弦弧域上的Dirichlet空间
Dirichlet spaces over chord-arc domains
AI总结：
本文研究可求长Jordan曲线上三种Dirichlet半范数的等价性，证明它们等价当且仅当该曲线为弦弧曲线，推广了Douglas关于单位圆的经典结果。
摘要：
若$U$是平面上具有紧支撑的$C^{\infty}$函数，我们令$u$为其在单位圆周$\mathbb{S}$上的限制，并用$U_i,\\,U_e$分别表示$u$在Riemann球面上单位圆内部和外部的调和延拓。大约一百年前，Douglas证明了\begin{align*} \iint_{\mathbb{D}}|\nabla U_i|^2(z)dxdy&= \iint_{\bar{\mathbb{C}}\backslash\bar{\mathbb{D}}}|\nabla U_e|^2(z)dxdy = \frac{1}{2π}\iint_{\mathbb S\times\mathbb S}\left|\frac{u(z_1)-u(z_2)}{z_1-z_2}\right|^2|dz_1||dz_2|, \end{align*} 从而给出了表示$u$的Dirichlet范数的三种方式。在可求长Jordan曲线$Γ$上，这三种表达式有显然的类似物，但一般当然不会相等。本文的主要目标是证明这三个（半）范数等价当且仅当$Γ$是弦弧曲线。
英文摘要：
If $U$ is a $C^{\infty}$ function with compact support in the plane, we let $u$ be its restriction to the unit circle $\mathbb{S}$, and denote by $U_i,\,U_e$ the harmonic extensions of $u$ respectively in the interior and the exterior of $\mathbb S$ on the Riemann sphere. About a hundred years ago, Douglas has shown that \begin{align*} \iint_{\mathbb{D}}|\nabla U_i|^2(z)dxdy&= \iint_{\bar{\mathbb{C}}\backslash\bar{\mathbb{D}}}|\nabla U_e|^2(z)dxdy &= \frac{1}{2π}\iint_{\mathbb S\times\mathbb S}\left|\frac{u(z_1)-u(z_2)}{z_1-z_2}\right|^2|dz_1||dz_2|, \end{align*} thus giving three ways to express the Dirichlet norm of $u$. On a rectifiable Jordan curve $Γ$ we have obvious analogues of these three expressions, which will of course not be equal in general. The main goal of this paper is to show that these $3$ (semi-)norms are equivalent if and only if $Γ$ is a chord-arc curve.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
