关于$n$次幂的Grunwald-Wang定理的一个推广
A Generalization of the Grunwald-Wang Theorem for $n^{th}$ Powers
AI总结：
本研究将n次幂的Grunwald-Wang定理从单个有理数推广至基数不超过n的最小素因子q的有理数有限子集，证明了几乎所有素数p下子集在Q_p中含n次幂等价于含完全n次幂（偶数n有例外），且上界q最优。
摘要：
设$n$为大于2的自然数，$q$为整除$n$的最小素数。我们证明：基数至多为$q$的有理数有限子集$A$，对几乎所有素数$p$都在$\n\mathbb{Q}_{p}$中包含一个$n$次幂，当且仅当$A$包含一个完全$n$次幂，仅当$n$为偶数时存在一些例外。这将$n$次幂的Grunwald-Wang定理从单个有理数推广到了有理数有限子集。我们还证明了该推广中的上界$q$对每个$n$都是最优的。
英文摘要：
Let $n$ be a natural number greater than $2$ and $q$ be the smallest prime dividing $n$. We show that a finite subset $A$ of rationals, of cardinality at most $q$, contains a $n^{th}$ power in $\mathbb{Q}_{p}$ for almost every prime $p$ if and only if $A$ contains a perfect $n^{th}$ power, barring some exceptions when $n$ is even. This generalizes the Grunwald-Wang theorem for $n^{th}$ powers, from one rational number to finite subsets of rational numbers. We also show that the upper bound $q$ in this generalization is optimal for every $n$.
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