On differences between DP-coloring and list coloring
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoconák和Postle引入的列表着色的推广。许多已知的列表-色数的上界可以扩展到DP-色数，但并不是所有的上界都可以扩展到DP-色数.在这篇文章中，我们描述了DP-着色的一些不寻常的性质，使它远离列表着色。特别地，我们给出了一个具有DP-色数$4$的平面二部图的例子，证明了具有$d\geq 2$的$d$ -正则图的边DP-色数总是至少为$d+1$ .
2017-10-31 math.CO
On graphs with maximum difference between game chromatic number and chromatic number
本文解决了 Matsumoto 关于博弈色数与色数之差最大值的猜想，通过修改博弈规则证明等号仅在小阶图和 Turán 图上成立，并否定顶点标记博弈的类似结果。
2024-11-08 math.CO
Circular coloring of signed graphs
令$k, d$（$2d \leq k)$）是两个正整数。我们推广了研究得很好的概念$(k,d)$ -着色和循环色数$χ_c$的签署图。这意味着一个新的概念，染色的符号图，和相应的色数$χ$。证明了关于有号图的循环染色和循环色数的一些基本事实，并分析了与无号图结果的差异。特别地，我们证明了圈色数与符号图的色数之差至多为1。实际上，有符号图的差为1。另一方面，对于$n$顶点上的符号图，如果差小于1，则存在$ε_n>0$，使得差至多为$1 - ε_n$。我们还证明了$(k,d)$ -着色的概念等价于$r$ -着色（见（X. Zhu，Recent developments in circular coloring of graphs，in Topics in Discrete Mathematics Algorithms and Combinatorics Volume 26，Springer Berlin Heidelberg（2006）497-550）.
2015-09-15 math.CO
The chromatic gap and its extremes
{ \em色间隙}是图的色数与团数之差。在这里，我们研究$\gap(n)$，最大色间隙的图上的$n$顶点。极值图能被探索吗？虽然与色隙有关的计算问题是无望的，但拉姆齐理论和匹配理论之间的相互作用导致了一个简单且（几乎）精确的$\gap(n)$公式。
2011-08-17 math.CO
The game chromatic number of trees and forests
虽然已知森林的对策色数至多为4，但没有已知用于确定森林的对策色数的简单标准。首先给出了森林的博弈色数为2的充要条件，然后研究了森林的博弈色数为3和4的区别。在这样做时，我们提出了一个最小的例子，一个森林的游戏色数4，标准确定游戏色数的森林没有顶点的度3，和一个例子的森林的最大度3和游戏色数4。
2014-10-20 math.CO
Large cliques in graphs with high chromatic number
我们研究了图的色数与图的阶（顶点数）接近的图。无论是当色数是阶数的常数倍，还是当色数与阶数之差是一个小的固定数时，都会产生大的团。我们研究后者的情况下，我们给出了定量的结果有多大的团数，这些图。对有关问题进行了讨论并提出了建议。请注意，这篇文章的结果是显着概括。因此，这篇论文永远不会在期刊上发表。请参见arXiv：1103.3917 [math.CO]以获得更一般的结果。
2011-07-13 math.CO
Separating the online and offline DP-chromatic numbers
DP-着色问题是列表着色问题的推广，其目标是在图$G$的某个拓扑覆盖中找到一个独立断面。在在线DP-着色问题中，$G$的覆盖是一次一个分量地显示的，并且覆盖的独立断面必须基于不完全信息分块构造. Kim，Kostochka，Li，and Zhu问这两个图着色问题对应的色数是否可以在单个图中有任意大的差异。我们通过构造在线DP-色数和离线DP-色数之间的差距任意大的图来肯定地回答这个问题。
2022-09-19 math.CO
The chromatic discrepancy of graphs
对于图$G$的一个正常顶点着色$c$，令$φ_c(G)$表示$G$的所有诱导子图$H$上的色数$χ(H)$与$c$着色$H$所用颜色数之差的最大值.定义图$G$的色差为图$G$的所有真染色$c$中的最小值$φ_c(G)$，记作$φ(G)$.若$H$仅限于连通诱导子图，则用$\hatφ(G)$表示相应的参数.这些参数的目的是研究在图及其所有诱导子图中使用尽可能少的颜色的图着色。我们研究了参数$φ(G)$和$\hatφ(G)$，并得到了它们的界。我们得到一般的界限，以及某些特殊类别的图，包括随机图的界限。我们给出了具有$φ(G) = 0$的图和具有$\hatφ(G) = 0$的图的结构刻画。我们还表明，计算这些参数是NP-难的。
2014-11-18 math.CO
Trees with small b-chromatic index
在最近的一篇文章[5]中，作者声称树的b-色指数与已知上界之间的距离至多为1。与此同时，在[7]中，作者声称能够构建一个树，其中该差异大于1。然而，给出的例子是不连贯的，即，实际上是一片森林。在这里，我们稍微修改他们的结构，以产生树，从而得到确实的树的b-色指数和已知的上界之间的差异可以是任意大的。我们还指出了[5]中的错误。
2015-11-18 cs.DM math.CO
The Thue choice number versus the Thue chromatic number of graphs
我们说图$G$的顶点着色$φ$是非重复的，如果不存在正整数$n$和$2n$上的一条路，使得$G$中的$v_{1}\ldots v_{2n}$的相关颜色序列$φ(v_{1})\ldotsφ(v_{2n})$对所有$i=1,2,\dots,n$都满足$φ(v_{i})=φ(v_{i+n})$。$G$的非重复顶点着色中的最小颜色数是图厄色数$π(G)$。对于顶点列表着色的情况，$G$的Thue选择数$π_{l}(G)$表示最小整数$k$，使得对于最小列表长度至少为$k$的每个列表分配$L:V(G)\rightarrow 2^{\mathbb{N}}$，存在来自分配列表的$G$的非重复顶点着色。最近证明了同一图的Thue色数和Thue选择数在某些图类中可以有任意大的差别。在这里，我们给出了一个概述的已知结果，我们比较这两个参数的几个家庭的图，我们也给出了一个列表上的开放问题。
2015-08-11 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
Dynamic Chromatic Number of Regular Graphs
图$G$的动态着色是一种适当的着色，使得对于度至少为2的每个顶点$v\in V(G)$，$v$的邻居至少接收2种颜色。这是一个错误[B]。蒙哥马利{ \em图形的动态着色}。博士论文，西弗吉尼亚大学，2001年。如果$G$是$k$ -正则图，则有$χ_2(G)-χ(G)\leq 2$。本文证明了：如果$G$是一个具有$χ(G)\geq 4$的$k$ -正则图，则$χ_2(G)\leq χ(G)+α(G^2)$ .对直径不大于2的正则图$G$和$χ(G)\geq 4$，证明了猜想.事实上，它表明，如果$G$的直径最大为2，并且$χ(G)\geq 4$的直径最大为2，则为$χ_2(G)-χ(G)\leq 1$。此外，我们还证明了对任何$k$ -正则图$G$，$χ_2(G)-χ(G)\leq 6\ln k+2$ .同时，我们证明了对任意的$n$，存在一个正则图$G$，其色数为$n$和$χ_2(G)-χ(G)\geq 1$ .这一结果否定了[A. Ahadi，S. Akbari，A. Dehghan和M.甘巴里\newblock关于图的色数与动态色数的区别。\newblock { \em离散数学}，待印]。
2011-10-24 math.CO
Coloring Distance Graphs on the Integers
给定一个正整数的集合D，整数上的关联距离图是以整数为顶点的图，如果它们的差在D中，则不同顶点之间有一条边。研究了距离图的色数。我们证明了，如果$D = {d_1,d_2,d_3,...}$，且对所有n都有$d_n | d_{n+1}$，则距离图有一个适当的4-染色。我们进一步找到了所有这类距离图的精确色数。其次，我们刻画了具有周期真染色的距离图，并给出了色数与周期真染色存在性之间的关系。
1998-05-19 math.CO
On game chromatic vertex-critical graphs
几个游戏中出现的图着色已被介绍和研究。让$φ$表示从这样的游戏中产生的图不变量。如果$G$是一个图，并且$φ(G-x)\neq φ(G)=k$，$k \geq 1$对每个顶点$x \in V(G)$成立，则$G$称为$k$-$φ$-game-vertex- critical图.研究了$φ\in \{χ_g, χ_i, χ_{ig}^{A}, χ_{ig}^{AB}\}$的$φ$ -对策顶点临界度的概念，其中$χ_g$表示标准对策色数，$χ_i$表示指示对策色数，$χ_{ig}^{A}$，$χ_{ig}^{AB}$表示独立对策色数的两个版本.由于游戏色数$φ(G-x)$可以减少或增加相对于$φ(G)$，我们区分下，上和混合顶点临界。我们表明，对于$φ\in \{χ_g, χ_{ig}^{A}, χ_{ig}^{AB}\}$的差异$φ(G)-φ(G-x)$，$x \in V(G)$，可以是任意大的。给出了所有$φ\in \{χ_g, χ_i, χ_{ig}^{A}, χ_{ig}^{AB}\}$的$2$-$φ$-对策点临界图和（连通）$3$-$φ$-下对策点临界图的一个刻画.结果表明，$χ_g$ -game-vertex-critical、$χ_{ig}^{A}$ -game-vertex-critical和$χ_{ig}^{AB}$ -game-vertex- critical图不一…
2021-05-20 math.CO
On bounding the difference between the maximum degree and the chromatic number by a constant
我们提供了一个有限的禁止诱导子图的图形类$\varUpsilon_k$的特征，所有$k \in \mathbb{N}_0$，它被定义如下。一个图是在$\varUpsilon_k$中的，如果对于任何导出子图，$Δ\leq χ-1 + k$成立，其中$Δ$是最大度，$χ$是子图的色数.我们将这些结果与文献[O. Schaudt，V. Weil，On bounding the difference between the maximum degree and the clique number，Graphs and Combinatorics 31（5），1689-1702（2015）。DOI：10.1007/s 00373 -014-1468-3]，其中我们研究了图类$\varOmega_k$，对于$k \in \mathbb{N}_0$，其图使得对于任何导出子图，$Δ\leq ω-1 + k$成立，其中$ω$表示图的团数。特别地，我们给出了所有顶点的邻域都是完美图的$\varOmega_k$和$\varUpsilon_k$的一个刻画。
2016-09-13 cs.DM math.CO
The chromatic number of the plane is at least 5 -- a human-verifiable proof
给出了平面的色数至少为5这一已知事实的新证明。这个证明的主要区别是它可以在没有计算机帮助的情况下手动验证。
2020-10-23 math.CO math.MG
Approximability of the upper chromatic number of hypergraphs
超图${\cal H}=(X,{\cal E})$的C-染色是顶点染色$φ: X\to {\mathbb{N}}$使得每条边$E\in{\cal E}$至少有两个顶点具有共同的颜色。相关参数$\overlineχ({\cal H})$，称为${\cal H}$的上色数，是${\cal H}$的C-着色中可以使用的最大颜色数。超树是一个超图，它有一个主树$T$，使得每条边$E\in {\cal E}$在$T$中导出一个连通子图。符号$n$和$m$分别代表一般输入超图中的顶点和边的数量。我们建立保证多项式时间的近似比的差异$n-\overlineχ({\cal H})$，这是$2+2 \ln (2m)$超图一般，和$1+ \ln m$超树。后一个比率本质上是紧的，因为我们表明$n-\overlineχ({\cal H})$不能在超树上的$(1-ε) \ln m$内近似（除非${\sf NP} \subseteq {\sf DTIME} (n^{{\cal O}(log\;log\; n)})$）。此外，$\overlineχ({\cal H})$没有${\cal O}(n^{1-ε})$ -近似，并且不能在超树类上的加性误差$o(n)$内近似（除非${\sf P}={\sf NP}$）。
2013-10-29 math.CO
Banff designs: difference methods for coloring incidence graphs
研究$2$-设计Levi图的和谐着色问题，提出并构造了使和谐色数达到下界的Banff设计。
2024-04-23 math.CO
Fractional DP-Colorings of Sparse Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoprák和Postle发展的列表着色的推广。本文引入并研究了分数DP-色数$χ_{DP}^\ast(G)$.我们刻画了所有连通图$G$，使得$χ_{DP}^\ast(G) \leqslant 2$：它们恰好是没有奇圈且至多有一个偶圈的图.根据Alon，Tuza和Voigt的定理，任何图$G$的分数列表色数$χ_\ell^\ast(G)$等于它的分数色数$χ^\ast(G)$.这个等式不扩展到分数DP着色。此外，我们表明，差异$χ^\ast_{DP}(G) - χ^\ast(G)$可以是任意大的，而且，$χ^\ast_{DP}(G) \geq d/(2 \ln d)$的每个图$G$的最大平均度$d \geq 4$。另一方面，我们表明，这一渐近下界是紧的一个大类的图，包括所有的二部图，以及许多图的高围长和高色数。
2019-06-02 math.CO
An Analysis of Graceful Coloring in a Specific r-Regular Graphs
本文研究特定r-正则图的优美着色问题，采用集合论方法计算完全图的优美色数，并给出基于优美色数的图刻画。
2024-06-28 math.CO
Some problems on induced subgraphs
讨论了与诱导子图有关的一些问题。第一个问题是关于得到图的色数的一个好的上界，它是关于图的每一个诱导圈的长度为$3$或$4$的图的团数。第二个问题是关于图的完美色数，它是图的顶点集可以划分成的完美集的最小数目。（如果一组顶点导出一个完美图，那么它就是完美的。）第三个问题是关于诱导子图序中的反链。第四个问题是关于图的诱导子图的色数与团数之差至多为1的图。第五个问题是对臭名昭著的Erdens-Hajnal猜想的削弱。最后一个问题是关于Gyárfás关于一类特殊图的$χ$ -有界性的猜想。
2016-12-30 math.CO
A generalization of Zhu's theorem on six-valent integer distance graphs
本文证明Zhu关于三元整数距离图色数的定理是作者先前关于阿贝尔群上Cayley图色数一般方法（针对3×2矩阵情形）的特例，从而推广了该定理。
2023-03-11 math.CO
A disproof of a gap-one conjecture for the equitable chromatic number of block graphs
该研究针对块图的均匀色数的间隙一猜想，构造出满足特定参数的连通块图，证明均匀色数与$L(G)$的差值无界，从而以强形式否定了该猜想。
2026-08-17 math.CO
Two Erdos problems on lacunary sequences: Chromatic number and Diophantine approximation
令${n_k}$为递增缺项序列，即，$n_{k+1}/n_k>1+r$换一些$r>0$。1987年，P.Erdos提出了整数图$G$的色数，其中两个整数$a,b$通过边相连当且仅当它们的差$|a-b|$在序列${n_k}$中. Y. Katznelson发现了一个连接到一个丢番图逼近问题（也是由于鄂尔多斯）：存在$x$在$(0,1)$，使所有的倍数$n_j x$至少距离$δ(x)>0$从一组整数。Katznelson用$Cr^{-2}|\log r|$限制了$G$的色数.我们应用Lovász局部引理对某些$x$建立了$δ(x)>cr|\log r|^{-1}$，这意味着$G$的色数至多为$Cr^{-1} |\log r|$ .这是尖锐的对数因子。
2007-06-01 math.CO math.NT
Spectral Radius, Vertex Deletion, and Chromatic Number of Signed Graphs
研究符号图删除顶点后谱半径的变化，证明Sun-Das定理对符号图成立，并给出基于所有特征值的色数下界。
2026-08-19 math.CO
Coloring, list coloring, and fractional coloring in intersections of matroids
研究k个拟阵交集超图的着色参数差距，证明列表色数不超过色数的k倍及最大色数的2k-1倍，并借助拓扑工具建立多面体与分数色数、匹配及覆盖数的联系。
2025-04-23 math.AT math.CO
Dominator Colorings of Digraphs
本文将图的控制着色问题首次推广到有向图的设置上。建立了路和圈的所有可能方向上的支配色数。在这方面的努力，我们发现，有无穷多个反例的图和子图对的子图有一个更大的支配色数比更大的图，它嵌入。最后，建立并研究了一个新的图不变量，它度量了图的支配色数与图的色数之差。本文的结论与一些可能的途径，为扩大这条线的研究。
2019-02-19 cs.DM math.CO
Disjoint unions and fixed-parameter algorithms for chromatic villainy
Hainan Bielefeld University of Applied Sciences（海南比勒费尔德应用科学大学）
本文研究色恶意与弱恶意的不交并性质，推导其增长规律、周期特性，否定无限制超可加性，给出固定参数可计算的精确值与阈值识别算法。
2026-10-12 math.CO
Revisiting a theorem by Folkman on graph colouring
我们给出了Jon H. 03 The Lost of the Woman（1969）任何图的色数至多是$2$加上所有子图上顶点数的一半与独立数之差的最大值。
2020-03-23 math.CO
On the independence ratio of distance graphs
距离图是整数上的一个无向图，其中两个整数相邻，如果它们的差在指定的距离集中。距离图$G$的独立比是$G$中独立集的最大密度。Lih，Liu和Zhu [Star extremal circulant graphs，SIAM J. Discrete Math.12（1999）491- 499]证明了独立比等于分数色数的倒数，从而将该概念与找到距离图的色数的充分研究的问题联系起来。我们证明了距离图的独立比是由一个周期集实现的，我们提出了一个框架，放电参数证明独立比的上界。利用这些工具，我们确定了几个大小为3的距离集的无限族的精确独立比，确定了其他距离集的渐近值，并给出了几个例子。
2014-01-28 math.CO
Divided difference operators for Hessenberg representations
本文针对A型正则半单Hessenberg簇等变上同调环的对称群扭曲表示，利用有限差分算子将其分解为子表示直和，范畴化了色拟对称函数间的模关系。
2025-07-08 math.AG math.AT math.CO
The Graph of Critical Pairs of a Crown
有一种自然的方式将偏序集$P$与超图$H$联系起来，称为临界对超图，使得$P$的维数恰好等于$H$的色数。$H$的边具有可变的大小，但是考虑由大小为~2的$H$的边形成的图$G$是有意义的。$G$的色数小于或等于$P$的维数，并且两个值之间的差可以任意大。然而，也有重要的情况下，这两个参数是相同的，我们在本文中研究其中之一。我们的重点是一个家庭$\{S_n^k:n\ge 3, k\ge 0\}$的高度两偏序集称为冠。我们证明了冠图$S_n^k$的临界对的图$G_n^k$的色数与$S_n^k$的维数相同，即已知的维数为$\lceil 2(n+k)/(k+2)\rceil$ .事实上，这个定理作为更强结果的直接推论：$G_n^k$的独立数是$(k+1)(k+2)/2$。我们在对$G_n^k$中的独立集进行全面分析时获得了该定理，包括确定最大独立集（可逆和不可逆类型）中的第二大大小。
2017-08-22 math.CO
A new lower bound for the chromatic number of general Kneser hypergraphs
一般Kneser超图${\rm KG}^r(\mathcal{H})$是一个$r$ -一致超图，它以某种方式编码了一个基超图$\mathcal{H}$的边交点. $\mathcal{H}$的可染性缺陷是一个组合参数，它为${\rm KG}^r(\mathcal{H})$的色数提供了一个下界，这在Dol'nikov [Sibirskii Matematicheskii Zhurnal，1988}]、KSSY [Transaction of the American Mathematical Society，1992]和Ziegler [Inventiones Mathematicae，2002]的一系列著作中得到了解决。本文定义了一个新的组合参数--超图的均匀可染性亏度，给出了这些工作的一些共同改进。粗略地说，我们提出了一般Kneser超图的色数的一个新的下界，它大大改进了Ziegler的下界。它总是一样好齐格勒的下界，我们提供了几个家庭的超图这两个下界之间的差异是任意大的。这也是对一般Kneser超图的色数的Dol'nikov-Kessie下界的一个重要改进.此外，我们证明了一个结果，确保在一般Kneser超图的任何适当着色中存在一个彩色子超图，这加强了Meunier的结果[The Electronic Journal of Combinatorics，2014]。
2018-04-06 math.AT math.CO
The upper bound on number of graphs, with fixed number of vertices, that vertices can be colored with n colors
本文提出并证明了一个定理，该定理描述了具有固定顶点数|V|且能被固定n种颜色着色的图的个数的上界。界限使用2的幂将两个数字联系起来，而指数是|V|和n之间的差。本文还对顶点数为|V|和色数为色数n的图的个数给出了三个定理。
2003-11-25 math.CO
Vizing-Goldberg type bounds for the equitable chromatic number of block graphs
图$G$的均匀染色是图$G$的适当顶点染色，使得任意两个色类的大小相差至多1。在本文中，我们提出了一个猜想，提供了一个间隙一界的最小数量的颜色需要公平的颜色每个块图。换句话说，我们的猜想的上界和下界之间的差至多为1。因此，在某种意义上，这种情况类似于色指数，我们有经典的Vizing定理和Goldberg猜想。文中的结果支持了我们的猜想。更准确地说，我们验证了它在类的覆盖良好的块图，这是块图中的每个顶点属于一个最大独立集。我们还表明，猜想是真实的块图，其中包含一个顶点，不在于一个独立集的大小大于2。最后，我们验证了一些类图块图的猜想。为了得到我们的结果，我们得到了这些类的块图的结构特征。
2020-04-29 cs.DM math.CO
Equitable total coloring of corona of cubic graphs
图$G=(V,E)$的$V \cup E$的全部独立划分集的最小数目称为$G$的\emph{total chromatic number}，记为$χ''(G)$。如果任意两个完全独立集的基数之差至多为1，则$V \cup E$的最小完全独立划分集的个数称为\emph{equitable total chromatic number}，记为$χ''_=(G)$。本文研究了三次图的晕的均匀全染色问题，即$G \circ H$ .结果表明，不依赖于因子$G$和$H$的合理全色数，日冕$G \circ H$的合理全色数等于$Δ(G \circ H) +1$ .从而证实了Behzad在1964年提出的关于三次图的晕的全染色猜想（TCC）和Wang在2002年提出的关于三次图的晕的均匀全染色猜想（ETCC）。作为一个直接结果，我们得到所有三次图的冠都是1型的。
2018-11-04 cs.DM math.CO
On the Chromatic Polynomial and Counting DP-Colorings
图$G$的色多项式，记为$P(G,m)$，等于$G$的真$m$ -染色的个数.图$G$的列表色函数，记作$P_{\ell}(G,m)$，是自1992年以来一直在研究的色多项式的列表模拟，主要是通过与相应的色多项式的比较。DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。在本文中，我们介绍了一个DP-着色模拟的色多项式称为DP色函数，表示$P_{DP}(G,m)$，并提出了几个基本的开放问题，其中一些进展。出于已知的结果与列表颜色函数，我们表明，虽然DP颜色函数的行为类似于列表颜色函数的一些图，也有一些令人惊讶的差异。例如，Wang，Qian和Yan最近证明了，如果$G$是一个有$l$边的连通图，则$P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$无论何时都是$m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明，对于任何$g \geq 3$，都存在一个图$G$，其围长$g$使得当$m$足够大时$P_{DP}(G,m) < P(G,m)$。我们还研究了固定图$G$的$P(G,m) - P_{DP}(G,m)$的渐近性。我们开发的技术来计算$P_{DP}(G,m)$准确，并将其应用到某些类的图，如弦图，单圈图，和周期的和弦。最后，我们取得了进展，表明任何图$G$，有一个$p$，使$P_{DP}(G \vee K_p, m) =…
2020-07-10 cs.DM math.CO
Graph colorings under global structural conditions
十多年前的2008年，图论中出现了一种新的图着色，即图的{ \it彩虹连通着色}，随后又出现了图的{ \it真连通着色、单色连通着色、无冲突连通着色}等图着色的新概念。在近十年的研究中，我们发现这些新的图着色概念与经典的图着色有很大的不同。这些图的{ \it着色连接着色}是全新的着色，它们需要考虑图在着色下的全局结构性质（例如连通性）;而图的传统着色是仅考虑图的局部结构性质（邻顶点或边）的着色。经典染色和新的有色连通染色都能产生所谓的色数。我们称着色联络数为{ \it全局色数}，称经典或传统色数为{ \it局部色数}。本文旨在阐明色连通染色与传统染色的区别，并在此基础上提出了保持有色图全局结构性质的全局染色和全局色数的新概念.
2020-09-15 cs.DM math.CO
A unified proof of conjectures on cycle lengths in graphs
本文证明了一般图中两个给定端点之间存在路的一个最小度紧条件，其长度构成一个长等差数列，且其公差为1或2。这使我们能够获得一些精确的和最佳的结果，圈长度在给定的最小度，连通度或色数的图。更确切地说，我们用统一的方法证明了以下陈述。(1)每个最小度至少为$k+1$的图$G$包含模$k$的所有偶数长度的圈;此外，如果$G$是2-连通且非二部的，则它包含模$k$的所有长度的圈。(2)对所有的$k\geq 3$，每个$k$ -连通图都含有模$k$长度为零的圈. (3)每个最小度至少为$k+1$的3-连通非二部图都含有长度连续的$k$圈. (4)每个色数至少为$k+2$的图都含有长度连续的$k$圈.第一种说法是一个猜想的Lassen，第二个是一个猜想的迪恩，第三个是一个严格的答案问题的邦迪和文斯，第四个是一个猜想的Sudakov和Verstraëte。上述所有结果都是最好的。
2021-01-26 math.CO
On the chromatic number of random geometric graphs
给定具有公共概率分布$ν$的独立随机点$X_1,...,X_n\in\eR^d$和正距离$r=r(n)>0$，构造了一个顶点集为$\{1,...,n\}$的随机几何图$G_n$，其中当$\norm{X_i-X_j}\leq r$时，不同的$i$和$j$相邻.这里，$\norm{.}$可以是$\eR^d$上的任何范数，并且$ν$可以是具有有界密度函数的$\eR^d$上的任何概率分布。我们考虑$G_n$的色数$χ(G_n)$及其与团数$ω(G_n)$的关系为$n \to \infty$ . McDiarmid和Penrose均考虑了使用$r \ll (\frac{\ln n}{n})^{1/d}$时$r$的范围和使用$r \gg (\frac{\ln n}{n})^{1/d}$时的范围，结果显示这两种情况之间存在显著差异。在这里，我们锐化和扩展早期的结果，特别是我们认为“相位变化”的范围时，$r \sim (\frac{t\ln n}{n})^{1/d}$与$t>0$一个固定的常数。麦克迪米德和彭罗斯都要求在这个范围内的色数的行为。我们确定常数$c(t)$，使得$\frac{χ(G_n)}{nr^d}\to c(t)$几乎肯定。此外，我们发现了一个“尖锐的阈值”（除了当单位球平铺$d$ -空间时不太有趣的范数选择）：存在一个常数$t_0>0$，使得如果$t \leq t_0$，则$\f…
2011-08-27 math.CO math.PR
On the first group of the chromatic cohomology of graphs
The algebra of truncated polynomials A_m=Z[x]/(x^m) plays an important role in the theory of Khovanov and Khovanov-Rozansky homology of links. We have demonstrated that Hochschild homology is closely related to Khovanov homology via comultiplication free graph cohomology. It is not difficult to compute Hochschild homology of A_m and the only torsion, equal to Z_m, appears in gradings (i,m(i+1)/2) for any positive odd i. We analyze here the grading of graph cohomology which is producing torsion for a polygon. We find completely the cohomology H^{1,v-1}_{A_2}(G) and H^{1,2v-3}_{A_3}(G). The grou…
2006-07-13 math.CO math.GT
Linearity and Local Correctness in Weighted Colourings of Random Graphs
本文研究二项随机图的加权色数推广，证明其随最大顶点度数的线性增长依赖于边权重矩的有界性，并得出平衡子图局部正确加权染色的尖锐阈值结果。
2023-11-20 math.CO math.PR
Majority C-coloring of graphs
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）
研究图的多数C-着色，定义其色数并分析其性质，证明色数上界及不同图类中的结果，探讨色数与经典色数的关系及决策问题复杂性。
2026-04-22 math.CO
Four NP-complete problems about generalizations of perfect graphs
我们证明了以下问题是NP完全的。1.一个图的顶点集能否划分为两个集合，使得每个集合都导出一个完美图？2.图的每一个诱导子图的色数与团数之差是否至多为$1$？3.一个图的每个诱导子图的顶点集能否划分为两个集合，使得第一个集合诱导出一个完美图，并且由第二个集合诱导出的图的团数小于原诱导子图的团数？4.一个图是否包含一个独立集，它的删除导致一个完美图？这四个问题的NP-完全性的证明遵循相同的模式：利用Maffray和Preissmann关于无三角形图的$3$ -可着色性和$4$ -可着色性的结果，证明了这四个问题在限制于无三角形图时都是NP-完全的
2017-05-16 math.CO
Hadwiger--Nelson Problem for Typical Norms
Princeton University（普林斯顿大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Vienna（维也纳大学）；Leipzig University（莱比锡大学）
本文研究典型范数的Hadwiger--Nelson问题，将单位距离图色数的上界从指数改进为线性（至多2d且紧），并借助高维矩阵推广的Lonely runner猜想解决了相关猜想。
2026-09-30 math.CO math.MG
Chromatic discrepancy of locally $s$-colourable graphs
本文研究图的色不变量，证明无三角形图下界为$\chi(G)-2$，提出局部$s$-可着色图的猜想$\phi(G)\ge\chi(G)-s$，并在特定条件下证明，同时给出无$C_{\ell+1}$图的改进下界。
2025-08-05 cs.DM math.CO
Cover numbers by certain graph families
该研究定义了图关于特定图类的覆盖数，推导了一类图覆盖数的精确公式，建立了含五个覆盖数的不等式链并证明差值可任意大，还证明单极图覆盖数无法用色数或团数表示。
2025-02-21 math.CO
Enumeration of Golomb Rulers and Acyclic Orientations of Mixed Graphs
\emph{Golomb ruler}是不同整数的序列（统治者的\emph{markings}），其成对差异是不同的。Golomb规则可以追溯到20世纪30年代的加法数论，并吸引了最近对存在问题的研究活动，例如寻找\emph{optimal} Golomb规则（给定固定数量的标记的最小长度）。我们的目标是以系统的方式枚举Golomb规则：我们研究[g_m（t）：= # { \x \in \Z^{m+1}：\，0 = x_0 < x_1 <. < x_{m-1} < x_m = t，\text{all} x_j - x_k \text{distinct} }，]具有$m+1$标记和长度$t$的哥伦布标尺的数量。我们的主要结果是，$g_m(t)$是一个准多项式在$t$满足组合互易定理：$(-1)^{m-1} g_m(-t)$等于统治者的数量$\x$的长度$t$与$m+1$标记，每个计数与其\emph{Golomb multiplicity}，这措施有多少组合不同的哥伦布统治者是在一个小邻域的$\x$。我们的互易定理可以用与Golomb规则相关的某些混合图来解释;在这种语言中，它让人想起Stanley的色多项式互易定理。因此，在本文的第二部分中，我们开发了一个类似的斯坦利定理的混合图，连接他们的色多项式的非循环方向。
2011-10-27 math.CO math.NT
Acyclic dichromatic number of oriented graphs
University of Southern Denmark（南丹麦大学）；Shandong University（山东大学）；National Institute of Informatics（信息学研究所）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
本文研究了有向图的无环二色数，定义并分析了其与传统二色数的区别，证明了在某些图中无环二色数可能远大于传统二色数，并展示了相关复杂性结果。
2025-11-25 cs.DM math.CO
On the Subspace Choosability in Graphs
一个图$G$被称为是域$\mathbb{F}$上的$k$ -子空间可选的，如果对于$\mathbb{F}$上的某个有限维向量空间的$k$ -维子空间到$G$的顶点的每个赋值，可以从它的子空间中为每个顶点选择一个非零向量，使得相邻的顶点接收$\mathbb{F} $上的正交向量。$G$在$\mathbb{F}$上的子空间选择数是$G$是$k$ -在$\mathbb{F}$上可选择的子空间的最小整数$k$。由Haynes、Park、Schaeffer、Webster和Mitchell（Electron. J. Comb.，2010年），受到了图的色数的充分研究的变体的启发，例如（颜色）选择数和正交维数。研究了不同域上图的子空间选择数。首先证明了在任意域上，平均度为$d$的图的子空间选择数至少为$Ω(\sqrt{d/\ln d})$。然后，我们专注于二分图，并考虑估计的问题，对于一个给定的整数$k$，最小的整数$m$的子空间选择数的完全二分图$K_{k,m}$超过一个字段$\mathbb{F}$超过$k$。我们证明这个数量的上限和下限，以及这个问题的几个扩展。我们的结果意味着选择数和子空间选择数的行为之间有很大的差异。我们还考虑了计算方面的子空间选择数，并表明，对于每一个$k \geq 3$它是$\mathsf{NP}$ -很难决定是否一个给定的二分图在$\mathbb{F}$的子空间选…
2022-04-12 math.CO
On Some Bi-Cayley Graphs over Cyclic Groups of Order $p^2 q^2$ and Related Extensions
Universitas Gadjah Mada（加查马达大学）；Ferdowsi University of Mashhad（马什哈德费尔多西大学）
本文研究了阶为$p^2 q^2$的循环群上的双Cayley图的结构和性质，证明其连通性、双正则性及环长为三，并扩展了相关结果到更一般的有限群情况。
2026-03-10 math.CO math.GR
Variants of spectral Turán theorems and eigenvectors of graphs
本文证明谱Turán不等式的局部版本并刻画极值图，建立Ore问题的谱对应，并否定Gregory猜想，提出修正版本。
2024-03-19 math.CO
Structured Codes of Graphs
本文研究了图族在一个基数为$n$的公共顶点集上的最大规模，使得族中任意两个成员的边集的对称差满足一定的条件.我们完全解决了这个问题的无穷多个值的$n$时，规定的条件是连接或$2$ -连接，Hamilton性或包含的一个跨越星。我们还调查当地的条件，可以通过只看一个子集的顶点集认证。在这些情况下，容量型渐近不变量的定义和条件是包含一定的子图，这个不变量是一个简单的函数的色数，这所需的子图。这是证明使用经典的结果从极值图论。几个变量被认为是和文件结束时收集的开放性问题。
2022-04-01 cs.IT math.CO math.IT
Invariant chains of graphs
Hanoi University of Science and Technology（河内科技大学）；Indian Institute of Science Education and Research, Thiruvananthapuram（印度科学教育研究所特里凡得琅分校）；FPT University（FPT大学）
该研究系统探讨图的Inc-不变链的渐近性质，证明独立数、匹配数等组合不变量呈现稳定、线性或拟多项式等刚性渐近行为，揭示受递增对称性支配的图族的强渐近正则性。
2026-08-19 math.AC math.CO
