-11-01 math.AP
General monotone formula for homogeneous $k$-Hessian equation in the exterior domain and its applications
针对外区域齐次 $k$-Hessian 方程超定问题，论文结合积分恒等式与几何不等式提出新方法，并建立一般单调公式以证明球特征刻画及相关几何不等式。
2025-07-23 math.AP math.DG
Shape derivative of the Dirichlet energy for a transmission problem
对于一个传输问题，在截断的二维圆柱体位于下方的函数u的图形，形状导数的狄利克雷能量（相对于u）被证明是定义良好的，并计算。在这种情况下，主要的困难来自域的弱正则性和u的图与传输接口的可能的非空相交。结果被应用于建立一个静电驱动器的自由边界传输问题的解决方案的存在性。
2020-05-15 math.AP
