关于单项式的Gotzmann阈值
On the Gotzmann threshold of monomials
AI总结：
本文提出一种有效算法，确定任意 n 元多项式环中单项式的 Gotzmann 阈值，并应用于 x_2^d 情形，给出 n=5 的精确结果及 n≥6 的猜想。
摘要：
设 $R_n=K[x_1,\dots,x_n]$ 为域 $K$ 上的 $n$ 元多项式环。令 $S_n$ 表示 $R_n$ 中单项式的集合。若单项式 $u \in S_n$ 在 $R_n$ 中生成的 Borel-稳定单项式理想 $\langle u \rangle$ 是 Gotzmann 理想，则称 $u$ 为 Gotzmann 单项式。一个长期未决的问题是确定 $R_n$ 中的所有 Gotzmann 单项式。给定 $u_0 \in S_{n-1}$，其 Gotzmann 阈值是唯一的非负整数 $t_0=τ_n(u_0)$，使得 $u_0x_n^t$ 是 $R_n$ 中的 Gotzmann 单项式当且仅当 $t \ge t_0$。目前，函数 $τ_n$ 仅在 $n \le 4$ 时被精确已知。我们在此提出一个有效的过程，用于确定所有 $n$ 和所有 $u_0 \in S_{n-1}$ 的 $τ_n(u_0)$。作为应用，在关键情形 $u_0=x_2^d$ 下，我们确定了所有 $d$ 的 $τ_5(x_2^d)$，并猜想对于 $n \ge 6$，$τ_n(x_2^d)$ 是 $d$ 的 $2^{n-2}$ 次多项式，其主导项等于 $(n-2)$ 次迭代二项式系数 $$ \binom {\binom {\binom d2}2}{\stackrel{\cdots}2} $$ 的主导项。
英文摘要：
Let $R_n=K[x_1,\dots,x_n]$ be the $n$-variable polynomial ring over a field $K$. Let $S_n$ denote the set of monomials in $R_n$. A monomial $u \in S_n$ is a \textit{Gotzmann monomial} if the Borel-stable monomial ideal $\langle u \rangle$ it generates in $R_n$ is a Gotzmann ideal. A longstanding open problem is to determine all Gotzmann monomials in $R_n$. Given $u_0 \in S_{n-1}$, its \textit{Gotzmann threshold} is the unique nonnegative integer $t_0=τ_n(u_0)$ such that $u_0x_n^t$ is a Gotzmann monomial in $R_n$ if and only if $t \ge t_0$. Currently, the function $τ_n$ is exactly known for $n \le 4$ only. We present here an efficient procedure to determine $τ_n(u_0)$ for all $n$ and all $u_0 \in S_{n-1}$. As an application, in the critical case $u_0=x_2^d$, we determine $τ_5(x_2^d)$ for all $d$ and we conjecture that for $n \ge 6$, $τ_n(x_2^d)$ is a polynomial in $d$ of degree $2^{n-2}$ and dominant term equal to that of the $(n-2)$-iterated binomial coefficient $$ \binom {\binom {\binom d2}2}{\stackrel{\cdots}2}. $$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
