具有乘法基的线性空间上的模
Modules over linear spaces admitting a multiplicative basis
AI总结：
本文研究线性空间上模的乘法基结构，证明具有乘法基的模可分解为具有乘法基的子模直和，并用乘法基刻画模的极小性。
摘要：
我们研究了线性空间 $W$ 上的某些模 $V$ 的结构，对维数或基域 $\mathbb F$ 均不加限制。$V$ 的一个基 $\mathfrak B = \{v_i\}_{i\in I}$ 称为关于 $W$ 的基 $\mathfrak B' = \{w_j\}_{j \in J}$ 的乘法基，如果对任意 $i \in I, j \in J$，要么 $v_iw_j = 0$，要么 $0 \neq v_iw_j \in \mathbb Fv_k$ 对某个 $k \in I$ 成立。我们证明，若 $V$ 具有乘法基，则它可分解为直和 $V=\bigoplus_k V_k$，其中每个子模 $V_k$ 都各自具有乘法基。此外，$V$ 的极小性用乘法基来刻画，并证明了上述直和是通过其极小子模族实现的，每个极小子模都具有乘法基。
英文摘要：
We study the structure of certain modules $V$ over linear spaces $W$ with restrictions neither on the dimensions nor on the base field $\mathbb F$. A basis $\mathfrak B = \{v_i\}_{i\in I}$ of $V$ is called multiplicative respect to the basis $\mathfrak B' = \{w_j\}_{j \in J}$ of $W$ if for any $i \in I, j \in J$ we have either $v_iw_j = 0$ or $0 \neq v_iw_j \in \mathbb Fv_k$ for some $k \in I$. We show that if $V$ admits a multiplicative basis then it decomposes as the direct sum $V=\bigoplus_k V_k$ of well-described submodules admitting each one a multiplicative basis. Also the minimality of $V$ is characterized in terms of the multiplicative basis and it is shown that the above direct sum is by means of the family of its minimal submodules, admitting each one a multiplicative basis.
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