Universal rigidity on the line, point order
我们证明了一个通用的杆和关节框架（G，p）的线上的通用刚度取决于更多的顶点的顺序。特别是，我们构建的一维通用框架的例子具有相同的图形和顶点的顺序，这样一个是普遍刚性的，一个不是。这就否定地回答了乔丹和阮的一个问题。
2021-04-05 math.AG math.CO math.MG
Block-diagonalized rigidity matrices of symmetric frameworks and applications
在本文中，我们给出了一个完整的自包含的证明，刚度矩阵的对称杆和关节框架（以及其转置）可以转化为块对角化的形式，使用技术从组表示论。这个定理是一些有用的和有趣的结果对称框架的刚度和灵活性的基础。作为一个例子，我们使用这个定理来证明推广的福勒-客人对称扩展麦克斯韦规则，可以适用于内射和非内射实现在所有维度。
2009-06-18 math.CO math.MG
Coincident-point rigidity in normed planes
杆-关节框架$(G,p)$是图$G$和映射$p$的组合，该映射在某个空间中将位置分配给$G$的顶点。框架是刚性的，如果每一个边长保持连续运动的顶点产生的等距空间。我们将分析当空间是（非欧几里德）赋范平面且两个指定顶点映射到同一位置时的刚性。这个非一般性假设使我们得到了一个由Jackson、Kaszanitsky和第三作者首次提出的计数拟阵。我们表明，在这个拟阵的独立性是等价的独立性作为一个适当的定期酒吧联合框架在一个赋范平面上有两个重合点，这表明当一个定期赋范平面重合点框架是刚性的，并允许我们推导出删除合同表征。然后，我们应用这一结果表明，一个重要的建设操作（广义顶点分裂）保持较强的性能，在赋范平面的全球刚性，并使用它来构建丰富的家庭的全球刚性图时，赋范平面是解析的。
2021-12-20 math.CO math.MG
Pairing symmetries for Euclidean and spherical frameworks
本文在$\mathbb{R}^d$中考虑了对称性对杆件框架、球形框架和点超平面框架刚度的影响。特别是，我们表明，在强迫或偶然对称，无穷小刚度的球面框架与顶点在$X$的赤道和点超平面框架的顶点在$X$代表超平面是等价的。然后，我们表明，再次强迫或偶然的对称性，在某些对称群下的无穷小刚性属性可以配对，或集群，在反演的领域，使无穷小刚性与一个给定的组是等价的无穷小刚性下一个配对组。最基本的例子是镜面对称刚度等价于2-球面上的半圈对称刚度。有了这些结果在手，我们还推导出一些组合的对称杆节点和点线框架的刚度的后果。
2019-06-06 math.CO math.MG
Rigidity of Symmetric Simplicial Complexes and the Lower Bound Theorem
本文证明了对称单纯复形的刚性结果，验证了Klee等人的猜想，并将Stanley关于中心对称多胞形的下界定理推广至具有自由单纯对合的伪流形。
2023-04-10 math.CO
Orientation-Reversing Crystallographic Rigidity
本文用组合方法刻画了平面中关于$pm$等反向定向壁纸群对称的杆-关节框架的一般强制对称刚性，并给出增益图的Henneberg型归纳构造。
2025-02-20 math.CO
Rigidity for the Hopf algebra of quasi-symmetric functions
研究了拟对称函数的霍普夫代数${\rm QSym}$分别关于单式基、基本基和拟对称Schur基的刚性.通过建立拟对称函数的类似Pieri规则所产生的复合偏序集的一些组合性质，证明了${\rm QSym}$作为代数关于拟对称Schur基是刚性的，作为余代数分别关于单项式和拟对称Schur基是刚性的.标号合成的逆、补、转置等自然作用导致了${\rm QSym}$的一些非平凡分次（余）代数自同构。我们证明了由这三个作用诱导的线性映射是唯一的非平凡的分次代数自同构，其基本基为自身。此外，标号上的补映射给出了唯一的保持基本基的非平凡分次余代数自同构，而标号上的逆映射给出了唯一的保持单项基的非平凡分次代数自同构.因此，${\rm QSym}$作为一个霍普夫代数对于单项式和拟对称Schur基是刚性的.
2019-06-17 math.CO
Rigidity of symmetric frameworks in normed spaces
本文在一般有限维赋范空间中建立了对称杆系框架的组合刚度理论。在旋转对称的情况下，拟阵麦克斯韦型稀疏计数被确定为一个大类的$d$维赋范空间（包括所有的$\ell^p$空间与$p\not=2$）。完整的组合特性获得半圈旋转的$\ell^1$和$\ell^\infty$平面。作为一个关键工具，一个新的Henneberg型归纳构造的拟阵类的$(2,2,0)$ -增益紧图。
2020-04-16 math.CO math.MG
Infinitesimal Rigidity of Symmetric Frameworks
提出了新的自适应刚度矩阵，用于分析任意维阿贝尔点群对称杆系的无穷小刚度。这些矩阵定义了群标商图上新的自适应刚性拟阵。使用这些新工具，我们建立了无限刚性二维杆件接头框架的组合特征，这些框架的接头位置尽可能通用，但受到平面内反射、半转或三重旋转施加的对称性约束。对于平面上任意一个循环点群都是通用的杆节点框架，我们给出了无穷小刚度的若干必要条件。
2014-02-04 math.CO math.MG
Rigidity of quasicrystallic and Z^γ-circle patterns
在给定组合数学和某些边界条件的情况下，证明了Bobenko和Agafonov研究的正交Z^γ-圆模式的唯一性。此外，我们还研究了平面上的（无限）菱形嵌入，它们是拟菱形的，即它们只有200个不同的边方向。对菱形的顶点进行双色，并在其中一种颜色的顶点上添加圆心和半径等于边长的圆，这就产生了等径准菱形圆图案。我们证明了一个大类的这样的圆形图案，覆盖整个平面，他们是唯一确定的仿射变换的组合和相交角。结合这两个结果，我们得到了大类拟对称Z^γ-圈模式的刚性.
2010-01-20 math.CO math.MG
Rank Contributions of Vertices in Rigidity Matroids of Clique Covered Graphs
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）；HUN-REN-ELTE Egerváry Research Group on Combinatorial Optimization（匈牙利研究与教育网络-罗兰大学组合优化Egerváry研究组）；Department of Operations Research, ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学运筹学系）
本文针对$d=3$的刚性拟阵秩函数开放问题，研究$K_t$-覆盖图，引入顶点秩贡献概念，证明相关猜想并得到$K_4$、$K_5$-覆盖图刚性的新连通性条件。
2026-07-30 math.CO
The orbit rigidity matrix of a symmetric framework
最近的一些论文研究了对称性何时会导致图上的框架变得无限灵活或受压，以及何时没有影响。一些其他最近的论文研究了特殊类别的框架一般刚性图，这是有限的机制。在这里，我们引入一个新的工具，轨道矩阵，它连接这两个领域，并提供了一个矩阵表示完全对称的无穷小弯曲，和对称框架的完全对称应力。轨道矩阵是一般框架的标准刚度矩阵的真实模拟，它的分析为研究对称框架在所有维度上的柔性和刚度问题提供了重要的见解。随着这种对完全对称的无穷小运动的更窄的关注，来预测保序有限机构的能力-给出一个简化的分析，涵盖了广泛的已知机构，并概括了已知机构的类别。这种初步探索的轨道矩阵的性质也开辟了一些新的问题和可能的扩展以前的结果，包括转移的对称性为基础的结果从欧几里得空间球面，双曲，和其他一些度量共享对称群和基本的射影几何。
2010-06-04 math.CO math.MG
Spectral conditions for graph rigidity in the Euclidean plane
刚性是结构不弯曲的特性。它在离散几何和力学中得到了很好的研究，并在材料科学，工程和生物科学中有应用。杆-关节框架是图$G$的一对$(G,p)$以及$G$的顶点到欧几里得平面的映射$p$。我们将$(G, p)$的边视为条，将顶点视为万向节。只要保持相邻顶点对之间的距离，顶点就可以连续移动。如果任何这样的运动保持所有顶点对之间的距离，则框架是刚性的。1970年，Laman得到了欧氏平面上刚性图的一个组合刻画。1982年，Lovász和Yemini发现了一个新的刻画，证明了每个$6$ -连通图都是刚性的。结合全局刚性的特征，他们的证明实际上意味着每个6-连通图都是全局刚性的。因此，如果Fiedler的代数连通度大于5，则$G$是全局刚性的。本文改进了这一界，证明了对于具有最小度$δ\geq 6$的图$G$，若其代数连通度大于$2+\frac{1}{δ-1}$，则$G$是刚性的;若其代数连通度大于$2+\frac{2}{δ-1}$，则$G$是全局刚性的.我们的结果意味着每个度至少为$8$的连通正则Ramanujan图是全局刚性的。我们还证明了一个更一般的结果，给出了$k$边不相交生成刚性子图存在的一个充分谱条件。同样的条件意味着一个图包含$k$边不相交的生成$2$连通子图。这一结果推广了以前的边不相交生成树的谱条件。
2021-03-01 math.CO math.GT
Inverse-Limit Formulas and Stable-Range Rigidity for Cyclotomic Sums
本文研究了循环求和的逆极限公式，证明了稳定性范围内的刚性定理，并通过乘法不变量分析了余弦点的系数提取。
2026-02-07 math.CO
Enumerating combinatorial resultant decompositions of 2-connected rigidity circuits
本文研究2连通刚性回路的组合结式分解枚举问题，提出只需枚举可在多项式时间内得到的2-split分解即可获得良好消元策略，并给出算法与计算证据。
2023-09-21 cs.CG math.CO
Finite point configurations in the plane, rigidity and Erdos problems
对于一个有限点集$E\subset \mathbb{R}^d$和一个在$k+1$顶点上的连通图$G$，我们定义了一个$G$ -框架为E中的一个$k + 1$点的集合，使得如果$G$的相应顶点由一条边连接，则指定了一对点之间的距离.如果指定的边距离相同，我们认为两个框架相同。我们发现严格的界限，这样的不同距离图纸刚性图在平面上，部署著名的结果Guth和Katz。我们引入了一个同余关系更广泛的一组图，表现很好，在这两个真正的离散和连续设置。我们提供了一个尖锐的限制，这样的同余类的数量。然后，我们提出了一个猜想，刚性图上的紧界应适用于所有的图。这似乎是一个困难的问题，即使在非刚性2-链的情况下。然而，我们提供的证据来支持的猜想证明，如果Erd \H os pinned距离猜想在维度$d$，然后在维度$d$的所有图形的结果如下。
2018-05-17 math.CO
Sufficient conditions for bipartite rigidity, symmetric completability and hyperconnectivity of graphs
HUN-REN-ELTE Egerváry Research Group on Combinatorial Optimization（匈牙利研究与创新网络-罗兰大学埃格瓦里组合优化研究组）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）；Department of Operations Research, ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学运营系）
本文研究了三种图的matroid，给出图在这些matroid中达到最大可能秩的充分条件，并探讨了低秩矩阵唯一可补全性的 implications。
2026-03-13 math.CO
Centrally symmetric and balanced triangulations of $\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^{d-3}$ with few vertices
通过计算机搜索，可以在较低维度中找到球面积的小三角剖分，并且在其他一些情况下也是已知的：Klee和Novik构建了一个中心对称的$d\geq 3$与$1\leq i\leq d-2$顶点的三角剖分;他们还提出了一个平衡的$\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^{d-2}$与$3d$或$3d+2$顶点的三角剖分。本文给出了另一种中心对称的$(2d+2)$ --$\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^{d-3}$的顶点三角剖分.我们还构造了第一个平衡的三角剖分的$\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^{d-3}$与$4d$顶点，使用球分解手柄理论的启发。
2019-10-17 math.CO
Flexible circuits in the $d$-dimensional rigidity matroid
$\mathbb{R}^d$中的杆-关节框架$(G,p)$是刚性的，如果顶点的唯一边长保持连续运动来自$\mathbb{R}^d$的等距。已知当$(G,p)$是泛拟阵时，其刚性仅依赖于底层图$G$，并由泛$d$维刚性拟阵$\mathcal{R}_d$中$G$的边集的秩决定.当$d=1,2$时，这个拟阵的秩函数的完整组合描述是已知的，并且当$d=1,2$时，意味着$\mathcal{R}_d$中的所有电路在$\mathbb{R}^d$中是一般刚性的。确定$\mathcal{R}_d$的秩函数是$d\geq 3$时的一个长期存在的开放问题，并且$d\geq 3$的$\mathcal{R}_d$中非刚性电路的存在是导致该问题如此困难的主要因素。我们开始研究非刚性电路的特点，在$\mathcal{R}_d$，最多有$d+6$顶点的非刚性电路。
2023-03-24 math.CO math.MG
Rigidity of symmetric frameworks on the cylinder
本文研究三维空间中限制在圆柱面上运动的对称杆-铰框架的刚性问题，给出了有限点群对称下框架等静力的必要组合条件，并证明循环对称（反演、半转、反射）下该条件在通用假设下充分，得到对称等静力图的精确组合刻画。
2023-12-15 math.CO math.MG
Linking Rigid Bodies Symmetrically
体杆和体铰机构刚度的数学理论为工程、机器人学和生物化学中出现的许多铰接结构的刚度和柔性分析提供了有用的工具。在本文中，我们开发了一个对称的扩展，该理论允许刚度分析的身体杆和身体铰链结构与点群对称。杆体框架的无穷小刚度可以很自然地用外（或格拉斯曼）代数的语言来表述。使用这个代数公式，我们推导出的自适应刚度矩阵分析无穷小刚度的体杆框架与阿贝尔点群对称性在任意维度。特别是，从这些新的矩阵的模式，我们得到的无穷小刚体杆框架是通用的形式$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的点群的组合特征。我们的特征给出了在包装的符号图拟阵的基础上的商图。最后，我们还将我们的方法和结果推广到任意维阿贝尔点群对称的体铰链框架。作为这些结果的特殊情况下，我们得到的组合表征的无限刚性体铰链框架与$\mathcal{C}_2$或$\mathcal{D}_2$对称性-最常见的对称群蛋白质。
2014-02-01 math.CO math.MG
Rigidity of symmetric linearly constrained frameworks in the plane
本文将Streinu和Theran的二维线性约束框架泛刚性刻画推广至对称情形，给出平面对称线性约束框架在有限点群对称下等静力的必要组合条件，并证明阶数为2或奇数的旋转对称群下该条件在泛性假设中充分。
2023-12-19 math.CO math.MG
Triangulated Manifolds with Few Vertices: Centrally Symmetric Spheres and Products of Spheres
本文的目的是给一个调查的已知结果有关中心对称多面体，领域和流形。我们进一步列举了近邻中心对称球面和在少数顶点上具有二面角对称或循环对称的球面的中心对称乘积，并给出了一个无穷级数的点传递近邻中心对称3-球面.
2004-04-26 math.CO math.MG
Rigidity matroids and linear algebraic matroids with applications to matrix completion and tensor codes
OpenAI
本文通过刚性理论与线性代数构造的联系，研究了张量码的可恢复擦除模式及矩阵补全问题，并提供了新的组合描述。
2026-03-02 cs.DM cs.IT math.CO
The rigidity transition in random graphs
当我们在平面上的点之间添加刚性杆时，在哪一点上有一个巨大的（线性大小的）刚性组件，它可以旋转和平移，但没有内部柔性？如果这些点是通用的，则这仅取决于由条形形成的图的组合。我们证明，如果这个图是一个Erdos-Renyi随机图G（n，c/n），那么存在一个尖锐的阈值出现一个巨大的刚性组件。当c < c_2，w. h. p.时，所有刚性分支都跨越一个、两个或三个顶点，当c > c_2，w. h. p.时，存在一个巨刚性分支。常数c_2 \approx 3.588是2-可定向性的阈值，由Fernholz和Ramachandran以及Cain、Sanders和Wormald在SODA'07中独立发现。我们还给出了当巨刚性分支出现时它的大小的定量界，证明了它跨越（3+2）-核中顶点的（1-o（1））-分数。非正式地，（3+2）-核心是通过从3-核心开始，然后归纳地添加到目前为止获得的图中的具有2个邻居的顶点而获得的最大诱导子图。
2010-11-26 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cs.CG
Quotient graphs of symmetrically rigid frameworks
本文将周期框架商图提升理论推广到任意维对称框架，刻画多类点群下商图提升为对称刚性框架的条件，并给出有限群标记概率结果。
2022-02-18 math.CO math.MG
Centrally symmetric polytopes with many faces
我们提出了明确的建设中心对称多面体与许多方面：首先，我们构造一个d维中心对称多面体P，（1.316）n d个顶点，使得P的每对非对映顶点跨越P的一条边，其次，对于整数k>1，我们构建了一个d-一个任意高维数d的中心对称多面体P，其顶点数N任意大，使得对于某个0 < delta_k < 1（1-delta_k^d）{N choose k}顶点集的k个子集跨越P的面，第三，对于整数k>1和a>0，我们构造一个中心对称多面体Q，它具有任意大的顶点数N和维数d=k^{1+o（1）}，使得最小（1 - k^{-a}）{N choose k}顶点集的k-子集跨越Q的面。
2011-11-18 math.CO math.MG
Projective rigidity of point-line configurations in the plane
本文提出“射影刚性矩阵”框架研究平面上点线构型的保关联运动，并引入对称自适应矩阵分析对称构型及其保对称运动。
2025-03-05 math.AG math.CO math.DG
