Decoding rank metric Reed-Muller codes
Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Laboratoire LIX, CNRS UMR 7161（LIX实验室，法国国家科学研究中心UMR 7161）；École Polytechnique（巴黎综合理工学院）；Institut Polytechnique de Paris（巴黎理工学院）
本文提出了一种多项式时间算法，用于解码秩度量Reed-Muller码，能够纠正任意秩不超过最小距离一半的误差。
2025-11-25 cs.IT math.CO math.IT
Linear Codes Of 2-Designs As Subcodes Of The Extended Generalized Reed-Muller Codes
本文研究了由厄米特函数定义的仿射不变三进制码。我们计算的关联矩阵的2-设计，支持这些三元码的最小重量码字。由这些关联矩阵的行生成的线性码是4阶广义Reed-Muller码的扩展码的子码，它们也是2-设计。最后，我们给出了这类线性码的维数和最小重量的下界。
2020-07-28 cs.IT math.CO math.IT
Repairing Generalized Reed-Muller Codes
在分布式存储系统中，修复带宽和局部性都是评价存储代码性能的重要修复代价指标。最近，Guruswami和Wooters提出了一种基于Reed-Solomon码的单次故障最优线性修复方案，改进了经典修复方案的带宽。本文研究了具有良好局部性的广义Reed-Muller（GRM）码的修复带宽。我们将Guruswami和Wooters的修复方案推广到单次失效的GRM码，当子域很小时，它具有接近下界的非平凡带宽。我们进一步扩展了分布式和集中式修复模型中的多故障修复方案，并通过考虑不同的擦除模式来计算带宽期望。
2019-06-25 cs.IT math.CO math.IT
Minimum distance functions of graded ideals and Reed-Muller-type codes
引入并研究了域中系数的多项式环中分次理想的最小距离函数，证明了它推广了有限域上投射Reed-Muller型码的最小距离.这给出了一个代数公式的最小距离的投影Reed-Muller型码的代数不变式和结构的基本消失理想。在此基础上，给出了一种基于Groebner基和Hilbert函数的Reed-Muller型码的最小距离的下界估计方法。最后，我们给出了射影套卡氏集上多项式零点个数的明确的上界，并对Carvalho，Lopez-Neumann和Lopez的一个猜想给予了支持.
2016-06-12 cs.IT math.AC math.AG
Maximal quadrics over finite fields and minimal codewords of projective Reed-Muller codes
Inria & Laboratoire LIX, École Polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（法国国家信息与自动化研究所与IX实验室，巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）
本文基于有限域上的最大二次曲面研究二阶投影Reed-Muller码的最小码字分类，证明了除F₂特例外，任何两个绝对不可约二次曲面若包含关系成立则必相等，并给出了最小码字的精确刻画及各重量下的数量。
2026-04-17 cs.DM cs.IT math.AG
Efficient Majority-Logic Decoding of Short-Length Reed--Muller Codes at Information Positions
在多数逻辑译码下的短长度Reed-Muller码对于实时和嵌入式系统中的高效硬件实现具有特别重要的意义。本文对二进制Reed-Muller码$\text{RM}(r,m)$、$r \leq m/2$的两步择多逻辑译码法作了重大改进，如果采用系统编码，只纠正信息位上的错误。一些一般性的最小数目的择多门的结果是特别好的短码。具体而言，其重要性，在应用中作为一个3-纠错，自对偶码，最小的非平凡的例子，$\text{RM}(2,5)$的尺寸为16和长度为32，详细研究。此外，我们的程序的解码复杂度进行了比较，与陈的解码算法的各种Reed-Muller码的长度为$2^{10}$。
2012-12-05 cs.DM cs.ET cs.IT
Symmetries of weight enumerators and applications to Reed-Muller codes
Gleason在1970年提出的关于自对偶码的重量计数器的定理在过去的40年里对编码理论的研究起到了至关重要的作用。大量的推广已被证明，但据我们所知，他们都是基于对称性所给予的麦克威廉姆斯的身份。本文的目的是第一步更一般的调查对称性的重量枚举。我们列出了可能的对称群，处理有限和无限的情况下，我们开发了一种新的算法来计算一个给定的重量枚举的对称群，并将这些方法应用于家庭的Reed-Muller码，在二进制的情况下，模拟格里森定理的所有参数。
2018-11-14 cs.IT math.CO math.IT
On the generalized Hamming weights of certain Reed-Muller-type codes
Beelen和M.仿射码的第$r$广义汉明重量的Datta。利用这个组合公式，我们给出了一个计算一类仿射码的$r$阶广义Hamming重量的简单公式.若$\mathbb{X}$是有限域上的一组投射点，则根据$\mathbb{X}$上相应的投射Reed-Muller型码及其对偶码的基本参数和广义Hamming重量，确定了$\mathbb{X}$上Veronese型码及其对偶码的基本参数和广义Hamming重量.
2019-07-15 cs.IT math.AC math.AG
Decoding Reed-Muller codes over product sets
对于每个$d < |S|$，当求值点是任意乘积集$S^m$时，给出了一个多项式时间算法，可将次数为$d$的多元多项式码译码到其最小距离的一半.以前已知的算法可以实现这一点，只有当集合$S$有一些非常特殊的代数结构，或者如果程度$d$是显着小于$|S|$。我们还给出了一个近线性的时间随机算法，这是基于从列表解码工具，解码这些代码从近一半的最小距离，为常数$ε> 0$提供$d < (1-ε)|S|$。我们的结果给出了一个$m$维推广的众所周知的解码算法的Reed-Solomon码，并可以被视为给出了一个算法版本的Schwartz-Zippel引理。
2015-11-23 cs.CC cs.IT math.CO
Coxeter codes: Extending the Reed-Muller family
本文提出了一类基于Coxeter群的二元线性码，扩展了Reed-Muller码家族，并展示了其在量子编码中的应用。
2025-11-13 cs.IT math.CO math.IT
Generalized Hamming weights of projective Reed--Muller-type codes over graphs
设$G$是一个连通图，$\mathbb{X}$是由$G$的关联矩阵的列向量定义的投影点在具有任意特征的域$K$上的集合.本文利用图论不变量确定了集合$\mathbb{X}$上Reed-Muller型码的广义Hamming重量。作为编码理论的一个应用，我们证明了如果$G$是非二部的，且$K$是${\rm char}(K)\neq 2$的有限域，则由$G$的关联矩阵的行生成的线性码的$r$阶广义Hamming重量是$G$的$r$阶弱边二部性.如果${\rm char}(K)=2$或$G$是二部码，我们证明了该码的第$r$个广义Hamming重量是$G$的第$r$个边连通度.
2019-08-16 cs.IT math.AC math.AG
Betti Numbers and Higher Weight Spectra of Reed-Muller Codes $RM_q(2,2)$
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；UiT: The Arctic University of Norway（挪威北极大学）；Inria Saclay Centre（法国国家信息与自动化研究所萨克雷中心）
本文确定了长度为 $q^2$ 的 $q$ 元二阶 Reed-Muller 码及其相关拟阵延拓的所有贝蒂数，并利用这些结果确定了这些码的高重量谱。
2026-06-03 cs.IT math.CO math.IT
Linear Code Conversion in the Merge Regime: General Bounds and Reed-Muller Constructions
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
研究任意线性码在合并机制下的标量线性转换，推导基于广义汉明权重的读写成本下界，并针对Reed-Muller码利用Plotkin分解构造显式可转换码，在特定参数下达到写成本下界。
2026-06-29 cs.DM cs.IT math.CO
Optimum 1-Step Majority-Logic Decoding of Binary Reed-Muller Codes
Rutgers University（罗格斯大学）
本文提出了一种适用于所有r和m的最优一步多数逻辑解码器，实现了雷德-穆勒码的最优擦除纠正和最大一步纠错能力。
2026-01-17 cs.IT math.CO math.IT
Polynomial Freiman-Ruzsa, Reed-Muller codes and Shannon capacity
Mathematics Institute, EPFL（EPFL数学研究所）
本文通过极化理论为Reed-Muller码建立框架，证明其在容量以下的局部误差趋于消失，并与多项式Freiman-Ruzsa猜想证明建立联系，同时提出新的组合学猜想。
2026-02-25 cs.IT math.CO math.IT
Reed-Muller codes have vanishing bit-error probability below capacity: a simple tighter proof via camellia boosting
本文提出 camellia codes 分解与基于二阶矩 Fourier 分析的 boosting 证明，确立 RM 等对称码在容量以下误比特概率趋于零，并简化、加强了擦除与错误信道上的既有结果。
2023-12-07 cs.DM cs.IT math.CO
