曲线缩短流下模长的单调性

Stabilization technique applied to curve shortening flow in $\mathbb{R}^3$

We apply the stabilization technique, developed by T. Zelenyak in 1960s for parabolic equations, on curve shortening flow in $\R^3$, and derive several new monotonicity formulas. All of them share one main feature: the dependence of the "energy" term on the angle between the position vector and the plane orthogonal to the tangent vector. The first formula deals with the projection of the curve on the unit sphere, and computes the derivative of its length. The second formula is the generalization of the classical formula of G. Huisken, while the third one is the generalization of the monotonici…

曲线缩短流讲义

Lectures on curve shortening flow

本文通过曲线缩短流的几何热方程，展示非线性偏微分方程中的最大原理估计、单调性公式、Harnack不等式和奇点分析等核心方法，阐述Huisken证明Grayson定理的过程，即任何平面闭合嵌入曲线最终收缩为一个圆点。

仿射曲线缩短流的凸紧古解的分类

Classifying convex compact ancient solutions to the affine curve shortening flow

本文对仿射曲线缩短流的凸紧古解进行了分类：即任何仿射曲线缩短流的凸紧古解必为收缩椭圆。该方法结合了受\cite{Wang}启发的重新标度参数、方程的仿射不变性和仿射等周比的单调性。我们将给出两个证明。基本思想是相关的，但第一个使用水平集表示的演变。第二个证明采用了Schauder的估计，也为高维仿射法线流的相应分类结果提供了一个新的简单证明。

基于距离比较的曲线缩短流的曲率界及Grayson定理的直接证明

Curvature bound for curve shortening flow via distance comparison and a direct proof of Grayson's theorem

证明了一个新的等周估计嵌入闭曲线的曲线缩短流的发展，归一化有总长度$2π$。该估计值根据其端点之间的弧长和经过的时间从下面限制任何弦的长度。应用估计短的部分，我们直接推导出的最大曲率指数衰减到1。这给出了格雷森定理的一个独立的证明，它不需要单调性公式或奇点的分类。

嵌入环形区域在耦合曲线缩短流和二维里奇流下的定量谱稳定性

Quantitative Spectral Stability for an Embedded Annulus under Coupled Curve Shortening and $2$D Ricci Flows

该研究通过变分公式和调和容量方法，分析了嵌入环形区域在耦合曲线缩短流和二维里奇流下的谱稳定性，并建立了谱隙估计与几何亏损的关系。

曲线缩短流下8字形曲线的仿射形状

The Affine Shape of a Figure-Eight under the Curve Shortening Flow

本文研究一类具二面体对称、凸瓣和曲率单调性的8字形曲线的曲线缩短流，证明重整化后极限收敛于领结四边形，且适当弧段缩放后收敛到Grim Reaper Soliton，给出了Angenent局部凸情形定理的类似结果。