The Existential Closedness and Zilber-Pink Conjectures
本文综述存在闭性与Zilber-Pink两大猜想的历史与进展，聚焦其模形式版本及含模函数导数的新变体，并给出函数类比定理及新结果。
2024-03-14 math.CV math.LO math.NT
Polynomial exponential equations and Zilber's conjecture
假设Schanuel猜想，我们证明了任何多项式指数方程的一个变量必须有一个解决方案，是超越一个给定的生成域。利用丢番图几何中的一些新结果，我们（无条件）证明了某些多项式指数方程只有1/2个有理解。这肯定地回答了一个问题的大卫标记，谁问，并证明在案件的代数系数，是否至少一个变量的情况下齐伯的强指数代数封闭性猜想可以减少到Schanuel的猜想。
2015-11-24 math.LO math.NT
Zilber dichotomy for $DCF_{0,m}$
本文证明了微分闭域理论 DCF$_{0,m}$ 满足 Zilber 二分法：任何极小类型或局部模，或与常数域非正交，并补全了无限维情形的证明。
2024-11-07 math.LO
Strongly minimal group relics of algebraically closed valued fields
该研究针对代数闭值域（ACVF）的归约结构，证明了扩张加法群$(K,+)$或乘法群$(K^*,\cdot)$的归约满足齐尔伯三分法，推进了模型论中强极小结构分类的相关研究。
2024-01-26 math.LO
Involutions on Zilber fields
在回顾了Zilber域的定义及其背后的主要猜想之后，我们证明了直到连续统的基数的Zilber域具有对合，即，二阶自同构类似于（C，exp）上的复共轭。此外，我们还证明了对于连续统基数，存在一个对合，它的固定域作为实封闭的域与实数域同构，且核恰为2πiZ，从而回答了Zilber，Kirby，Macintyre和Onshuus的一个问题.证明是获得一个明确的建设的Zilber领域所需的性能。作为这一技术的进一步应用，我们还对Zilber域的指数子域进行了分类，并构造了一些具有对合的指数域，使得指数函数是保序的，甚至是连续的，并且除了强指数代数闭包之外，Zilber域的所有公理都得到了满足，而强指数闭包被一些较弱的公理所取代.
2013-05-25 math.LO math.NT
Zilber's Trichotomy in Hausdorff Geometric Structures
本文提出配备Hausdorff拓扑的几何结构类，给出Zilber三分法新公理化处理，证明实数类强极小遗迹可解释一维群，完成代数闭赋值域实数类三分法证明，并将所有类ACVF遗迹三分法简化为特征(0,0)下的技术条件。
2025-04-29 math.AG math.LO
Modular Zilber-Pink for geometrically generic varieties
University of Manchester（曼彻斯特大学）；Universität Wien（维也纳大学）
该研究证明，对满足特定投影条件的$\mathrm{Y}(1)^n$的子簇，模块化齐尔伯-平克猜想成立。
2026-08-19 math.AG math.LO math.NT
O-minimality and certain atypical intersections
我们证明了O-极小结构中的点计数策略可以应用于超越Manin-Mumford和André-Oort的不太可能的交叉点上的各种问题。在假设Galois轨道有一个下界和一个足够强的模Ax-Schanuel猜想的情况下，我们在一个模曲线的乘积中验证了所谓的Zilber-Pink猜想.在阿贝尔簇的背景下，我们得到了曲线的Zilber-Pink猜想，当一切都定义在数域上时，无条件。对于阿贝尔簇的高维子簇，我们得到了一些较弱的结果和一些条件结果。
2014-09-02 math.LO math.NT
Effective transcendental Zilber-Pink for variations of Hodge structures
我们证明功能字段版本的Zilber-Pink代数的品种支持的霍奇结构的变化。在不太可能交叉的背景下，志村品种的这些结果的一种形式如下。设$S$是具有固定拟投射嵌入的连通纯Shimura簇.我们证明了存在一个两个自然数自变量的显式可计算函数$B$，使得对于复数的任意域扩张$K$和Hodge一般不可约真子簇$X \subsetneq S_K$，$X$与$S$中维数小于$X$余维数的$X$的所有特殊子簇的并的交中的非常点集包含在$X$的真子簇中以$B(\operatorname{deg}(X),\dim(X))$为界的度。我们的技术是微分代数和依赖于Ax-Schanuel功能超越定理。我们使用这些结果表明，与志村品种的微分方程给出了新的例子，最小的，有时，强烈极小，平凡的分叉几何，但非$\aleph_0$范畴诱导结构的类型。
2021-05-12 math.AG math.LO math.NT
Strongly minimal groups in o-minimal structures
我们证明了Zilber的三分猜想的强极小的扩张的二维群，定义在O-极小结构：定理。设M是一个实封闭的域的o-极小扩张，（G;+）是一个可定义在M中的二维群，D =（G;+，.）一个强极小结构，它的所有原子关系都可以在M中定义。如果D不是局部模的，则一个代数闭域K在D中是可解的，并且群G及其所有的诱导D-结构在D中定义同构于一个代数K-群及其所有的诱导K-结构。
2021-04-12 math.LO
Exponential Sums Equations and Tropical Geometry
本文证明了 Zilber 的指数代数闭性猜想的一个情形，利用变形虫理论和热带几何求解特定指数和方程组，推广了此前需要更强假设的旧结果。
2023-05-26 math.AG math.LO
Strongly Minimal Steiner Systems I: Existence
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；University of Torino（都灵大学）
线性空间是点和线的系统，使得任何两个不同的点确定唯一的线;施泰纳$k$系统（用于$k \geq 2$）是线性空间，使得每条线的大小正好是$k$。很明显，作为一个二序结构，没有任何线性空间可以是强极小的。我们用一个三元关系$R$在一个（双向可解释的）词汇表$τ$中表示线性空间。证明了对任意整数$k$，存在$2^{\aleph_0}$ -多个整数值函数$μ$，使得每个$μ$确定一个不同的强极小Steiner $k$ -系统$\mathcal{G}_μ$，其代数闭包几何具有从头算Hrushovski构造的所有性质.因此，每一个都是齐伯三分猜想的反例。
2020-01-21 math.LO
A weak version of the Strong Exponential Closure
本文在 Schanuel 猜想成立的假设下，证明具有支配投影的任意维簇存在一般点，从而获得 Zilber 强指数闭包的多个实例。
2025-01-09 math.LO
Simple Lie rings of Morley rank 4
本文证明了Cherlin-Zilber猜想的李环版本：特征0时对任意秩成立，特征不为2、3时对秩≤4成立，而群情形下这两个结论仍未解决。
2023-09-21 math.LO math.RA
A special case of quasiminimality
从Henson和Rubel的工作中，我们推导出复指数域上Zilber拟极小猜想的一个特例。具体地说，我们处理由$\exists\bar{y}(P(x,\bar{y})=0)$形式的公式定义的$\mathbb{C}$的那些子集，其中$P$是由语言$\{+,\times,\exp\}$连同来自$\mathbb{C}$的参数形成的术语。
2016-08-23 math.CV math.LO
A geometric approach to some systems of exponential equations
本文用复几何方法证明了 Zilber 指数代数闭性猜想在阿贝尔簇和代数环面中支配投影情形的特殊情形，并在 0 维相交时用周期格的多值解析映射参数化交点结构。
2021-09-28 math.CV math.LO math.NT
Restricted trichotomy in higher dimensions
我证明，回答一个问题的Zilber，如果$M$是一个代数品种的尺寸严格大于一个和$(M, \ldots)$是一个强烈的最小结构与原子关系定义在Zagliki语言的$M$，然后$M$是局部模块化。
2016-04-27 math.AG math.LO
Restricted Trichotomy in Characteristic Zero
证明了Zilber的限制性三分猜想的特征零情形。也就是说，我们表明，如果$\mathcal M$是任何非局部模强极小结构解释在一个代数闭域$K$的特征为零，然后$\mathcal M$本身解释$K$，特别是，任何非1为基础的结构解释在$K$是相互解释与$K$。值得注意的是，我们对待“一维”和“高维”的情况下的猜想，引入新的工具来解决高维的情况下，然后使用相同的工具来恢复以前已知的一维情况。
2022-09-01 math.AG math.LO
Very ampleness in strongly minimal sets
本文在强极小集中引入非常丰性概念，证明其与代数闭域内部性、Zilber三分法的联系，并刻画了可定义伪平面及可除群情形，回答了G. Martin关于纯代数闭域归约的老问题。
2022-12-07 math.LO
An entire function that violates quasiminimality
针对 Koiran 关于将指数函数替换为任意一元整函数后拟极小性是否仍成立的问题，本文利用全纯逼近理论构造反例，给出否定回答。
2026-10-07 math.CV math.LO
Generic Solutions of Equations Involving the Modular $j$-function
本文在假设 Schanuel 猜想模版本与模 Zilber-Pink 猜想下，将涉及模 $j$-函数的方程族通解存在性归结为寻找 Zariski 稠密解集，并对簇定义域施加条件获得了无条件结果。
2025-01-06 math.AG math.LO math.NT
A New Trichotomy Theorem
证明了有限Morley秩的单群的Cherlin-Zilber代数性猜想的一个极小反例的正规2-秩至多为2，这是Borovik原可分性定理的一个无驯服版本.这一结果作为一个桥梁，表明没有发现严格的群之间的通用和quasithin的情况下，即之间的群体李秩至少为3，和群体的李秩1和2。同样，这个结果取决于以前的工作的唯一性的情况下分析。
2007-11-27 math.GR math.LO
Ax-Schanuel and strong minimality for the $j$-function
设$\mathcal{K}:=(K;+,\cdot, D, 0, 1)$是具有特征$0$和常数$C$的微分闭合场。在本文的第一部分中，我们探讨了Ax-Schanuel型定理（预维不等式）之间的联系的微分方程$E(x,y)$和纤维$U_s:=\{ y:E(s,y) \wedge y \notin C \}$的几何，其中$s$是一个非常数元素。我们证明了某些类型的预维数不等式蕴含着$U_s$的强极小性和几何平凡性。此外，通过特殊的子簇给出了$U_s$的笛卡尔幂上的诱导结构.特别是，由于$j$ -函数满足所需形式的Ax-Schanuel不等式（由于皮拉和Tsimerman），将我们的结果应用于$j$ -函数，我们恢复了Freitag和Scanlon的定理，说明$j$的微分方程定义了具有平凡几何的强极小集。本文第二部分研究了微分闭域的$j$ -约简的强极小集。设$E_j(x,y)$为$j$函数的（二元）微分方程。证明了约简$\mathsf{K}:=(K;+, \cdot, E_j)$中强极小集的Zilber式分类结果。更准确地说，我们表明，在$\mathsf{K}$所有强极小集是几何平凡或非正交$C$。我们的证明是基于Ax-Schanuel定理和一个匹配的势封闭性声明，该声明断言，方程组的$E_j$方面有解决方案，在$\mathsf{K}$，除非有一个解决方案矛盾的Ax-Schanuel。
2020-08-05 math.LO
Around Podewski's conjecture
Podewski的一个长期存在的猜想指出，每个极小域都是代数闭的。瓦格纳在正特性的场中证明了这一点，但在零特性的情况下，这一点仍然是开放的。我们减少Podewski的猜想的情况下，领域有一个可定义的（在纯领域的结构），以及偏序与无限链，我们猜想，这样的领域不存在。然后，我们通过证明不存在以特定方式解释线性序的最小域来支持这个猜想;在我们的术语中，不存在几乎线性的最小域。另一方面，给出了指数为2的几乎线性极小群$(M,<,+,0)$的例子，证明了几乎线性极小群是素指数的初等交换群.另一方面，我们给出了一个例子，几乎线性，最小群$(M,<,+,0)$的指数为2，我们表明，每个几乎线性，最小群是挠。
2012-08-28 math.LO
o-minimal GAGA and a conjecture of Griffiths
利用o-极小几何的代数化结果证明了Griffiths关于周期映射象的拟投射性的一个猜想。具体地说，我们首先发展了一个理论的解析空间和相干层是可定义的一个给定的O-最小结构，并证明了GAGA型定理代数可定义的相干层复代数空间。然后，我们结合这与代数定理的阿廷表明，适当的可定义图像的复杂代数空间是代数的。将其应用于周期映射，我们得到周期映射的象是拟投射的，Griffiths丛的限制是充分的。
2022-10-23 math.AG math.CV math.LO
