反序律与 Riccati 方程
The Reverse Order Law and the Riccati Equation
AI总结：
针对任意矩阵 W 的特殊代数 Riccati 方程给出基于 SVD 的完整解析解，并揭示其与 Moore–Penrose 逆反序律及等价方程 $XWX=W^+$ 的关系。
摘要：
我们利用 Schur 方法，并以 W 的 SVD 分解表示，对任意矩阵 W（可能是非方阵或非对称矩阵）的代数 Riccati 方程 $XWW^*WX=W^*$ 的一个特例给出了完整解析解。特别地，对任意解 X，都有 $(WX)^3=WX$ 和 $(XW)^3=XW$。我们证明，当 $W=AB$ 时，矩阵 $X=B^+A^+$ 是该方程的解，当且仅当反序律成立，即 $(AB)^+=B^+A^+$。对于 Hermitian 且可逆的 W，极大且稳定的 Hermitian 解被证明等于 $W^+$。还证明了其与方程 $XWX=W^+$ 的等价性。
英文摘要：
We give a full analytic solution to a particular case of the algebraic Riccati equation $XWW^*WX=W^*$ for any matrix $W$ (possibly non-square or non-symmetric) in using the Schur method, terms of the SVD decomposition of $W$. In particular, $(WX)^3=WX$ and $(XW)^3=XW$ for any solution $X$. We show that for $W=AB$, matrix $X=B^+ A^+$ is a solution of this equation if and only if the reverse order law holds, i.e., ${(AB)}^+=B^+ A^+$. For a Hermitian and invertible $W$ the maximal and stabilizing Hermitian solutions is shown to be equal to $W^+$. Equivalence to the equation $XWX=W^+$ is proven.
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