在 $L_p$ 范数下的 Dirichlet 可改进性
Dirichlet improvability in $L_p$-norms
AI总结：
通过分类 $L_p$ 单位球的临界格，用正则连分数展开中的模式完整刻画了 $L_p$ 范数下的 Dirichlet 可改进数集，解决了 Kleinbock 和 Rao 的两个公开问题。
摘要：
对于 $\mathbb{R}^2$ 上的范数 $F$，我们考虑 $F$-Dirichlet 可改进数集 $\mathbf{DI}_F$。在最重要的情形 $F$ 为 $L_p$ 范数且 $p=\infty$（即上确界范数）时，众所周知 $\mathbf{DI}_F = \mathbf{BA}\cup \mathbb{Q}$，其中 $\mathbf{BA}$ 是极差逼近数集。已知 $\mathbf{BA}$ 和每个 $\mathbf{DI}_F$ 都是零测集且具有满 Hausdorff 维数。利用 $L_p$ 中单位球的临界格分类，我们给出了 $\mathbf{DI}_p:=\mathbf{DI}_{F^{[p]}}$ 的完整有效刻画，其中 $F^{[p]}$ 是 $p\in[1,\infty)$ 的 $L_p$ 范数，该刻画基于正则连分数展开中模式的出现。这产生了若干推论。特别地，我们解决了 Kleinbock 和 Rao 的两个公开问题：证明了 $\mathbf{DI}_{p}\setminus \mathbf{BA}$ 具有满 Hausdorff 维数，并证明了关于差集 $\mathbf{DI}_{p_1}\setminus \mathbf{DI}_{p_2}$ 大小的若干结果。确切地说，我们证明了欧几里得范数 ($p=2$) 下的 Dirichlet 可改进数集与出租车范数 ($p=1$) 下的 Dirichlet 可改进数集的差集，即 $\mathbf{DI}_{2}\setminus \mathbf{DI}_{1}$ 和 $\mathbf{DI}_{1}\setminus \mathbf{DI}_{2}$，都具有满 Hausdorff 维数。我们还找出了所有使得 $\mathbf{DI}_p^c\cap\mathbf{BA}$ 具有满 Hausdorff 维数的 $p$ 值。最后，我们的刻画结果暗示数 $e$ 满足 $e\in \mathbf{DI}_p$ 当且仅当 $p\in(1,2)\cup(p_0,\infty)$，其中 $p_0\approx2.57$ 为某个特殊常数。
英文摘要：
For a norm $F$ on $\mathbb{R}^2$, we consider the set of $F$-Dirichlet improvable numbers $\mathbf{DI}_F$. In the most important case of $F$ being an $L_p$-norm with $p=\infty$, which is a supremum norm, it is well-known that $\mathbf{DI}_F = \mathbf{BA}\cup \mathbb{Q}$, where $\mathbf{BA}$ is a set of badly approximable numbers. It is also known that $\mathbf{BA}$ and each $\mathbf{DI}_F$ are of measure zero and of full Hausdorff dimension. Using classification of critical lattices for unit balls in $L_p$, we provide a complete and effective characterization of $\mathbf{DI}_p:=\mathbf{DI}_{F^{[p]}}$ in terms of the occurrence of patterns in regular continued fraction expansions, where $F^{[p]}$ is an $L_p$-norm with $p\in[1,\infty)$. This yields several corollaries. In particular, we resolve two open questions by Kleinbock and Rao by showing that the set $\mathbf{DI}_{p}\setminus \mathbf{BA}$ is of full Hausdorff dimension, as well as proving some results about the size of the difference $\mathbf{DI}_{p_1}\setminus \mathbf{DI}_{p_2}$. To be precise, we show that the set difference of Dirichlet improvable numbers in Euclidean norm ($p=2$) minus Dirichlet improvable numbers in taxicab norm ($p=1$) and vice versa, that is $\mathbf{DI}_{2}\setminus \mathbf{DI}_{1}$ and $\mathbf{DI}_{1}\setminus \mathbf{DI}_{2}$, are of full Hausdorff dimension. We also find all values of $p$, for which the set $\mathbf{DI}_p^c\cap\mathbf{BA}$ has full Hausdorff dimension. Finally, our characterization result implies that the number $e$ satisfies $e\in \mathbf{DI}_p$ if and only if $p\in(1,2)\cup(p_0,\infty)$ for some special constant $p_0\approx2.57$.
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