Riemann 流形上由 Kreĭn–Feller 算子定义的微分方程
Differential equations defined by Kre\uın-Feller operators on Riemannian manifolds
AI总结：
本文研究完备 Riemann 流形上由 Kreĭn–Feller 算子 $-Δ_μ$ 生成的线性与半线性波动、热及 Schrödinger 方程，证明维数条件保证唯一弱解并给出球面与环面测度示例。
摘要：
我们研究在完备 Riemann n-流形 M 上由 Kreĭn–Feller 算子 $-Δ_μ$ 定义的线性和半线性波动方程、热方程与 Schrödinger 方程，其中 $μ$ 是 M 的有界开子集 $Ω$ 上的有限正 Borel 测度，且其支集包含于 $\overlineΩ$。在 $\underline{\operatorname{dim}}_{\infty}(μ)>n-2$ 的假设下，我们证明上述三类中的每一类线性或半线性方程都存在唯一弱解。我们研究关键条件 $\dim_(μ)>n-2$，并给出 $\mathbb{S}^2$ 和 $\mathbb{T}^2$ 上满足该条件的测度示例。我们还利用 $\mathbb{S}^1$ 上的例子研究上述三类线性方程的弱解。
英文摘要：
We study linear and semi-linear wave, heat, and Schrödinger equations defined by Kre\uın-Feller operator $-Δ_μ$ on a complete Riemannian $n$-manifolds $M$, where $μ$ is a finite positive Borel measure on a bounded open subset $Ω$ of $M$ with support contained in $\overlineΩ$. Under the assumption that $\underline{\operatorname{dim}}_{\infty}(μ)>n-2$, we prove that for a linear or semi-linear equation of each of the above three types, there exists a unique weak solution. We study the crucial condition $\dim_(μ)>n-2$ and provide examples of measures on $\mathbb{S}^2$ and $\mathbb{T}^2$ that satisfy the condition. We also study weak solutions of linear equations of the above three classes by using examples on $\mathbb{S}^1$
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