arXiv 2408.025482024-08math.COcs.ITmath.IT

Reed-Muller码 $RM_q(2,2)$ 的贝蒂数和高重量谱

Betti Numbers and Higher Weight Spectra of Reed-Muller Codes $RM_q(2,2)$

Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；UiT: The Arctic University of Norway（挪威北极大学）；Inria Saclay Centre（法国国家信息与自动化研究所萨克雷中心）

Sudhir R. Ghorpade, Trygve Johnsen, Rati Ludhani, Rakhi Pratihar

备注：: 39 pages, 25 tables. The article is to appear in SIAM J. Appl. Alg. Geom

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AI总结：

本文确定了长度为 $q^2$ 的 $q$ 元二阶 Reed-Muller 码及其相关拟阵延拓的所有贝蒂数，并利用这些结果确定了这些码的高重量谱。

摘要：

我们确定了长度为 $q^2$ 的 $q$ 元二阶 Reed-Muller 码的所有贝蒂数，以及这些码所关联的拟阵的延拓的贝蒂数。然后我们利用它来确定这些码的高重量谱。作为一个特例，我们恢复了 Kaplan 和 Matei 关于在有限域上计数具有指定有理交点的某些曲线的一些结果。在几何术语中，我们的结果与仿射 Veronese 簇相关，即仿射平面 $\mathbb{A}^2$ 在 $\mathbb{P}^2$ 到 $\mathbb{P}^5$ 的二次 Veronese 嵌入下的像。实际上，确定这里考虑的 Reed-Muller 码的高重量谱，对应于确定 $\mathbb{P}^5$ 的线性子簇截取该仿射 Veronese 簇的所有可能截面的 $\mathbb{F}_q$-有理点的数量。

英文摘要：

We determine all the Betti numbers of the $q$-ary second order Reed-Muller codes of length $q^2$, and also of the elongations of matroids associated to these codes. We then use it to determine the higher weight spectra of these codes. As a special case, we recover some results of Kaplan and Matei about counting certain curves over finite fields with prescribed rational intersection points. In geometric terms, our results relate to the affine Veronesean by which we mean the image of the affine plane $\mathbb{A}^2$ under the quadratic Veronese embedding of $\mathbb{P}^2$ in $\mathbb{P}^5$. Indeed, finding the higher weight spectra, of the Reed-Muller code considered here, corresponds to determining the number of $\mathbb{F}_q$-rational points on all possible sections of this affine Veronesean by linear subvarieties of $\mathbb{P}^5$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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