A combinatorial approach to Alexander-Hirschowitz Theorem based on toric degenerations
Silvia Brannetti
我们提出了另一种证明亚历山大-Hirschowitz定理在3维使用退化的环面品种。
We present an alternative proof of the Alexander-Hirschowitz Theorem in dimension 3 using degenerations of toric varieties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A new proof of the Alexander-Hirschowitz interpolation Theorem
经典的多元多项式插值问题可以推广到具有更大重数的点的情形。到目前为止，我们所知道的基本上都集中在亚历山大-赫茨霍维茨定理中，该定理说，P^r中的二重点的一般集合给出了d次超曲面的线性系L上的独立条件，除了一个众所周知的例外。我们提出了这个定理的一个新的证明，它包括在执行退化的P^r和分析L如何退化。
On the Alexander-Hirschowitz Theorem
Alexander-Hirschowitz定理说，在${\bf P}^n$中的$k$二重点的一般集合对$d$次的齐次多项式施加了独立的条件，并有一个众所周知的例外列表。亚历山大和Hirschowitz完成了证明在1995年，解决了一个长期存在的经典问题，连接与华林问题的多项式。我们暴露了一个独立的证明，主要是根据以前的作品Terracini，Hirschowitz，亚历山大和钱德勒，有一些简化。我们声称只有在$d=3$的情况下，我们的证明是较短的独创性。我们结束了对这个问题的工作的历史帐户。
The Alexander-Hirschowitz theorem and related problems
我们提出了一个著名的结果，由于亚历山大和Hirschowitz的证明，确定当一般的一组二重点在$\mathbb P^n$有预期的希尔伯特函数。我们的目标受众是交换代数谁可能是新的插值问题。特别是，我们演示的主要目的是提供一个包含所有细节（包括一些我们在文献中找不到的细节）的独立证明。此外，考虑到我们的目标受众，我们增加了（a）简短的附录，使这一调查更容易和（b）一些开放的问题有关的亚历山大-赫茨霍维茨定理和插值问题。
An asymptotic Alexander-Hirschowitz theorem for surfaces
设X是C上的光滑射影曲面，L是X上的一个充裕线丛.本文证明了，对所有充分大的d，X上任意多个一般二重点对线性系施加了期望的条件数|L^d|.等价地，X在任意一般点处奇异的d平面截面的空间具有期望维数。我们猜想，对于任意维数的X，同样成立。
On the Hartshorne-Hirschowitz theorem
Hartshorne-Hirschowitz定理说，$\mathbb{P}^n$中的线的一般并集，即$(n\geq 3)$，有很好的假设。Hartshorne和Hirschowitz在初始情形$\mathbb{P}^3$中的证明是困难和冗长的，这是通过具有两条斜线的性质的光滑二次曲面的专门化方法来处理的。我们提供了一个证明的情况下$\mathbb{P}^3$基于一个新的退化的不相交线通过一个平面$H\cong\mathbb{P}^2$，我们称之为$(2,s)$ -锥配置，这是一个示意性的联盟$s$相交线通过一个单点$P$连同一个$s$ -多点支持在$P$上的双平面$2H$。在本文的第一部分，我们讨论了我们的退化归纳方法。我们证明了一个$(2,s)$锥配置是一个退化的$s$不相交线在$\mathbb{P}^3$，或更一般地在$\mathbb{P}^n$。在本文的第二部分中，我们使用这种退化的一种有效的方法来表明，在$\mathbb{P}^3$线的一般联盟施加独立的条件上的线性系统$|\mathbb{O}_{\mathbb{P}^3}(d)|$的表面给度$d$。我们退化方法背后的基本动机是，它看起来更系统化，这给了一些希望，在高维空间中的类似问题，即在$\mathbb{P}^{2m+1}$的$m$维平面的假设问题的扩展。
The Alexander-Hirschowitz theorem for neurovarieties
本文研究了神经流形的亚历山大-希尔博茨定理，探讨了多项式神经网络在单输出情况下的维度特性，并推导了多输出架构的非缺陷性和全局可识别性。
Terracini loci and a codimension one Alexander-Hirschowitz theorem
本文在Alexander-Hirschowitz定理基础上，完整刻画了二维射影空间中Terracini轨迹存在余维数为1的不可约分支的充要条件，推进了该领域的分类研究。
Tangential Alexander polynomials and non-reduced degeneration
本文引入了平面曲线切向Alexander多项式的概念，并研究了它与$θ$ ^Alexander多项式的关系。作为应用，我们利用这些多项式研究了非约化退化$C_t \to D_0+jL$。证明了基本群存在一定的满射性和它们的Alexander多项式之间的整除性。
A tropical approach to secant dimensions
热带几何产生良好的下界，在某些组合多面体优化问题，割线品种的尺寸。特别是，它给出了一个有吸引力的图形证明定理的赫希霍维茨，所有Veronese嵌入的射影平面除了二次和四次一个是没有缺陷的;这一证明可能是generalisable涵盖所有Veronese嵌入，其割线尺寸是已知的开创性的，但困难的工作亚历山大和赫希霍维茨。此外，某些Segre嵌入的非缺损性被证明，这不能证明与车覆盖的论点已经在文献中已知的。简短的自我包含介绍割线品种和所需的热带几何包括在内。
Computing limit linear series with infinitesimal methods
Alexander和Hirschowitz在射影空间中确定了当胖点的个数远大于胖点的最大重数时胖点的一般并集的Hilbert函数。他们的方法是基于一个引理，该引理确定了一个线性系的极限，该极限取决于接近除数的胖点。另一方面，永田在其关于希尔伯特第十四问题的反例中确定了平面上k ^2个重数m相同的点的并的希尔伯特函数H（d），直到d=km。介绍了一种确定线性系极限的新方法。这推广了Alexander和Hirschowitz的结果。我们的主要应用这种方法是由永田发起的工作的结论：我们计算H（d）的所有d。作为第二个应用程序，我们确定了一般的连续碰撞的四个脂肪点相同的多重性在平面上。
Interpolation in Weighted Projective Spaces
本文利用交换代数方法研究加权射影空间中的双重插值问题，证明一般简单点的 Hilbert 函数具有预期行为，并通过归纳程序和 Terracini 引理给出 Alexander-Hirschowitz 定理在加权射影平面中的无例外情形及无穷族插值下界。
Secant varieties to osculating varieties of Veronese embeddings of $\mathbb{P}^n$
Alexander-Hirschowitz的一个著名定理指出，$V_{n,d}$的所有高阶割线变种（$\mathbb{P}^n$的$d$ -二次嵌入）都具有预期的维数，只有少数已知的例外。本文研究了$V_{n,d}$的切簇$T_{n,d}$的同样问题，并证明了一个猜想，它类似于$n\leq 9$的Alexander-Hirschowitz定理.而且。我们证明了它对任何$n,d$都成立，如果它对$d=3$成立。然后，我们推广到$O_{k,n,d}$的情况下，$k$密切品种$V_{n,d}$，证明，为$n=2$，一个猜想，涉及的缺陷$σ_s(O_{k,n,d})$的希尔伯特函数的某些集的脂肪点在$\mathbb{P}^n$。
3-dimensional sundials
Robin Hartshorne和Alexander Hirschowitz证明了$\mathbb P^n$上的一般线集合$n \geq 3$具有双多项式Hilbert函数。我们通过考虑线和$3$维日晷（即，通过对斜交线进行退化而得到的方案的并集）。
Degenerations of Planar Linear Systems
将$n$一般点$p_i$固定在平面中，对于每个$i$，在$p_i$处具有重数$m_i$的次数$d$的平面曲线的空间的维数是多少？在这篇文章中，我们提出了一种方法来解决这个问题，并证明它成功地计算这个维度的所有$n$和$m_i$常数，最多3。这个应用程序，而以前已知的（见\cite{hirschowitz1}），证明了我们的方法，这是基于相应的线性系统的分析退化的平面本身的效用，导致这些方面的一个简单的递归。我们还获得结果的“准双”的情况下，所有的多重性是平等的，除了一个，这是自然的家庭考虑在递归。
Linear Systems of Plane Curves with Base Points of Equal Multiplicity
本文讨论了用$n$一般重点$m$计算$d$次平面曲线空间的维数问题。Harbourne和Hirschowitz的一个猜想暗示，当$d \geq 3m$时，维数等于由Riemann-Roch定理给出的期望维数。此外，尺寸大于预期的系统应具有包含多个$(-1)$曲线的固定部分。我们重新明确列出这些系统，有意想不到的尺寸这个猜想。然后，我们使用退化技术在以前的文章（“退化的平面线性系“，alg-geom/9702015），以表明该猜想适用于所有$m \leq 12$。
Linear systems in $\mathbb{P}^2$ with base points of bounded multiplicity
对于基点的重数小于等于7的线性系，利用著名的射影平面的退化和将点专门化到直线上的组合技巧，给出了Harbourne-Hirschowitz猜想的一个证明.
Dimension of linear systems: a combinatorial and differential approach
我们给出了一些线性系统的维数的上界。该定理改进了Alexander-Hirschowitz提出的微分Horace方法，并由Simpson证明。可能的应用是微积分的维度的线性系统的超曲面在一个射影空间$\PP^n$一般规定的奇异性，和微积分的碰撞胖点在$\PP^2$。这些应用将被单独对待，但在介绍中有一个简单的例子解释了如何使用定理。
All secant varieties of the Chow variety are nondefective for cubics and quaternary forms
形式的Chow秩是其分解为线性型的乘积之和的最小分解的长度。对于一般形式，这对应于找到填充周围空间的Chow簇的最小正割簇。我们确定周秩的通用三次和四元形式证明nondefectivity的所有涉及割线品种。在我们的证明中的主要新成分是一种技术的推广[Brambilla和Ottaviani，在亚历山大-Hirschowitz定理，纯应用代数，2008年]，其中包括采用Terracini引理和牛顿的向后差分公式来计算任意投影簇的割线簇的维数。通过这种归纳构造，非缺陷性的证明最终归结为证明一些基本情况。这些都是通过计算机辅助证明解决的，因为涉及的空间尺寸很大。在我们的证明中所需的最大的基本情况包括计算从嵌入在$\mathbb{P}^{98769}$中的度$82$周品种的$400$ th正割品种构造的向量空间的维数。
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