Terracini轨迹与余维数为1的Alexander-Hirschowitz定理
Terracini loci and a codimension one Alexander-Hirschowitz theorem
AI总结：
本文在Alexander-Hirschowitz定理基础上，完整刻画了二维射影空间中Terracini轨迹存在余维数为1的不可约分支的充要条件，推进了该领域的分类研究。
摘要：
Terracini轨迹$\n\b\bT(n, d; x)$是射影空间$\n\bP^n$中所有基数为$x$的有限子集$S$的轨迹，满足$\n\blangle S \nrangle = \n\bP^n$，$h^0(\n\bI_{2S}(d)) > 0$，且$h^1(\n\bI_{2S}(d)) > 0$。著名的Alexander-Hirschowitz定理对满足$\n\bdim\n\bT(n, d; x)=xn$的三元组$(n,d,x)$进行了分类。本文完整刻画了$n=2$情形下的下一步结果：证明$\n\bT(2,d;x)$至少存在一个维数为$2x-1$的不可约分支，当且仅当要么$(d,x)$属于集合$\n\b{(4,4),(4,6),(5,6),(5,7),(6,9),(6,10)}$，要么$d\nge 7$、$d\nequiv 1,2 \n\bmod{3}$且$x=(d+2)(d+1)/6$。
英文摘要：
The Terracini locus $\mathbb{T}(n, d; x)$ is the locus of all finite subsets $S$ of $ \mathbb{P}^n$ of cardinality $x$ such that $\langle S \rangle = \mathbb{P}^n$, $h^0(\mathcal{I}_{2S}(d)) > 0$, and $h^1(\mathcal{I}_{2S}(d)) > 0$. The celebrated Alexander-Hirschowitz Theorem classifies the triples $(n,d,x)$ for which $\dim\mathbb{T}(n, d; x)=xn$. Here we fully characterize the next step in the case $n=2$, namely, we prove that $\mathbb{T}(2,d;x)$ has at least one irreducible component of dimension $2x-1$ if and only if either $(d,x)\in\{(4,4),(4,6),$ $(5,6),(5,7),$ $(6,9),(6,10)\}$, or $d\ge 7$, $d\equiv 1,2 \pmod{3}$ and $x=(d+2)(d+1)/6$.
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