Frustration index and Cheeger inequalities for discrete and continuous magnetic Laplacians
讨论了作为挫折指数和扩张率的混合的Cheeger常数，证明了具有循环签名的图拉普拉斯算子、有限图上的离散磁拉普拉斯算子和闭黎曼流形上的磁拉普拉斯算子的相关Cheeger不等式和高阶Cheeger不等式.在这个过程中，我们开发了部分定向图的谱聚类算法和多路谱聚类算法通过度量在透镜空间和复射影空间。作为一个副产品，我们给出了一个统一的观点，Harary的结构平衡理论的符号图和规范不变性的磁势。
2015-08-14 math-ph math.CO math.MP
A Cheeger inequality for the lower spectral gap
本文针对多类无向非二分图，证明边二分常数、顶点二分常数与归一化邻接算子最小特征值的下界，肯定回答了下谱隙的 Cheeger 型问题。
2023-06-22 math.CO
Equivalent spectral theory for fundamental graph cut problems
Peking University（北京大学）；Fuzhou University（福州大学）
本文提出了一种针对基本图割问题的等价谱理论方法，通过集合对Lovász扩展和Dinkelbach方案，建立了特征对与最优图割问题的一一对应关系，并系统研究了特征向量和特征值的性质。
2026-01-18 math.CO math.SP
Dual Cheeger Constants, Signless 1-Laplacians and Maxcut
本文针对最大割问题，通过对偶Cheeger常数及其修正形式，提出逆幂算法求解无符号1-Laplacian的谱问题，首次给出G-set上的近似值，并证明递归谱割框架下最坏情况近似比下界不超过0.769。
2025-01-20 math.CO math.OC math.SP
A Cheeger Inequality for Hypergraphs and Its Applications
Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院）
本文为非均匀超图建立谱框架，证明 Cheeger 不等式，并构造对 Alon--Boppana 界紧的最优超图扩展器族。
2026-09-16 cs.DS math.CO
Spectral Theory of Laplace Operators on Oriented Hypergraphs
给出了定向超图的规范化拉普拉斯算子的几个新的谱性质。讨论了特征值$1$和重复顶点的情况，建立了两个柯朗节域定理，引入了限制特征值的新量.特别是，Cheeger常数是广义的，它表明，经典的Cheeger界可以推广到某些类的超图;它表明，用于研究zonotopes边界的最大特征值从下面的几何量，和着色数的概念可以推广，并用于证明一个霍夫曼样界。最后讨论了超图的笛卡儿积的非正规拉普拉斯算子的谱。
2021-02-18 math.CO math.SP
A Cheeger Inequality for the Graph Connection Laplacian
O（d）同步问题包括从成对比率O_iO_j^{-1}的子集的噪声测量估计一组未知的正交变换O_i。我们制定并证明了一个Cheeger型不等式，涉及的措施，以及它是如何可能解决的O（d）同步问题与频谱的运营商，图形连接拉普拉斯算子。我们还展示了这个不等式如何提供一个最坏情况下的性能保证的谱方法来解决这个问题。
2013-09-20 cs.DS math.CO math.SP
Cheeger Inequalities for Directed Graphs and Hypergraphs Using Reweighted Eigenvalues
University of Waterloo（滑铁卢大学）
我们推导出Cheeger不等式的有向图和超图使用的加权特征值的方法，最近开发的顶点扩张无向图[OZ22，KLT22，JPV22]。目标是开发有向图的新谱理论和超图的替代谱理论。第一个主要结果是一个Cheeger不等式，它将有向图$G$的顶点扩展$\vecψ(G)$与顶点容量限制的最大加权第二特征值$\vecλ_2^{v*}$联系起来：\[ \vecλ_2^{v*} \lesssim \vecψ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{v*} \cdot \log (Δ/\vecλ_2^{v*})}. \]这提供了一个由顶点扩展得到的有向图的最快混合时间的组合特征，并建立了有向图的加权特征值、顶点扩展和最快混合时间之间的新联系。第二个主要结果是将有向图$G$的边电导$\vecϕ(G)$与边容量限制的最大重加权第二特征值$\vecλ_2^{e*}$相关联的更强的Cheeger不等式：\[ \vecλ_2^{e*} \lesssim \vecϕ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{e*} \cdot \log (1/\vecλ_2^{e*})}. \]这为有向图提供了作为扩展器的证书和在有向图中找到稀疏切割的谱算法，在证明图的扩展和无向图的谱划分算法中，扮演着与Cheeger不等式类似的角色。我们还利用这种重加权特征值方法导出了有向图的改进的Cheeger…
2022-11-17 cs.DM cs.DS cs.LG
Sharp edge, vertex, and mixed Cheeger type inequalities for finite Markov kernels
我们展示了如何不断发展的莫里斯和佩雷斯集的方法可以用来显示Cheeger不等式的有限马尔可夫核的谱间隙的边界。这导致了之前几个Cheeger不等式的尖锐版本，包括涉及边扩展、顶点扩展以及两者混合的不等式。最小本征值的界也如下。
2007-05-05 math.CO math.PR
General Cheeger inequalities for p-Laplacians on graphs
我们证明了有限和无限加权图上的p-Laplacian的Cheeger不等式。与以前的作品不同，我们不强加顶点度的有界性，也不限制自己的规范化拉普拉斯算子，更一般地说，我们不强加任何有界性假设的几何形状。这是通过一个新的定义的测量的边界，这是使用的想法的内在度量。对于非正规化的情况下，我们的范围的谱间隙的p-Laplacian已经显着更好的有限图和无限图，他们产生非平凡的界限，即使在无界顶点度的情况下。此外，我们还通过Cheeger常数和距离球的指数体积增长给出了上界。
2015-09-20 math.CA math.CO math.DG
Weak convergence of finite graphs, integrated density of states and a Cheeger type inequality
在\cite{Elek}中，我们证明了有限图的弱收敛序列的极限可以看作是无限图的一个图或一个连续域。因此，可以将类型$II_1$ -冯诺依曼代数与这样的图序列相关联。我们证明了在这种情况下存在积分态密度，即有限图的图拉普拉斯算子的谱的弱极限是极限图的图拉普拉斯算子的KNS-谱测度。利用这种极限技巧，我们证明了有限图的一个Cheeger型不等式.
2006-05-23 math.CO math.OA
Higher Dimensional Discrete Cheeger Inequalities
对于图，谱展开性质和组合展开性质之间存在着很强的联系。这表示为，例如，利用离散Cheeger不等式，其下界为$λ(G) \leq h(G)$，其中$λ(G)$是图$G$的拉普拉斯算子的第二小特征值，$h(G)$是度量$G$边扩张的Cheeger常数.我们感兴趣的是扩展性质的推广到高维的有限单纯复形（或一致超图）。而高维拉普拉斯算子早在1945年就由Eckmann提出，将边展开推广到单纯复形并不简单。最近，Gromov和Linial，Meshulam和Wallach分别提出了一个类似于基于$\mathbb{Z}_2$ -上同调的边扩张的拓扑概念.众所周知，对于这种推广，没有更高维的Cheeger不等式的下界。Parzanchevski、Rosenthal和Tessler研究了Cheeger常数的另一种不同的、基于组合动机的推广，记为$h(X)$。他们表明，确实$λ(X) \leq h(X)$，其中$λ(X)$是（$(k-1)$维上）拉普拉斯算子的最小非平凡特征值，对于具有完整$(k-1)$骨架的$k$维单纯复形$X$的情况。这个不等式是否也适用于具有非完全$(k-1)$ -骨架的$k$ -维复形一直是一个悬而未决的问题。本文给出了任意复形不等式的两个证明。这些证明在所采用的方法和结构上有很大的不同，每一种都允许对原始结果进行不同类型的额外加强。
2015-01-09 cs.DM math.CO math.SP
Spectra of infinite graphs with summable weight functions
本文研究了无限赋权图的拉普拉斯算子的谱。代替局部有限性的假设，我们施加的条件的可求和的权函数。这样的图对应于具有可数状态空间的可逆马尔可夫链。我们采用的Cheeger常数的概念，这个设置，并证明了一个模拟的Cheeger不等式表征的谱隙。我们还分析了最初在\cite{B14}中引入的双Cheeger常数的概念，该概念允许估计频谱的顶部。在本文中，我们还介绍了一个新的组合不变量，k $(G,m)$，它允许一个完整的特征的二部图和措施的不对称性的频谱（Hausdorff距离之间的频谱和它的反射点$1\in \Bbb R$）。我们将k $(G, m)$与Cheeger常数和对偶Cheeger常数进行比较。最后，我们详细分析了一类无限完全图及其谱。
2022-08-25 math.CO
Cheeger inequalities on simplicial complexes
本文提出了一种方法，通过结合 simplicial 拓扑学、符号图、Gromov 填充半径等，解决了 simplicial 复合体上 Cheeger 型不等式的问题，并推广到 $p$-Laplacians。
2026-02-05 math.CO math.GT math.MG
Graphs with many strong orientations
我们建立温和的条件下，一个可能不规则的，稀疏的图$G$有“许多”强方向。给定一个$n$顶点上的图$G$，以概率$1/2$独立地将每条边定向到任一方向。我们证明了如果$G$满足$(1+c_1)\log_2{n}$的最小度条件，且Cheeger常数至少为$c_2\frac{\log_2\log_2{n}}{\log_2{n}}$，则所得到的随机定向有向图是强连通的.这个Cheeger常数界可以通过Cheeger不等式用类似的谱条件代替。此外，我们提供了一个明确的建设，以显示我们的最小程度的条件是紧的，而Cheeger常数界是紧到一个$\log_2\log_2{n}$因素。
2016-04-08 math.CO
Spectrum of signless 1-Laplacian on simplicial complexes
我们引入了单纯复形上的无符号1-Laplacian和对偶Cheeger常数。研究了它的谱与独立数、色数、对偶Cheeger常数等组合性质的关系。我们的估计可以媲美霍夫曼的界限凭借拉普拉斯对单纯复形。给出了一个关于最大特征值重数、独立数和色数的有趣不等式，它可以看作是Lovasz三明治定理的一个变形.研究了该算子在楔形拓扑运算和模体复制拓扑运算下的行为。将谱理论中的Courant节域定理推广到复形上的无符号1-Laplacian情形。
2020-03-25 math.CO math.SP
A sharp higher-order Cheeger inequality
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
本文证明了归一化拉普拉斯算子的第 k 个特征值与 k 个不相交集合的最大电导之间存在多对数阶的 Cheeger 不等式，并给出了构造性证明，为谱聚类提供了理论保证。
2026-10-06 cs.DS math.CO math.SP
Nonlinear spectral graph theory
RWTH Aachen（亚琛工业大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）；Peking University（北京大学）
本文系统介绍非线性谱图理论，重点研究图$p$-拉普拉斯谱与Cheeger常数、球堆积、独立数及匹配数的联系，并给出无穷拉普拉斯谱等新结果。
2026-09-09 math.CO math.SP
Cheeger Inequalities for Vertex Expansion and Reweighted Eigenvalues
经典的Cheeger不等式将图的边电导$ϕ$与Laplacian矩阵的次小特征值$λ_2$联系起来。最近，Olesker-Taylor和Zanetti发现了一个Cheeger型不等式$ψ^2 / \log |V| \lesssim λ_2^* \lesssim ψ$，它将图$G=(V,E)$的顶点展开$ψ$与Laplacian矩阵的最大加权次小特征值$λ_2^*$联系起来.本文首先将他们的结果改进为$ψ^2 / \log d \lesssim λ_2^* \lesssim ψ$，其中$d$是$G$中的最大度，在小集扩张猜想下是最优的.此外，改进的结果适用于加权顶点扩展，回答了Olesker-Taylor和Zanetti的一个公开问题。建立在这个连接，我们然后开发一个新的谱理论的顶点扩展。我们发现，几个有趣的广义的Cheeger不等式有关的边缘电导和特征值有密切的模拟有关的顶点扩展和加权特征值。其中包括Trevisan的二分性结果的模拟，高阶Cheeger不等式的模拟，以及改进的Cheeger不等式的模拟。最后，受这种联系的启发，我们给出了Mihail和Vazirani提出的$0/1$ -多面体边扩张猜想的否定证据.我们构造了$0/1$ -多面体，其图具有非常差的顶点扩展。这意味着在这些$0/1$ -多面体的顶点上均匀分布的最快混合时间在图的大小上几乎是线性的。这并没有提供一个反例的…
2022-09-19 cs.DM cs.DS math.CO
Eigenvalue ratios of nonnegatively curved graphs
对于满足曲率维数不等式$CD(0,\infty)$的有限权图，我们得到了一个最优特征值比估计。该估计与图的大小无关，并提供了获得高阶谱估计的一般方法。本文证明了笛卡儿积运算是构造满足$CD(0,\infty)$的新的加权图的有效方法。我们还讨论了高阶Cheeger常数的比估计以及与扩张子有关的问题。
2018-02-09 math.CO math.SP
Coboundary and cosystolic expansion from strong symmetry
共收缩膨胀和共收缩膨胀是将图的Cheeger常数或边膨胀推广到更高维度的膨胀概念。经典的Cheeger不等式暗示了图的边扩张等价于谱扩张。在更高的维度中，情况并非如此：一个单纯复形可以是谱扩展的，但没有高维边扩展。在高维空间中的高维边扩展现象比谱扩展复杂得多，而且还远未被人们所理解。特别是，在这项工作之前，唯一已知的有界度cosystolic膨胀已知的是来自理论的建筑物，这是远离小学。本文研究了{ \em强对称}的高维复合物。即，存在传递地作用于单纯复形的顶维单元的群[例如，对于图，它对应于在边上传递作用的群]。利用强对称性，我们发展了一种新的机器来证明共边界和共收缩展开。
2021-02-10 math.CO math.GR
Spectrum and combinatorics of two-dimensional Ramanujan complexes
Ramanujan图具有极值谱性质，这意味着一个显着的组合行为。本文计算了Ramanujan三角形复形的高维Hodge-Laplace谱，并证明了它具有组合展开性质和伪随机性质。为此，我们证明了一个Cheeger型不等式和一个独立的混合引理。
2017-07-04 math.CO math.RT math.SP
Maximizing the signless Laplacian spectral radius of simplicial 2-complexes with a prescribed second Betti number
Anhui University（安徽大学）；Anhui Jianzhu University（安徽建筑大学）
本文研究了二维简单复形在给定第二贝蒂数下的无符号拉普拉斯谱半径的渐近公式及最大值复形的结构特征。
2026-09-15 math.CO
The Cheeger Inequality and Coboundary Expansion: Beyond Constant Coefficients
本文研究了赋予广义系数群（层）的图的Cheeger型不等式，证明了图是良好谱展开子当且仅当其相对于常数层具有良好上边缘展开，并将结果应用于球面建筑给出了显式下界。
2025-04-27 cs.CC math.CO
Spectral preorder and perturbations of discrete weighted graphs
在这篇文章中，我们引入了一类具有磁势的加权图的几何和谱预序关系。第一个前序表示通过存在一个图同态尊重磁势和满足一定的不等式的权重。第二个前序是指磁加权图的相关拉普拉斯算子的谱。这些关系给出了图的初等和复合扰动（删除边，收缩顶点等）的效果的定量控制。在相应的拉普拉斯算子的频谱上，概括特征值的交织。我们给出了几个应用程序的前序：我们展示了如何根据这些前序图进行分类，我们证明了某些特征值的稳定性图的最大d-团。此外，我们证明了当传递到生成子图时特征值的单调性和磁Cheeger常数关于几何前序的单调性。最后，我们证明了一个改进的程序来检测频谱的无限覆盖图的频谱间隙。
2020-05-16 math.CO math.FA math.SP
Spectral analysis of metric graphs and related spaces
本文的目的是在离散图和流形的谱几何的指导下，给出度量图的谱理论的一个概述。我们提出了度量图和自然拉普拉斯算子的基本概念，并明确允许无限图。受度量图上拉普拉斯算子一般形式的启发，我们定义了一类新的组合拉普拉斯算子。有了这个广义离散拉普拉斯算子，就有可能把离散图和度量图的谱理论联系起来。此外，我们描述了度量图与流形的连接。最后，我们评论Cheeger的不等式和跟踪公式的度量和离散（广义）拉普拉斯算子。
2008-02-15 math-ph math.CO math.DG
Curvature, geometry and spectral properties of planar graphs
引入了可平面图的曲率函数，研究了曲率与图的几何性质和谱性质之间的关系。我们表明，非正曲率意味着图是无限的，局部类似于一个镶嵌。我们使用这几个结果已知的镶嵌一般可平面图。对于非正曲率，我们证明了图不允许有割迹，并给出了距离球的边界结构的描述。对于负曲率，我们证明了最小bigons的内部是空的，并推导出明确的距离球的增长和Cheeger常数的界限。后者被用来获得离散拉普拉斯算子的频谱底部的下界。此外，我们还用曲率的一致减少来刻画本质谱的平凡性。最后，我们证明了非正曲率意味着最近邻算子不存在非负支撑的本征函数。
2011-01-15 math-ph math.CO math.MP
Expansion in Distance Matrices
本文研究归一化距离拉普拉斯矩阵，证明其谱隙与 Cheeger 常数均独立于具体图而远离零，并将谱结论推广到有限度量空间。
2025-03-13 math.CO
Volume growth, curvature, and Buser-type inequalities in graphs
研究了离散空间中度量球的体积增长与半径的关系，重点讨论了体积增长与离散曲率的关系。我们在所谓的奥利维尔曲率的下界下改进了体积增长边界，并在其他类型的离散里奇曲率下讨论了类似的结果。继最近的工作在连续设置的黎曼流形（由第一作者），然后，我们绑定的特征值的拉普拉斯算子的一个图形的范围内的体积增长。特别地，图的谱隙可以使用加权离散Hardy不等式来界定，并且图的高特征值可以由三对角矩阵的特征值乘以乘法因子来界定，这两者都仅取决于图的体积增长。作为一个直接的应用，我们将本征值与Cheeger等周常数联系起来。利用这些方法，我们描述了一类图的Cheeger不等式是紧的第二特征值。我们还描述了一种方法证明Buser不等式的图形，特别是在一个下界假设曲率。
2019-10-13 math.CO
Sparse Cuts in Hypergraphs from Random Walks on Simplicial Complexes
本研究衔接超图研究的两大分支，分析单纯复形上不同游走的谱隙与超图扩张、电导率的关联，证明部分游走谱隙无法推导超图电导率界，给出类Cheeger不等式，并验证链环扩张无法以类Cheeger方式界超图扩张。
2023-10-03 cs.DS math.CO
On the Houdré-Tetali conjecture about an isoperimetric constant of graphs
本研究针对Houdré-Tetali关于图等周常数的猜想，给出反例证明对数因子必要，用谱论达到已知界，并证明对p>1/2猜想成立，可推广至有向图。
2024-07-16 cs.DM cs.DS math.CO
Re-imagining Spectral Graph Theory
提出内积拉普拉斯算子，统一组合图、归一化图、超图及有向图的拉普拉斯算子，推导广义等周不等式，恢复Dirichlet和Neumann子图特征值，为现有拉普拉斯算子提供新研究语境并增强应用灵活性。
2025-04-14 cs.DM math.CO
Choquet-type extensions of set-pair functions, and applications in graph limits, hypergraphs, and metric measure spaces
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文提出集对函数的Choquet扩张等概念，构建集合分数阶优化的等价表示，推导测度空间的谱界，建立全局扩张常数的单调性不等式，为多类结构的相关几何与组合量提供新的界。
2026-10-02 math.CO math.FA math.MG
Orbigraphs: a graph theoretic analog to Riemannian orbifolds
黎曼轨道是黎曼流形的一个轻度奇异推广，它是局部模化为$R^n$模的有限群的作用。Orbifolds已经证明在各种设置中很有趣。谱几何学家研究了轨道的拉普拉斯谱和轨道的奇点之间的联系。在这个领域的一个开放的问题是是否奇异orbifold和流形可以拉普拉斯等谱。出于谱几何和谱图论之间的联系，我们定义了一个称为轨道图的轨道的图论模拟。我们得到了轨道图与其邻接矩阵的谱之间的关系。我们证明了存在于轨道图中的奇异顶点的数目是由谱确定的量上下有界的，并且证明了具有奇点和正则图的轨道图不可能是共谱的。我们还提供了一个轨道图的Cheeger常数的下界。
2019-01-11 math.CO
Large Complete Minors from a Cheeger Condition
South China Normal University（华南师范大学）
本文证明仅由 Cheeger 常数下界即可保证图存在大小为 Ω(√(nd/log d)) 的完全 minor，并改进 d-正则图的收缩团数下界。
2026-09-15 math.CO
On the class of graphs with strong mixing properties
本文研究了图的三个混合性质：大代数连通性、大Cheeger常数（等周数）和图上随机游动的转移概率矩阵的第二大特征值与1的大谱隙.我们证明了这些属性的等价性（在某种意义上）。我们给出了随机图满足这些性质的概率估计。此外，我们还给出了无向单图中欧拉方向数和欧拉回路数的渐近公式。
2013-12-16 cs.DM math.CO
Spectral gap of the normalized distance Laplacian
本文针对连通图的归一化距离拉普拉斯谱间隙问题，证明了比2025年猜想更强的下界，明确了等号成立的图结构条件，完善了该领域的理论结论。
2026-08-12 math.CO
Isoperimetric Inequalities in Simplicial Complexes
在图论中，图的扩张性质与其拉普拉斯算子的谱之间有着密切的联系。本文定义了一般维数的单纯复形的组合展开式，并证明了复形的组合展开式与Eckmann定义的高维Laplacian的谱之间存在类似的联系.特别地，我们提出了一个Cheeger型不等式和一个高维Expander混合引理。作为推论，利用Pach的工作，我们得到了复形的谱性质和Gromov的几何重叠概念之间的联系。利用Gunder和Wagner的工作，我们给出了随机Linial-Meshulam复形的组合展开和几何重叠的一个估计。
2013-05-19 math.CO math.DG math.SP
On The Isoperimetric Spectrum of Graphs and Its Approximations
本文研究了（有限有向）图的高阶等周数。在这方面，我们专注于$n$ th平均等周常数的有向图作为最小的平均传出归一化流从一组给定的$n$不相交的子集的顶点集的图形。我们表明，第二平均等周常数在这个一般的设置，符合（平均版本）的经典Cheeger常数的图，而对于其余的频谱，我们表明，有一个根本的区别之间的$n$第等周常数和通过采取最小的所有$n$-分区。在这个方向上，我们表明，我们的定义是正确的，在这个意义上说，它满足Federerer-Fleming型定理，我们还定义了一个超几何图的概念，并提出了例子，作为一个图的平均等周常数达到分区在所有级别。此外，考虑到图上的等周问题的${\bf NP}$-完备性，我们致力于逼近问题，我们证明了一般谱不等式，从而产生一个一般的Cheeger型不等式。另一方面，我们也考虑了一些算法方面的问题，我们显示连接到图的正交表示和以下J.~马利克和J。Shi（$2000$）提出的方法研究了与著名的$k$-均值算法和归一化割方法的密切关系。
2015-01-30 math.CO
Discrete curvature and abelian groups
研究了图上的一个自然离散Bochner型不等式，并探讨了它作为离散空间中曲率概念的价值。这种离散形式的一个吸引人的特点似乎是，对于几个特定的感兴趣的图--特别是阿贝尔群、超立方体的切片和各种生成元集合下的对称群--计算曲率参数的概念是相当简单的。我们进一步发展这一概念，通过推导Buser型不等式（一拉勒杜），相关的功能和等周常数与一个图。我们的推导提供了Cheeger常数的严格界限（即，边等周常数）的谱间隙，与非负曲率的图，特别是，一类交换凯莱图-一个结果的独立利益。
2015-10-23 math.CO
Spectral Gap of Random Hyperbolic Graphs and Related Parameters
随机双曲图被认为是社交网络的一个有前途的模型。研究了它们的一些基本参数。然而，它们中没有一个涉及它们的光谱。我们认为随机双曲图模型是由[GPP 12]形式化的，并从本质上确定了它们的归一化拉普拉斯算子的谱间隙。具体地说，我们建立了高概率的第二个最小特征值的规范化拉普拉斯的巨组件和$n$ -顶点随机双曲图是$Ω(n^{-(2α-1)}/D)$，其中$\frac12<α<1$是一个模型参数和$D$是网络直径（这是已知的至多是多对数在$n$）。我们还显示了一个匹配（多对数因子）的上界$n^{-(2α-1)}(\log n)^{1+o(1)}$。作为一个副产品，我们得出结论，电导上界的本征值间隙通过Cheeger的不等式得到本质上是紧的。我们还提供了一个更详细的图片上的电导上的边界上获得的顶点的集合，特别是显示，对于所有的子集，其体积是$O(n^{1-\varepsilon})$所获得的电导是高概率$Ω(n^{-(2α-1)\varepsilon+o(1)})$。最后，我们还显示了我们的结果的最小和最大的二分法的巨大的组成部分。
2017-02-01 math.CO math.PR
On Eigenvalues of Random Complexes
我们考虑了图的规范化Laplacian和邻接矩阵的高维推广，并研究了$n$顶点上随机$k$维单纯复形的Linial-Meshulam模型$X^k(n,p)$的特征值.我们证明了对于$p=Ω(\log n/n)$，这些矩阵的特征值是a.a.s.围绕两个价值观。主要的工具，这可以追溯到工作的加兰，是参数，这些矩阵的特征值的图形，出现的链接的$(k-2)$维的面孔。加兰的结果涉及拉普拉斯算子;我们开发了一个类似的结果的邻接矩阵。同样的论点适用于其他模型的随机复合物，允许之间的依赖关系的选择$k$维单纯形。在本文的第二部分中，我们将其应用到可能的高维类似物的离散Cheeger不等式，这在经典的情况下，图的关系图的特征值和它的边缘扩展的问题。这是很自然的问是否推广到更高的维度，特别是，是否更高的维度拉普拉斯谱捕获的概念，共边界扩展-一个推广的边缘扩展，出现在最近的工作Linial和Meshulam和格罗莫夫。我们证明了这个最简单的高维离散Cheeger不等式失败了，以一种非常强烈的方式：对于每个$k\geq 2$和$n\in \mathbb{N}$，在$n$顶点上存在一个$k$维复形$Y^k_n$，它具有很强的谱展开性质（归一化$k$维拉普拉斯算子的所有非平凡特征值位于区间$[1-O(1/\sqrt{n}),1+O(1/\sqrt{n})]$中）但其共边界展开从上到下由$O(\log n/n…
2015-08-25 cs.DM math.CO
Edge Expansion and Spectral Gap of Nonnegative Matrices
经典的图形Cheeger不等式指出，如果$M$是$n\times n$对称双随机矩阵，则\[ \frac{1-λ_{2}(M)}{2}\leqϕ(M)\leq\sqrt{2\cdot(1-λ_{2}(M))} \]其中$ϕ(M)=\min_{S\subseteq[n],|S|\leq n/2}\left(\frac{1}{|S|}\sum_{i\in S,j\not\in S}M_{i,j}\right)$是$M$的边展开，$λ_{2}(M)$是$M$的第二大特征值.研究了双随机矩阵$A$（不一定对称）的$ϕ(A)$与谱隙$1-\text{Re}λ_{2}(A)$之间的关系，其中$λ_{2}(A)$是$A$的具有最大实部的非平凡特征值. Fiedler表明$ϕ(A)$的上限不受影响，即，$ϕ(A)\leq\sqrt{2\cdot(1-\text{Re}λ_{2}(A))}$。关于$ϕ(A)$的下限，存在已知的具有\[ ϕ(A)\inΘ\left(\frac{1-\text{Re}λ_{2}(A)}{\log n}\right), \]的构造，其表明对于下限$ϕ(A)$至少需要对$n$的轻度依赖。在我们的第一个结果中，我们提供了一个指数更好的构造$n\times n$双随机矩阵$A_{n}$，其中\[ϕ(A_{n})\leq\frac{1-\text{Re}λ_{2}(A_{n})}…
2019-09-27 cs.DM math.CO
