重探 $\mathbb{R}^n$ 中的径向投影
Radial Projections in $\mathbb{R}^n$ Revisited
AI总结：
本文通过两种方法推广 Orponen–Shmerkin–Wang 的径向投影维数下界结果，为全维度解决 Lund–Pham–Thu 猜想提供新途径，并得到独立的高维关联与对偶 Furstenberg 集估计。
摘要：
我们使用两种不同方法推广了 Orponen、Shmerkin 和 Wang 近期关于径向投影的结果。具体而言，我们证明：给定 Borel 集 $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ 且 $X\neq \emptyset$，若对某个 $k\in\{1,\dots,n-1\}$ 有 $\dim Y\in(k,k+1]$，则 $\sup_{x\in X}\dim \pi_x(Y\setminus\{x\})\geq\min\{\dim X+\dim Y-k,k\}$。我们的结果为在所有维度以及 $\dim Y$ 的所有范围内解决 Lund–Pham–Thu 猜想提供了一条新途径。证明上述定理的两种方法中，第一种较为简短，利用了第一作者与 Gan 的一项结果；第二种虽更长，却遵循 Orponen–Shmerkin–Wang 的原始方法论，并需要一个高维关联估计以及一个关于直线的对偶 Furstenberg 集估计。这些新估计本身可能具有独立价值。
英文摘要：
We generalize the recent results on radial projections by Orponen, Shmerkin, Wang using two different methods. In particular, we show that given $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ Borel sets and $X\neq \emptyset$. If $\dim Y \in (k,k+1]$ for some $k\in \{1,\dots, n-1\}$, then \[ \sup_{x\in X} \dim π_x(Y\setminus \{x\}) \geq \min \{\dim X + \dim Y - k, k\}. \] Our results give a new approach to solving a conjecture of Lund-Pham-Thu in all dimensions and for all ranges of $\dim Y$. The first of our two methods for proving the above theorem is shorter, utilizing a result of the first author and Gan. Our second method, though longer, follows the original methodology of Orponen--Shmerkin--Wang, and requires a higher dimensional incidence estimate and a dual Furstenberg-set estimate for lines. These new estimates may be of independent interest.
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